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高考数学(理数)二轮复习专题11《创新题型与数学文化》课件 (含详解)
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这是一份高考数学(理数)二轮复习专题11《创新题型与数学文化》课件 (含详解)，共60页。PPT课件主要包含了专题复习检测等内容，欢迎下载使用。
随着新课标的深入实施，素质教育要求不断提高，全国各地的高考试卷都相继推出了以能力立意为目标，以增大思维容量为特色，具有相当浓度和明确导向的题型脱颖而出，为高考试题增添了活力．
所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有的知识、能力进行理解，并根据新的定义进行运算、推理、迁移的一种题型．这类题目具有启发性、思考性、挑战性和隐蔽性等特点，由于它构思巧妙，题意新颖，是考查学生综合素质和能力、挖掘学生潜力的较佳题型，因而受到命题者的青睐．
方向1 新定义集合与集合有关的新定义问题属于信息迁移类问题，给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力．由于此类题目编制角度新颖，突出能力立意，突出学生数学素质的考查，特别能够考查学生“现场做题”的能力，解题时应时刻牢记集合元素的三要素：确定性，互异性，无序性．
例1 (2019年辽宁沈阳模拟)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为( )A．15 B．16 C．20 D．21【解析】由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，又x∈N，故集合A＝{0,1,2,3}．∵A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，∴A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6.∴A*B＝{1,2,3,4,5,6}，∴A*B中的所有元素之和为21.【答案】D
与集合相关的新定义问题的解题思路(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．
已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意实数对(x1，y1)∈M，都存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
【答案】C【解析】记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x1x2＋y1y2＝0得OA⊥OB.对于①，对任意A∈M，不存在B∈M，使得OA⊥OB.对于②，当A为点(1,0)时，不存在B∈M，使得OA⊥OB.对于③④，对任意A∈M，过原点O可作直线OB⊥OA，它们都与函数y＝ex－2及y＝sin x＋1的图象相交，即③④满足题意．故选C．
方向2 新定义函数新定义函数问题主要包括两类，一是概念型，即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素(定义域、对应关系、值域)作为重点，考查考生对函数概念的深入理解．二是性质型，即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等性质及有关性质的延伸，旨在考查考生灵活应用函数性质的能力．
【解析】根据题意，①中，[－1,0]与[0,1]及[－1,1]都是f(x)的“可等域区间”，满足；②中，f(x)＝2x2－1在[－1,1]的值域为[－1,1]，满足；③中，f(x)＝|1－2x|与y＝x的交点为(0,0)，(1,1)，其“可等域区间”为[0,1]，满足；④中，f(x)＝lg2(2x－2)与y＝x无交点，不满足．综上，“可等域函数”为①②③.【答案】①②③
求解函数新定义问题的思路(1)理解定义：深刻理解题目中新函数的定义、新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系．(2)合理转化：将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图象解决问题，或将新函数转化为已知函数的复合函数等形式解决问题．(3)特值思想：如果函数的某一性质(一般是等式、不等式等)对某些数值恒成立，那么通过合理赋值可以得到特殊函数值甚至是函数解析式，进而解决问题．
方向3 新定义数列通过定义一个新数列来创设问题情境，要求考生在阅读理解题意的基础上，善于观察问题的结构特征和本质，依据题中提供的信息，联系所学过的数学知识和方法，将新定义的数列问题迁移到递推或等差、等比数列的知识上来，从而使问题得解．
例3 (2019年河南郑州模拟)意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”{an}：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，即a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列各项被3整除后的余数构成一个新数列{bn}，则b2019＝________.【解析】观察“兔子数列”可知，各项被3整除后的余数构成一个新数列为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…，构成以8为周期的周期数列，所以b2019＝b3＝2.【答案】2
新定义数列问题的求解策略解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．
高等数学作为大学大多数专业的基础课程，有着广泛的应用，近几年，以高等数学为背景，结合中学数学中的有关知识编制综合性问题，成为高考试卷的热点之一．
方向1 高斯函数(取整函数)高斯函数(取整函数)指不超过实数x的最大整数，称为x的整数部分，记作[x]或INT(x)，例如[－2.3]＝－3，[3.2]＝3，该函数被广泛应用于数论、绘图和计算机领域．高斯函数的相关问题在高考中常常以信息题的形式出现，主要考查取整函数的定义以及其运算性质，现通过一些例题来研究一下取整函数，希望同学们掌握好这类问题常用的处理方法．对于函数f(x)＝[x]，当0≤x<1时，[x]＝0；当1≤x<2时，[x]＝1；当2≤x<3时，[x]＝2；当3≤x<4时，[x]＝3；
本题借助取整函数的定义，取特殊值进行判断．
(2019年江西上饶模拟)定义区间[a，b]的长度为b－a，用[x]表示不超过x的最大整数．设f(x)＝[x](x－[x])，g(x)＝x－1，则0≤x≤2 019时，不等式f(x)≤g(x)的解集区间的长度为________．【答案】2 018
方向2 最大函数、最小函数设f(x)，g(x)均为定义在I上的函数，记min{f(x)，g(x)}为f(x)，g(x)中值较小的函数，max{f(x)，g(x)}为f(x)，g(x)中值较大的函数．若f(x)＝g(x)，则min{f(x)，g(x)}＝max{f(x)，g(x)}＝f(x)．例5 记max{p，q}为p，q中值较大者，min{p，q}为p，q中值较小者，设a，b为平面向量，则( )A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2
对于任意实数a，b，定义min{a，b}为a，b中值较小者．已知函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝lg2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．【答案】1
近几年课标卷命题常在实际问题中考查推理应用及逻辑判断能力．该类题型贴近生活、命题新颖，考查能力要求较高．例6 (1)(2019年湖北八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
(2)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是教师．已知：丙的年龄比教师大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A．甲是工人，乙是教师，丙是农民B．甲是教师，乙是农民，丙是工人C．甲是教师，乙是工人，丙是农民D．甲是农民，乙是教师，丙是工人
【解析】(1)若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名；若乙猜测正确，则3号不可能得第一名，即1,2,4,5,6号选手中有一位获得第一名，那么甲和丙中有一人也猜测正确，与题意不符，故乙猜测错误；若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确，此时3号得第一名，符合题意．选D．(2)由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比教师大”，可知甲是教师，故乙是工人．故选C．【答案】(1)D (2)C
推理应用问题求解的2种途径求解此类推理性试题，要根据所涉及的人与物进行判断，通常有两种途径，一是根据条件直接进行推理判断．二是假设一种情况成立或不成立，然后以此为出发点，联系条件，判断是否与题设条件相符．
(1)(2019年安徽合肥模拟)某参观团根据下列要求从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了( )A．B，D两镇 B．A，B两镇C．C，D两镇 D．A，C两镇(2)数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题．甲：“我不会证明．”乙：“丙会证明．”丙：“丁会证明．”丁：“我不会证明．”根据以上条件，可以判断会证明此题的人是( )A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】(1)C (2)A【解析】(1)假设去A镇，则也必须去B镇，但去B镇则不能去C镇，不去C镇则也不能去D镇，不去D镇则也不能去E镇，D，E镇都不去，则不符合条件．故若去A镇则无法按要求完成参观．同理，假设不去A镇去B镇，同样无法完成参观．要按照要求完成参观，一定不能去B镇，而不去B镇的前提是不去A镇．故A，B两镇都不能去，则一定不能去E镇，所以能去的地方只有C，D两镇．故选C．(2)四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，由丙、丁的说法知丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意．故选A．
数学文化题是近几年课标全国卷中出现的新题型，涉及较多的数学模块知识．
方向1 数列问题与等差数列有关的数学文化题多涉及项与和的求法，等比数列中的数学文化问题也是高考命题点之一，常涉及等比数列的基本量的运算，难度不大．例7 《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节高0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)问：此民谣提出的问题的答案是( )A．72.705尺 B．61.395尺C．61.905尺 D．73.995尺
解决数列与数学文化相交汇问题的关键(1)读懂题意，会脱去数学文化的背景．(2)构造模型，由题意构造等差数列或等比数列或递推关系式的模型．(3)求解模型，利用所学知识求解数列的相关信息，如求指定项、通项公式或前n项和的公式．
中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是( )
方向2 算法问题算法的交汇问题涉及与统计、函数、数列求和等问题，其中与数学文化的交汇问题是高考的一大亮点．
解决算法交汇问题的3个关键点(1)读懂程序框图，明确交汇知识．(2)根据给出的问题与程序框图来处理问题．(3)注意框图中结构的判断．
(2019年福建莆田质检)我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为( )A．121 B．81 C．74 D．49【答案】B
【解析】a＝1，S＝0，n＝1，第一次循环：S＝1，n＝2，a＝8；第二次循环：S＝9，n＝3，a＝16；第三次循环：S＝25，n＝4，a＝24；第四次循环：S＝49，n＝5，a＝32；第五次循环：S＝81，n＝6，a＝40>32，输出S＝81.
方向3 几何问题古代数学文化中有大量的涉及空间几何体的表面积、体积问题，解决时关键要读懂题意，构造几何体模型转化求解．例9 (2019年广东广州综合测试)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若三棱锥P－ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为( )A．8π B．12π C．20π D．24π
《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是“算经十书”中最重要的一种，成书于公元一世纪左右．该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就．同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，其中不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，《方程》章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则．它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．
(2019年云南昆明模拟)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为( )A．63π B．72π C．79π D．99π【答案】A
方向4 其他问题与三角形有关的数学文化问题可以与正、余弦定理交汇出题，与概率有关的数学文化问题一般出现在随机事件的概率、古典概型、几何概型中，难度不大．例10 (2019年湖北黄冈模拟)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为________平方千米．
《数书九章》，古代数学著作，由南宋数学家秦九韶所著．书中共列算题81问，分为9类．全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类．题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，是了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献，该书在数学内容上颇多创新，是对《九章算术》的继承和发展，标志着中国古代数学的高峰．
随着新课标的深入实施，素质教育要求不断提高，全国各地的高考试卷都相继推出了以能力立意为目标，以增大思维容量为特色，具有相当浓度和明确导向的题型脱颖而出，为高考试题增添了活力．
所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有的知识、能力进行理解，并根据新的定义进行运算、推理、迁移的一种题型．这类题目具有启发性、思考性、挑战性和隐蔽性等特点，由于它构思巧妙，题意新颖，是考查学生综合素质和能力、挖掘学生潜力的较佳题型，因而受到命题者的青睐．
方向1 新定义集合与集合有关的新定义问题属于信息迁移类问题，给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力．由于此类题目编制角度新颖，突出能力立意，突出学生数学素质的考查，特别能够考查学生“现场做题”的能力，解题时应时刻牢记集合元素的三要素：确定性，互异性，无序性．
例1 (2019年辽宁沈阳模拟)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为( )A．15 B．16 C．20 D．21【解析】由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，又x∈N，故集合A＝{0,1,2,3}．∵A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，∴A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6.∴A*B＝{1,2,3,4,5,6}，∴A*B中的所有元素之和为21.【答案】D
与集合相关的新定义问题的解题思路(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．
已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意实数对(x1，y1)∈M，都存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
【答案】C【解析】记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x1x2＋y1y2＝0得OA⊥OB.对于①，对任意A∈M，不存在B∈M，使得OA⊥OB.对于②，当A为点(1,0)时，不存在B∈M，使得OA⊥OB.对于③④，对任意A∈M，过原点O可作直线OB⊥OA，它们都与函数y＝ex－2及y＝sin x＋1的图象相交，即③④满足题意．故选C．
方向2 新定义函数新定义函数问题主要包括两类，一是概念型，即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素(定义域、对应关系、值域)作为重点，考查考生对函数概念的深入理解．二是性质型，即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等性质及有关性质的延伸，旨在考查考生灵活应用函数性质的能力．
【解析】根据题意，①中，[－1,0]与[0,1]及[－1,1]都是f(x)的“可等域区间”，满足；②中，f(x)＝2x2－1在[－1,1]的值域为[－1,1]，满足；③中，f(x)＝|1－2x|与y＝x的交点为(0,0)，(1,1)，其“可等域区间”为[0,1]，满足；④中，f(x)＝lg2(2x－2)与y＝x无交点，不满足．综上，“可等域函数”为①②③.【答案】①②③
求解函数新定义问题的思路(1)理解定义：深刻理解题目中新函数的定义、新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系．(2)合理转化：将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图象解决问题，或将新函数转化为已知函数的复合函数等形式解决问题．(3)特值思想：如果函数的某一性质(一般是等式、不等式等)对某些数值恒成立，那么通过合理赋值可以得到特殊函数值甚至是函数解析式，进而解决问题．
方向3 新定义数列通过定义一个新数列来创设问题情境，要求考生在阅读理解题意的基础上，善于观察问题的结构特征和本质，依据题中提供的信息，联系所学过的数学知识和方法，将新定义的数列问题迁移到递推或等差、等比数列的知识上来，从而使问题得解．
例3 (2019年河南郑州模拟)意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”{an}：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，即a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列各项被3整除后的余数构成一个新数列{bn}，则b2019＝________.【解析】观察“兔子数列”可知，各项被3整除后的余数构成一个新数列为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…，构成以8为周期的周期数列，所以b2019＝b3＝2.【答案】2
新定义数列问题的求解策略解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．
高等数学作为大学大多数专业的基础课程，有着广泛的应用，近几年，以高等数学为背景，结合中学数学中的有关知识编制综合性问题，成为高考试卷的热点之一．
方向1 高斯函数(取整函数)高斯函数(取整函数)指不超过实数x的最大整数，称为x的整数部分，记作[x]或INT(x)，例如[－2.3]＝－3，[3.2]＝3，该函数被广泛应用于数论、绘图和计算机领域．高斯函数的相关问题在高考中常常以信息题的形式出现，主要考查取整函数的定义以及其运算性质，现通过一些例题来研究一下取整函数，希望同学们掌握好这类问题常用的处理方法．对于函数f(x)＝[x]，当0≤x<1时，[x]＝0；当1≤x<2时，[x]＝1；当2≤x<3时，[x]＝2；当3≤x<4时，[x]＝3；
本题借助取整函数的定义，取特殊值进行判断．
(2019年江西上饶模拟)定义区间[a，b]的长度为b－a，用[x]表示不超过x的最大整数．设f(x)＝[x](x－[x])，g(x)＝x－1，则0≤x≤2 019时，不等式f(x)≤g(x)的解集区间的长度为________．【答案】2 018
方向2 最大函数、最小函数设f(x)，g(x)均为定义在I上的函数，记min{f(x)，g(x)}为f(x)，g(x)中值较小的函数，max{f(x)，g(x)}为f(x)，g(x)中值较大的函数．若f(x)＝g(x)，则min{f(x)，g(x)}＝max{f(x)，g(x)}＝f(x)．例5 记max{p，q}为p，q中值较大者，min{p，q}为p，q中值较小者，设a，b为平面向量，则( )A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2
对于任意实数a，b，定义min{a，b}为a，b中值较小者．已知函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝lg2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．【答案】1
近几年课标卷命题常在实际问题中考查推理应用及逻辑判断能力．该类题型贴近生活、命题新颖，考查能力要求较高．例6 (1)(2019年湖北八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
(2)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是教师．已知：丙的年龄比教师大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A．甲是工人，乙是教师，丙是农民B．甲是教师，乙是农民，丙是工人C．甲是教师，乙是工人，丙是农民D．甲是农民，乙是教师，丙是工人
【解析】(1)若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名；若乙猜测正确，则3号不可能得第一名，即1,2,4,5,6号选手中有一位获得第一名，那么甲和丙中有一人也猜测正确，与题意不符，故乙猜测错误；若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确，此时3号得第一名，符合题意．选D．(2)由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比教师大”，可知甲是教师，故乙是工人．故选C．【答案】(1)D (2)C
推理应用问题求解的2种途径求解此类推理性试题，要根据所涉及的人与物进行判断，通常有两种途径，一是根据条件直接进行推理判断．二是假设一种情况成立或不成立，然后以此为出发点，联系条件，判断是否与题设条件相符．
(1)(2019年安徽合肥模拟)某参观团根据下列要求从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了( )A．B，D两镇 B．A，B两镇C．C，D两镇 D．A，C两镇(2)数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题．甲：“我不会证明．”乙：“丙会证明．”丙：“丁会证明．”丁：“我不会证明．”根据以上条件，可以判断会证明此题的人是( )A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】(1)C (2)A【解析】(1)假设去A镇，则也必须去B镇，但去B镇则不能去C镇，不去C镇则也不能去D镇，不去D镇则也不能去E镇，D，E镇都不去，则不符合条件．故若去A镇则无法按要求完成参观．同理，假设不去A镇去B镇，同样无法完成参观．要按照要求完成参观，一定不能去B镇，而不去B镇的前提是不去A镇．故A，B两镇都不能去，则一定不能去E镇，所以能去的地方只有C，D两镇．故选C．(2)四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，由丙、丁的说法知丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意．故选A．
数学文化题是近几年课标全国卷中出现的新题型，涉及较多的数学模块知识．
方向1 数列问题与等差数列有关的数学文化题多涉及项与和的求法，等比数列中的数学文化问题也是高考命题点之一，常涉及等比数列的基本量的运算，难度不大．例7 《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节高0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)问：此民谣提出的问题的答案是( )A．72.705尺 B．61.395尺C．61.905尺 D．73.995尺
解决数列与数学文化相交汇问题的关键(1)读懂题意，会脱去数学文化的背景．(2)构造模型，由题意构造等差数列或等比数列或递推关系式的模型．(3)求解模型，利用所学知识求解数列的相关信息，如求指定项、通项公式或前n项和的公式．
中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是( )
方向2 算法问题算法的交汇问题涉及与统计、函数、数列求和等问题，其中与数学文化的交汇问题是高考的一大亮点．
解决算法交汇问题的3个关键点(1)读懂程序框图，明确交汇知识．(2)根据给出的问题与程序框图来处理问题．(3)注意框图中结构的判断．
(2019年福建莆田质检)我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为( )A．121 B．81 C．74 D．49【答案】B
【解析】a＝1，S＝0，n＝1，第一次循环：S＝1，n＝2，a＝8；第二次循环：S＝9，n＝3，a＝16；第三次循环：S＝25，n＝4，a＝24；第四次循环：S＝49，n＝5，a＝32；第五次循环：S＝81，n＝6，a＝40>32，输出S＝81.
方向3 几何问题古代数学文化中有大量的涉及空间几何体的表面积、体积问题，解决时关键要读懂题意，构造几何体模型转化求解．例9 (2019年广东广州综合测试)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若三棱锥P－ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为( )A．8π B．12π C．20π D．24π
《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是“算经十书”中最重要的一种，成书于公元一世纪左右．该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就．同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，其中不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，《方程》章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则．它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．
(2019年云南昆明模拟)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为( )A．63π B．72π C．79π D．99π【答案】A
方向4 其他问题与三角形有关的数学文化问题可以与正、余弦定理交汇出题，与概率有关的数学文化问题一般出现在随机事件的概率、古典概型、几何概型中，难度不大．例10 (2019年湖北黄冈模拟)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为________平方千米．
《数书九章》，古代数学著作，由南宋数学家秦九韶所著．书中共列算题81问，分为9类．全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类．题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，是了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献，该书在数学内容上颇多创新，是对《九章算术》的继承和发展，标志着中国古代数学的高峰．
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