1.4 《特殊平行四边形》重难题型（习题）-2022-2023学年九年级数学上册同步精讲精练（北师大版）

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1.4《特殊平行四边形》重难题型习题
分层训练提分要义
【基础题】
1.若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是(　　)
A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形
【解析】D　
【解析】首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
2.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的有(　　)
①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】A　
【解析】①当AB＝BC时，它是菱形，正确；②当AC⊥BD时，它是菱形，正确；③当∠ABC＝90°时，它是矩形，正确；④当AC＝BD时，它是矩形，因此④是错误的．
3.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是(　　)
A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝2 D．AF＝EF

【解析】D　
【解析】如图，由折叠得∠1＝∠2.
∵AD∥BC，∴∠3＝∠1.∴∠2＝∠3.
∴AE＝AF.故选项A正确．
由折叠得CD＝AG，∠D＝∠G＝90°.
∵AB＝CD，∴AB＝AG.
∵AE＝AF，∠B＝90°，
∴Rt△ABE≌Rt△AGF(HL)．
故选项B正确．
设DF＝x，则GF＝x，AF＝8－x.
又AG＝AB＝4，
∴在Rt△AGF中，根据勾股定理得(8－x)2＝42＋x2.
解得x＝3.∴AF＝8－x＝5.
则AE＝AF＝5，
∴BE＝＝＝3.
过点F作FM⊥BC于点M，则EM＝5－3＝2.
在Rt△EFM中，根据勾股定理得EF＝＝＝＝2，则选项C正确．
∵AF＝5，EF＝2，∴AF≠EF.故选项D错误．

4.如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点(点P不与A，B重合)，对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N.下列结论：①△APE≌△AME；②PM＋PN＝BD；③PE2＋PF2＝PO2.其中正确的有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【解析】D　
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠PAE＝∠MAE＝45°.
∵PM⊥AC，∴∠PEA＝∠MEA.
又∵AE＝AE，∴根据“ASA”可得△APE≌△AME.故①正确．由①得PE＝ME，∴PM＝2PE.同理PN＝2PF.又易知PF＝BF，四边形PEOF是矩形，∴PN＝2BF，PM＝2FO.∴PM＋PN＝2FO＋2BF＝2BO＝BD.故②正确．在Rt△PFO中，∵FO2＋PF2＝PO2，而PE＝FO，∴PE2＋PF2＝PO2.故③正确．
5.如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α的度数为________时，两条对角线长度相等．

【答案】90°　
【解析】对角线相等的平行四边形是矩形．
6.如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为________．

【答案】12　
【解析】∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积＝×6×8＝24.∵O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积＝×24＝12.
7.已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝________.
【答案】22.5°　
【解析】如图，由四边形ABCD是正方形，可知∠CAD＝∠BAD＝45°.
由FE⊥AC，可知∠AEF＝90°.
在Rt△AEF与Rt△ADF中， AE＝AD，AF＝AF，
∴Rt△AEF≌Rt△ADF(HL)．
∴∠FAD＝∠FAE＝∠CAD＝×45°＝22.5°.

8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC的垂直平分线交AD，BC于点E，F.求证：四边形AECF是菱形．

【解析】证明：∵EF垂直平分AC，
∴∠AOE＝∠COF＝90°，OA＝OC.
∵AD∥BC，∴∠OAE＝∠OCF.
∴△AOE≌△COF(ASA)．
∴AE＝CF.又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．
9.如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若AB＝3，BC＝4，求四边形OCED的面积．

【解析】(1)证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形．
∵四边形ABCD为矩形，∴OD＝OC.
∴四边形OCED为菱形．
(2)解：∵四边形ABCD为矩形，
∴BO＝DO＝BD.
∴S△OCD＝S△OCB＝S△ABC＝××3×4＝3.
∴S菱形OCED＝2S△OCD＝6.
10.如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.
(1)求证：△BCE≌△DCF；
(2)若∠FDC＝30°，求∠BEF的度数．

(1)证明：在△BCE与△DCF中，

∴△BCE≌△DCF.
(2)解：∵△BCE≌△DCF，
∴∠EBC＝∠FDC＝30°.
∵∠BCD＝90°，∴∠BEC＝60°.
∵EC＝FC，∠ECF＝90°，
∴∠CEF＝45°.∴∠BEF＝105°.
【中档题】
11.如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．若AB＝8，AD＝12，则四边形ENFM的周长为________．

【答案】20　
【解析】点N是BC的中点，点E，F分别是BM，CM的中点，由三角形的中位线定理可证EN∥MC，NF∥ME，EN＝MC，FN＝MB.又易知MB＝MC，所以四边形ENFM是菱形．由点M是AD的中点，AD＝12得AM＝6.在Rt△ABM中，由勾股定理得BM＝10.因为点E是BM的中点，所以EM＝5.所以四边形ENFM的周长为20.
12.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F.
(1)求证：四边形DBFE是平行四边形．
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？并说明理由．

【解析】(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DE∥BC.
又∵EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形．
(2)解：答案不唯一，下列解法供参考．
当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形．
理由：∵D是AB的中点，
∴BD＝AB.
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC.
又∵AB＝BC，∴BD＝DE.
又∵四边形DBFE是平行四边形，
∴四边形DBFE是菱形．
13.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于F，连接AE.
求证：(1)BF＝DF；(2)AE∥BD.

【解析】证明：(1)由折叠的性质可知，∠FBD＝∠CBD.因为在矩形ABCD中，AD∥BC，所以∠FDB＝∠CBD.
所以∠FBD＝∠FDB.所以BF＝DF.
(2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB＝DC，AD＝BC.由折叠的性质可知，DC＝ED＝AB，BC＝BE＝AD.
又因为AE＝AE，所以△AEB≌△EAD.所以∠AEB＝∠EAD.
所以∠AEB＝(180°－∠AFE)．
由(1)知∠DBE＝∠BDF，
所以∠DBE＝(180°－∠BFD)．
而∠AFE＝∠BFD，
所以∠AEB＝∠DBE.
所以AE∥BD.　
14.图①为长方形纸片ABCD，AD＝26，AB＝22，直线L，M皆为长方形的对称轴．今将长方形纸片沿着L对折后，再沿着M对折，并将对折后的纸片左上角剪下直角三角形，形成一个五边形EFGHI，如图②，最后将图②的五边形展开后形成一个八边形，如图③，且八边形的每一边长恰好均相等．

(1)若图②中的HI长度为x，请用x分别表示剪下的直角三角形的勾长和股长．
(2)请求出图③中八边形的一边长的数值，并写出完整的解题过程．
【解析】解：(1)分别延长HI与FE，相交于点N，如图．
∵HN＝AD＝13，NF＝AB＝11，HI＝EF＝x，
∴NI＝HN－HI＝13－x，NE＝NF－EF＝11－x.
∴剪下的直角三角形的勾长为11－x，股长为13－x.

(2)在Rt△ENI中，NI＝13－x，NE＝11－x，
∴EI＝＝.
∵八边形的每一边长恰好均相等，
∴EI＝2HI＝2x＝，
整理得：x2＋24x－145＝0，
(x－5)(x＋29)＝0，
解得：x＝5，或x＝－29(舍去)．
∴EI＝2×5＝10.
故八边形的边长为10.
15.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E.
(1)求证：△DCE≌△BFE；
(2)若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的长．

【解析】(1)证明：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C＝90°，
∴∠ADB＝∠DBC.
根据折叠的性质得∠ADB＝∠BDF，∠F＝∠A＝90°，
∴∠DBC＝∠BDF，∠C＝∠F.
∴BE＝DE.
在△DCE和△BFE中，

∴△DCE≌△BFE.
(2)解：在Rt△BCD中，
∵CD＝2，∠ADB＝∠DBC＝30°，
∴BD＝4.∴BC＝2.
在Rt△ECD中，易得∠EDC＝30°.
∴DE＝2EC.
∴(2EC)2－EC2＝CD2.
∵CD＝2，
∴CE＝.
∴BE＝BC－EC＝.

16.如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点的一个60°的角∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F不与B，C，D重合，连接EF.
(1)求证：BE＝CF.
(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形 AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由．

【解析】(1)证明：如图，连接AC.
∵四边形ABCD为菱形，
∠BAD＝120°，　
∴∠ABE＝∠ACF＝60°，
∠1＋∠2＝60°.
∵∠3＋∠2＝∠EAF＝60°，
∴∠1＝∠3.
∵∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形．
∴AC＝AB.
∴△ABE≌△ACF.
∴BE＝CF.
(2)解：四边形AECF的面积不变．
由(1)知△ABE≌△ACF，
则S△ABE＝S△ACF，
故S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC.
如图，过A作AM⊥BC于点M，则BM＝MC＝2，
∴AM＝＝＝2.
∴S△ABC＝BC·AM＝×4×2＝4.
故S四边形AECF＝4.
【综合题】
17.如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)探究线段OE与OF的数量关系并说明理由．
(2)当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
(3)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE________是菱形(填“可能”或“不可能”)．请说明理由．

【解析】解：(1)OE＝OF.理由如下：∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝∠BCE.又∵MN∥BC，
∴∠NEC＝∠BCE.
∴∠NEC＝∠ACE.∴OE＝OC.
∵CF是∠ACD的平分线，
∴∠OCF＝∠FCD.又∵MN∥BC，
∴∠OFC＝∠FCD.
∴∠OFC＝∠OCF.
∴OF＝OC.∴OE＝OF.
(2)当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形．
理由如下：∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，
又∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO.
∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF.
∴四边形AECF是矩形．已知MN∥BC，当∠ACB＝90°时，∠AOE＝90°，∴AC⊥EF.
∴四边形AECF是正方形．
(3)不可能
理由如下：
连接BF，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACD＝(∠ACB＋∠ACD)＝90°.若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC.但在一个三角形中，不可能存在两个角为90°，故四边形BCFE不可能为菱形．如18.图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.
(1)求证：CM＝CN；
(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为31，求的值．

【解析】(1)证明：由折叠的性质可得点A，C关于直线MN对称，∴∠ANM＝∠CNM.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠ANM＝∠CMN.
∴∠CMN＝∠CNM.∴CM＝CN.
(2)解：过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形，∴HC＝DN，NH＝DC.∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，
∴＝＝＝3.
∴MC＝3DN＝3HC.
∴MH＝2HC.设DN＝x，
则HC＝x，MH＝2x.∴CM＝3x＝CN.
在Rt△CDN中，DC＝＝2x，
∴NH＝2x.在Rt△MNH中，MN＝＝2x.
∴＝＝2.
19.如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.
(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．
(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．
(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系．

【解析】解：(1)在菱形ABCD中，AG＝CG，AC⊥BD，BG＝BD＝×16＝8，
由勾股定理得AG＝＝＝6，
所以AC＝2AG＝2×6＝12.
所以菱形ABCD的面积＝AC·BD＝×12×16＝96.
(2)不发生变化．理由如下：如图①，连接AO，则S△ABD＝S△ABO＋S△AOD，
所以BD·AG＝AB·OE＋AD·OF.
即×16×6＝×10·OE＋×10·OF.
解得OE＋OF＝9.6，是定值，不变．
(3)发生变化．如图②，连接AO，则S△ABD＝S△ABO－S△AOD，
所以BD·AG＝AB·OE－AD·OF.
即×16×6＝×10·OE－×10·OF.
解得OE－OF＝9.6，是定值，不变．
所以OE＋OF的值发生变化，OE，OF之间的数量关系为OE－OF＝9.6.

20.[阅读]
在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)为端点的线段的中点坐标为.
[运用]
(1)如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON，OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4，3)，则点M的坐标为________．
(2)在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．

【解析】解：(1)(2，1.5)
(2)设点D的坐标为(x，y)．
若以点A，B，C，D为顶点构成的四边形是平行四边形，
①当AB为对角线时，
∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，
∴＝，＝.
∴x＝1，y＝－1.
∴点D的坐标为(1，－1)．
②当BC为对角线时，
∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，
∴＝，＝.
∴x＝5，y＝3.
∴点D的坐标为(5，3)．
③当AC为对角线时，
∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，
∴＝，＝.
∴x＝－3，y＝5.
∴点D的坐标为(－3，5)．
综上所述，点D的坐标为(1，－1)或(5，3)或(－3，5)．