北师大版八年级上册3 立方根习题

2.3 立方根

立方根：

一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（cube root, 也叫做三次方根）．如：0是0的立方根．

正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．

求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算．

培优第一阶——基础过关练

1．的立方根是（     ）

A．3 B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据立方根的定义进行计算即可．

【详解】

解：因为（-3）3=-27，

所以-27的立方根是-3，

故选：B．

【点睛】

本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键．

2．下列结论正确的是（　　　）

A．没有平方根 B．立方根等于本身的数只有0

C．4的立方根是 D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据平方根和立方根的性质逐项判断即可得．

【详解】

解：A、负数没有平方根，则没有平方根，此项正确，符合题意；

B、立方根等于本身的数有0和，则此项错误，不符题意；

C、4的平方根是，立方根是，则此项错误，不符题意；

D、，则此项错误，不符题意；

故选：A．

【点睛】

本题考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键．

3．－8的立方根是（       ）

A．2 B．－2 C．－4 D．8

【答案】B

【解析】

【分析】

本题转化为求的结果，直接求解即可．

【详解】

∵，

，

故选：B．

【点睛】

本题考查了立方根的定义，注意将求立方根转化为求一个数的立方的形式是解题的关键．

4．下列说法正确的是（       ）

A．一个正数的立方根有两个，它们互为相反数

B．负数没有立方根

C．任何一个数的立方根都是非负数

D．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根

【答案】D

【解析】

【分析】

根据一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零，结合选项即可作出判断．

【详解】

A．一个数的立方根只有1个，故A错误；

B．负数有立方根，故B错误；

CD．正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零，故C错误，D正确．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了立方根的概念，解决本题的关键是熟练掌握正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零．

5．如果a是64的算术平方根，则a的立方根是________．

【答案】2

【解析】

【分析】

先求出64的算术平方根a，再求出8的立方根即可．

【详解】

a是64的算术平方根，

，

的立方根是，

，

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了求一个数的算术平方根和立方根，熟练掌握知识点是解题的关键．

6．比较大小：______．

【答案】＜

【解析】

【分析】

先化简，再根据，得出答案．

【详解】

解：∵，

∵，

∴，

故答案为：<．

【点睛】

本题考查立方根，比较朋理数大小，熟练掌握求一个数的立方根和比较有理数大小法则是解题的关键．

7．（2022·北京·人大附中七年级期中）己知，，，．若n为整数且，则n的值为____________________．

【答案】12

【解析】

【分析】

由已知可得，，由立方根定义及不等式性质可得，，结合题中条件可知，，即．

【详解】

解：∵，

∴，

∵，，

∴，，

∵，

∴，

∵n为整数且，

∴．

故答案为：12．

【点睛】

本题考查了立方根的定义及估值，准确理解相关概念掌握估值的方法是解题的关键．

8．求下列各式的值：，，，，．

【答案】，，，，．

【解析】

【分析】

利用立方根定义开立方即可．

【详解】

解：=2，=，=-3，=-125，=-3

【点睛】

本题主要考查了立方根，任何数都有立方根，且只有1个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

9．求下列各数的立方根：，，，，，．

【答案】，，，，，．

【解析】

【分析】

根据立方根的概念进行计算即可．

【详解】

解：，

，

，

，

，

．

【点睛】

本题主要考查了立方根的计算，如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．

10．（2022·湖北·黄石八中七年级期中）求下列各式中x的值:

(1)

(2)3（x﹣5）3+24＝0

【答案】(1)x=±8

(2)x=3

【解析】

【分析】

（1）根据平方根的定义，即可求解；

（2）根据立方根的定义，即可求解．

(1)

解：，

，

∴x=±8；

(2)

3（x﹣5）3+24＝0，

（x﹣5）3＝-8，

x﹣5＝-2，

∴x=3．

【点睛】

本题主要考查解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．

11．已知的平方根是，的算术平方根是3．

(1)求a与b的值；

(2)求的立方根．

【答案】(1)，

(2)2

【解析】

【分析】

（1）由平方根、立方根的定义得出含有a、b的二元一次方程组，解这个方程组即可；

（2）求出的值，再求出其立方根即可．

(1)

解：由题意，得，，

解得：，．

(2)

解：∵，

∴的立方根为：．

【点睛】

本题考查平方根、立方根、算术平方根，掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提，列出含有a、b的二元一次方程组是解决问题的关键．

12．己知：和是a的两个不同的平方根，是a的立方根．

(1)求x，y，a的值；

(2)求的平方根．

【答案】(1)x=-2，y=1，a=64；

(2)1-4x的平方根为．

【解析】

【分析】

（1）根据正数的两个平方根互为相反数列方程求出x的值，再求出a，然后根据立方根的定义求出y即可；

（2）先求出1-4x，再根据平方根的定义解答．

(1)

解：由题意得：（x-6）+（3x+14）=0，

解得，x=-2，

所以，a=（x-6）2=64；

又∵2y+2是a的立方根， ∴2y+2==4，

∴y=1，

即x=-2，y=1，a=64；

(2)

由（1）知：x=-2，

所以，1-4x=1-4×（-2）=9，

所以，，

即：1-4x的平方根为．

【点睛】

本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键，要注意准确计算．

13．填写下表，并回答问题：

（1）数a与它的立方根的小数点的移动有何规律？

（2）根据这个规律，若已知，求a的值．

【答案】填表见解析；（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据被开方数的小数点每向右或向左移动三位，立方根的小数点相应地向右或向左移动一位解答；

（2）根据（1）总结的规律解答．

【详解】

（1）由题可知，被开方数的小数点每向右或向左移动三位，立方根的小数点相应地向右或向左移动一位；

（2）由（1）总结的规律可知：0.1738的小数点向右移动了一位，

∴0.00525的小数点应向右移动三位，得到．

【点睛】

本题考查实数的开方与被开方数之间的关系，注意引导学生仔细分析表格．

培优第二阶——拓展培优练

14．（2021·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）七年级期中）已知x＝，y＝是x的相反数，求x2+y2的平方根与立方根．

【答案】平方根为0或±，立方根是0或

【解析】

【分析】

利用算术平方根和立方根定义可得m的值，进而可得x、y的值，然后计算出x2+y2的平方根与立方根．

【详解】

解：∵x＝，y＝是x的相反数，

∴m＝0或1，

当m＝0时，y＝0，x＝0，

x2+y2＝0，

0的平方根是0，立方根也是0；

当m＝1时，x＝1，y＝﹣1，

则x2+y2＝2，

2的平方根是±，立方根是．

∴x2+y2的平方根为0或±，立方根是0或．

【点睛】

本题考查平方根与立方根，熟练掌握平方根与立方根定义是解题的关键．

15．小燕在测量铅球的半径时，先将铅球完全浸没在一个带刻度的圆柱形小水桶中，拿出铅球时，小燕发现小水桶中的水面下降了，小燕量得小水桶的直径为，于是她就算出了铅球的半径．你知道她是如何计算的吗？请求出铅球的半径．（球的体积公式，r为球的半径．）

【答案】3cm．

【解析】

【分析】

设球的半径为r，求出下降的水的体积，即圆柱形小水桶中下降的水的体积，最后根据球的体积公式列式求解即可．

【详解】

解：设球的半径为r，

小水桶的直径为，水面下降了，

小水桶的半径为6cm，

下降的水的体积是π×62×1=36π(cm3)，

即，

解得：，，

答：铅球的半径是3cm．

【点睛】

本题考查了立方根的应用，涉及圆柱的体积求解，解此题的关键是得出关于r的方程．

16．已知是算术平方根，是的立方根，求的值．

【答案】

【解析】

【分析】

由算术平方根与立方根的含义可得方程组，再解方程组求解的值，从而可得答案.

【详解】

解：根据题意得：，

解得：，

∴，，

∴；，

∴，

∴

【点睛】

本题考查的是算术平方根与立方根的含义，二元一次方程组的解法，理解题意，求解是解本题的关键.

17．根据下表回答问题：

(1)272.25的平方根是______；4251.528的立方根是______．

(2)______；______；______．

(3)设的整数部分为，求的立方根．

【答案】(1)；16.2

(2)167；1.62；168

(3)

【解析】

【分析】

（1）根据表格中的数据可求出结果；

（2）根据图表，结合算术平方根和立方根的移位规律即可得出答案；

（3）根据题意先求出a的值，再求出-4a的值，然后根据立方根的定义即可得出答案．

(1)

272.25的平方根是：±16.5；

4251.528的立方根是：16.2；

故答案为：±16.5，16.2；

(2)

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

故答案为：167，1.62，168；

(3)

∵，

∴，

∴a=16，-4a=-64，

∴-4a的立方根为-4．

【点睛】

此题考查了算术平方根和立方根，观察表格发现规律是解题的关键．

培优第三阶——中考沙场点兵

18．（2022·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据合并同类项法则、幂的乘方运算法则、开立方运算、求一个数的算术平方根，即可一一判定．

【详解】

解：A.，故该选项不正确，不符合题意；

B.，故该选项不正确，不符合题意；

C.，故该选项正确，符合题意；       

D.，故该选项不正确，不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了合并同类项法则、幂的乘方运算法则、开立方运算、求一个数的算术平方根，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．

19．（2020·四川攀枝花·中考真题）下列说法中正确的是（   ）．

A．0.09的平方根是0.3 B．

C．0的立方根是0 D．1的立方根是

【答案】C

【解析】

【分析】

根据平方根，算术平方根和立方根的定义分别判断即可.

【详解】

解：A、0.09的平方根是±0.3，故选项错误；

B、，故选项错误；

C、0的立方根是0，故选项正确；

D、1的立方根是1，故选项错误；

故选：C.

【点睛】

本题考查了平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键．

20．（2021·江苏南京·中考真题）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（       ）

A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是

C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意n次方根，列举出选项中的n次方根，然后逐项分析即可得出答案．

【详解】

A. ，16的4次方根是，故不符合题意；

B.，，32的5次方根是2，故不符合题意；

C.设

则

且

当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故符合题意；

D.由的判断可得：错误，故不符合题意．

故选．

【点睛】

本题考查了新概念问题，n次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键．

21．（2021·湖南益阳·中考真题）若实数a的立方等于27，则________．

【答案】3

【解析】

【分析】

根据立方根的定义即可得．

【详解】

解：由题意得：，

故答案为：3．

【点睛】

本题考查了立方根，熟练掌握立方根的运算是解题关键．

22．（2021·内蒙古·中考真题）一个正数a的两个平方根是和，则的立方根为_______．

【答案】2

【解析】

【分析】

根据一个正数的平方根互为相反数，将和相加等于0，列出方程，解出b，再将b代入任意一个平方根中，进行平方运算求出这个正数a，将算出后，求立方根即可．

【详解】

∵和是正数a的平方根，

∴，

解得 ，

将b代入，

∴正数 ，

∴，

∴的立方根为：，

故填：2．

【点睛】

本题考查正数的平方根的性质，求一个数的立方根，解题关键是知道一个正数的两个平方根互为相反数．