高考数学(理数)二轮复习专题3 第3讲《空间向量》课件 (含详解)

这是一份高考数学(理数)二轮复习专题3 第3讲《空间向量》课件 (含详解)，共45页。PPT课件主要包含了异面直线所成的角，求直线与平面所成的角，求二面角，专题复习检测等内容，欢迎下载使用。

【答案】B【解析】如图，设O为三角形ABC的中心，则O到PQ距离最小，O到PR距离最大，O到RQ距离居中，而高相等，因此α<γ<β.故选B．
3．(2019年新课标Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求二面角A－MA1－N的正弦值．
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值．
【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明PO⊥AC，PO⊥OB即可；(2)根据二面角的大小求出平面PAM的法向量，利用向量法即可得到结论．
利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
(2019年浙江)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．(1)求证：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．
【解析】(1)证明：如图1，连接A1E.∵A1A＝A1C，E是AC的中点，∴A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，∴A1E⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴A1E⊥BC.取BC中点G，连接EG，FG，则EG∥AB.又AB⊥BC，∴EG⊥BC.又A1E∩EG＝E，∴BC⊥平面AEGF.EF⊂平面AEGF，∴BC⊥EF.
例3 (2019年新课标Ⅲ)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)求证：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的二面角B－CG－A的大小．
【分析】(1)证明AB⊥平面BCGE即可．(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角．
【解析】(1)证明：由已知可得图2中AD∥BE，CG∥BE，∴AD∥CG.∴AD，CG确定一个平面，∴A，C，G，D四点共面．由四边形ABED为矩形，得AB⊥BE.由△ABC为直角三角形，得AB⊥BC.又BC∩BE＝E，∴AB⊥平面BCGE.又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCGE.
求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
(2019年浙江宁波模拟)如图，多面体P－ABCD，平面ABCD⊥平面PBC，DC⊥BC，DA∥BC，∠BCP＝90°，M是AP的中点，N是DP上的点．(1)若MN∥平面PBC，求证：N是DP的中点；(2)若CB＝CD＝CP＝3，AD＝1，求二面角A－BP－C的平面角的余弦值．
【解析】(1)证明：∵平面ABCD∩平面PBC＝BC，DA∥BC，DA⊂平面ABCD，∴DA∥平面PBC.若MN∥平面PBC，则MN∥DA.又M是AP中点，∴MN是△ADP中AD边上的中位线．∴N是DP中点．
3．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∠ABC＝90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示．(1)求证：AE⊥平面BCD；(2)求二面角A－DC－B的余弦值；(3)在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在，请指明点M的位置；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)证明：平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE⊂平面ABD，所以AE⊥平面BCD.(2)由(1)结论AE⊥平面BCD可得AE⊥EF.由题意可知EF⊥BD，AE⊥BD.如图，以E为坐标原点，分别以EF，ED，EA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系E－xyz.