北师大版八年级上册3 立方根习题

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2.3 立方根立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（cube root, 也叫做三次方根）．如：0是0的立方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算．培优第一阶——基础过关练1．的立方根是（     ）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据立方根的定义进行计算即可．【详解】解：因为（-3）3=-27，所以-27的立方根是-3，故选：B．【点睛】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键．2．下列结论正确的是（　　　）A．没有平方根 B．立方根等于本身的数只有0C．4的立方根是 D．【答案】A【解析】【分析】根据平方根和立方根的性质逐项判断即可得．【详解】解：A、负数没有平方根，则没有平方根，此项正确，符合题意；B、立方根等于本身的数有0和，则此项错误，不符题意；C、4的平方根是，立方根是，则此项错误，不符题意；D、，则此项错误，不符题意；故选：A．【点睛】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键．3．－8的立方根是（       ）A．2 B．－2 C．－4 D．8【答案】B【解析】【分析】本题转化为求的结果，直接求解即可．【详解】∵，，故选：B．【点睛】本题考查了立方根的定义，注意将求立方根转化为求一个数的立方的形式是解题的关键．4．下列说法正确的是（       ）A．一个正数的立方根有两个，它们互为相反数B．负数没有立方根C．任何一个数的立方根都是非负数D．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根【答案】D【解析】【分析】根据一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零，结合选项即可作出判断．【详解】A．一个数的立方根只有1个，故A错误；B．负数有立方根，故B错误；CD．正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零，故C错误，D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了立方根的概念，解决本题的关键是熟练掌握正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零．5．如果a是64的算术平方根，则a的立方根是________．【答案】2【解析】【分析】先求出64的算术平方根a，再求出8的立方根即可．【详解】 a是64的算术平方根，，的立方根是，，故答案为：2．【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根和立方根，熟练掌握知识点是解题的关键．6．比较大小：______．【答案】＜【解析】【分析】先化简，再根据，得出答案．【详解】解：∵，∵，∴，故答案为：<．【点睛】本题考查立方根，比较朋理数大小，熟练掌握求一个数的立方根和比较有理数大小法则是解题的关键．7．（2022·北京·人大附中七年级期中）己知，，，．若n为整数且，则n的值为____________________．【答案】12【解析】【分析】由已知可得，，由立方根定义及不等式性质可得，，结合题中条件可知，，即．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，，∵，∴，∵n为整数且，∴．故答案为：12．【点睛】本题考查了立方根的定义及估值，准确理解相关概念掌握估值的方法是解题的关键．8．求下列各式的值：，，，，．【答案】，，，，．【解析】【分析】利用立方根定义开立方即可．【详解】解：=2，=，=-3，=-125，=-3【点睛】本题主要考查了立方根，任何数都有立方根，且只有1个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.9．求下列各数的立方根：，，，，，．【答案】，，，，，．【解析】【分析】根据立方根的概念进行计算即可．【详解】解：，，，，，．【点睛】本题主要考查了立方根的计算，如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．10．（2022·湖北·黄石八中七年级期中）求下列各式中x的值:(1)(2)3（x﹣5）3+24＝0【答案】(1)x=±8(2)x=3【解析】【分析】（1）根据平方根的定义，即可求解；（2）根据立方根的定义，即可求解．(1)解：，，∴x=±8；(2)3（x﹣5）3+24＝0，（x﹣5）3＝-8，x﹣5＝-2，∴x=3．【点睛】本题主要考查解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．11．已知的平方根是，的算术平方根是3．(1)求a与b的值；(2)求的立方根．【答案】(1)，(2)2【解析】【分析】（1）由平方根、立方根的定义得出含有a、b的二元一次方程组，解这个方程组即可；（2）求出的值，再求出其立方根即可．(1)解：由题意，得，，解得：，．(2)解：∵，∴的立方根为：．【点睛】本题考查平方根、立方根、算术平方根，掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提，列出含有a、b的二元一次方程组是解决问题的关键．12．己知：和是a的两个不同的平方根，是a的立方根．(1)求x，y，a的值；(2)求的平方根．【答案】(1)x=-2，y=1，a=64；(2)1-4x的平方根为．【解析】【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数列方程求出x的值，再求出a，然后根据立方根的定义求出y即可； （2）先求出1-4x，再根据平方根的定义解答．(1)解：由题意得：（x-6）+（3x+14）=0， 解得，x=-2， 所以，a=（x-6）2=64； 又∵2y+2是a的立方根， ∴2y+2==4， ∴y=1， 即x=-2，y=1，a=64；(2)由（1）知：x=-2， 所以，1-4x=1-4×（-2）=9， 所以，， 即：1-4x的平方根为．【点睛】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键，要注意准确计算．13．填写下表，并回答问题：a…0.0000010.001110001000000……     …（1）数a与它的立方根的小数点的移动有何规律？（2）根据这个规律，若已知，求a的值．【答案】填表见解析；（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据被开方数的小数点每向右或向左移动三位，立方根的小数点相应地向右或向左移动一位解答；（2）根据（1）总结的规律解答．【详解】a…0.0000010.001110001000000……0.010.1110100… （1）由题可知，被开方数的小数点每向右或向左移动三位，立方根的小数点相应地向右或向左移动一位；（2）由（1）总结的规律可知：0.1738的小数点向右移动了一位，∴0.00525的小数点应向右移动三位，得到．【点睛】本题考查实数的开方与被开方数之间的关系，注意引导学生仔细分析表格． 培优第二阶——拓展培优练14．（2021·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）七年级期中）已知x＝，y＝是x的相反数，求x2+y2的平方根与立方根．【答案】平方根为0或±，立方根是0或【解析】【分析】利用算术平方根和立方根定义可得m的值，进而可得x、y的值，然后计算出x2+y2的平方根与立方根．【详解】解：∵x＝，y＝是x的相反数，∴m＝0或1，当m＝0时，y＝0，x＝0，x2+y2＝0，0的平方根是0，立方根也是0；当m＝1时，x＝1，y＝﹣1，则x2+y2＝2，2的平方根是±，立方根是．∴x2+y2的平方根为0或±，立方根是0或．【点睛】本题考查平方根与立方根，熟练掌握平方根与立方根定义是解题的关键．15．小燕在测量铅球的半径时，先将铅球完全浸没在一个带刻度的圆柱形小水桶中，拿出铅球时，小燕发现小水桶中的水面下降了，小燕量得小水桶的直径为，于是她就算出了铅球的半径．你知道她是如何计算的吗？请求出铅球的半径．（球的体积公式，r为球的半径．）【答案】3cm．【解析】【分析】设球的半径为r，求出下降的水的体积，即圆柱形小水桶中下降的水的体积，最后根据球的体积公式列式求解即可．【详解】解：设球的半径为r，小水桶的直径为，水面下降了，小水桶的半径为6cm，下降的水的体积是π×62×1=36π(cm3)，即，解得：，，答：铅球的半径是3cm．【点睛】本题考查了立方根的应用，涉及圆柱的体积求解，解此题的关键是得出关于r的方程．16．已知是算术平方根，是的立方根，求的值．【答案】【解析】【分析】由算术平方根与立方根的含义可得方程组，再解方程组求解的值，从而可得答案.【详解】解：根据题意得：，解得：， ∴，，∴；，∴，∴【点睛】本题考查的是算术平方根与立方根的含义，二元一次方程组的解法，理解题意，求解是解本题的关键.17．根据下表回答问题：1616.116.216.316.416.516.616.716.8256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.2440964173.2814251.5284330.7474410.9444492.1254574.2964657.4634741.632(1)272.25的平方根是______；4251.528的立方根是______．(2)______；______；______．(3)设的整数部分为，求的立方根．【答案】(1)；16.2(2)167；1.62；168(3)【解析】【分析】（1）根据表格中的数据可求出结果；（2）根据图表，结合算术平方根和立方根的移位规律即可得出答案；（3）根据题意先求出a的值，再求出-4a的值，然后根据立方根的定义即可得出答案．(1)272.25的平方根是：±16.5；4251.528的立方根是：16.2；故答案为：±16.5，16.2；(2)∵，∴，∵，∴，∵，∴，故答案为：167，1.62，168；(3)∵，∴，∴a=16，-4a=-64，∴-4a的立方根为-4．【点睛】此题考查了算术平方根和立方根，观察表格发现规律是解题的关键． 培优第三阶——中考沙场点兵 18．（2022·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方运算法则、开立方运算、求一个数的算术平方根，即可一一判定．【详解】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；B.，故该选项不正确，不符合题意；C.，故该选项正确，符合题意；       D.，故该选项不正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了合并同类项法则、幂的乘方运算法则、开立方运算、求一个数的算术平方根，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．19．（2020·四川攀枝花·中考真题）下列说法中正确的是（   ）．A．0.09的平方根是0.3 B．C．0的立方根是0 D．1的立方根是【答案】C【解析】【分析】根据平方根，算术平方根和立方根的定义分别判断即可.【详解】解：A、0.09的平方根是±0.3，故选项错误；B、，故选项错误；C、0的立方根是0，故选项正确；D、1的立方根是1，故选项错误；故选：C.【点睛】本题考查了平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键．20．（2021·江苏南京·中考真题）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（       ）A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大【答案】C【解析】【分析】根据题意n次方根，列举出选项中的n次方根，然后逐项分析即可得出答案．【详解】A. ，16的4次方根是，故不符合题意；B.，，32的5次方根是2，故不符合题意；C.设则 且 当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故符合题意；D.由的判断可得：错误，故不符合题意．故选．【点睛】本题考查了新概念问题，n次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键．21．（2021·湖南益阳·中考真题）若实数a的立方等于27，则________．【答案】3【解析】【分析】根据立方根的定义即可得．【详解】解：由题意得：，故答案为：3．【点睛】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的运算是解题关键．22．（2021·内蒙古·中考真题）一个正数a的两个平方根是和，则的立方根为_______．【答案】2【解析】【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，将和相加等于0，列出方程，解出b，再将b代入任意一个平方根中，进行平方运算求出这个正数a，将算出后，求立方根即可．【详解】∵和是正数a的平方根，∴，解得 ，将b代入，∴正数 ，∴，∴的立方根为：，故填：2．【点睛】本题考查正数的平方根的性质，求一个数的立方根，解题关键是知道一个正数的两个平方根互为相反数．