专题1.59 《三角形的初步知识》全章复习与巩固（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）

这是一份专题1.59 《三角形的初步知识》全章复习与巩固（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题1.59 《三角形的初步知识》全章复习与巩固
（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．下列语句中，不是命题的是（   ）
A．直角都等于 B．对顶角相等
C．互补的两个角不相等 D．作线段AB
2．下列图形中具有稳定性的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）

A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
4．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（　　）

A．72° B．60° C．58° D．50°
5．如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（　　）

A． B． C． D．
6．下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（       ）
A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm C．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm
7．三角形的角平分线、中线和高都是 (       )
A．直线 B．线段 C．射线 D．以上答案都不对
8．下列说法错误的是（　　）
A．三角形的高、中线、角平分线都是线段
B．三角形的三条中线都在三角形内部
C．锐角三角形的三条高一定交于同一点
D．三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点
9．如图，是的中线，分别在边上（不与端点重合），且，则（       ）．

A． B．
C． D．与的长短关系不确定
10．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，，若，则BD的长是（       ）

A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
11．一个三角形的三边为2、4、，另一个三角形的三边为、2、5，若这两个三角形全等，则______．
12．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝_____．

13．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝6，AD＝2，则BD的长为_____．

14．如图，中，一内角和一外角的平分线交于点连结，_______________________.

15．如图：，于，于，等于，__．

16．如图，FE∥ON，OE平分∠MON，∠FEO=28°，则∠MFE=__度．

17．如图，中，，将沿翻折后，点落在边上的点处．如果，那么的度数为_________．

18．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，则∠EAN=_____．

19．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是_________．

20．如图所示,AB=AC,BD=CD,若∠B=28°,则∠C=____. 

21．如图，在中，已知，，分别为，，的中点，且，则图中阴影部分的面积等于__．

三、解答题
22．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，
（1）求∠BAE的度数；（2）求∠DAE的度数．






23．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2．
求证：BC=DE．





24．如图：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为F，过点B作DB⊥BC交CF的延长线于点D．

（1）求证：AE＝CD．（2）若AC＝12cm，求BD的长．





25．如图，在中，，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，若，．
求的度数；
求AC的长度．





26．已知：∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA、OB交于C、 D．求证：PC=PD．






27．探究：如图①，在中，，，直线l经过点C，且点A、B在直线的同侧，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．求证：．
应用．如图②，在中，，，直线l经过点C，且点A、B在直线l的异侧，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．探索线段AD、BE、DE之间的数量关系，并证明．






28．（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________．
（2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：．
（3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）























参考答案
1．D
解：直角都等于90°是一个真命题，
对顶角相等是一个真命题，
互补的两个角不相等是一个假命题，
作线段AB不是命题，
故选D．
2．C
【分析】
根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断即可．
解：A、不具有稳定性，故不符合题意；
B、不具有稳定性，故不符合题意；
C、具有稳定性，故符合题意；
D、不具有稳定性，故不符合题意，
故选C．
【点拨】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，熟练掌握是解题的关键．
3．D
【分析】
欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
解：∵AB＝AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件，符合题意．
故选：D．
【点拨】本题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理．
4．A
【分析】
根据∠α是b、c边的夹角，然后写出即可．
解：∵两个三角形全等，
∴∠α的度数是72°．
故选：A．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答本题的关键．全等三角形的对应角相等，对应边相等．对应边的对角是对应角，对应角的对边是对应边．
5．C
【分析】
利用等腰三角形的性质和基本作图得到，则平分，利用和三角形内角和计算出，从而得到的度数.
解：由作法得，
∵，
∴平分，，
∵，
∴．
故选C．
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形的性质.
6．B
【分析】
看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
解：A．，能构成三角形，不合题意；
B．，不能构成三角形，符合题意；
C．，能构成三角形，不合题意；
D．，能构成三角形，不合题意．
故选B．
【点拨】此题考查了三角形三边关系，解题关键在于看较小的两个数的和能否大于第三个数．
7．B
【分析】
根据三角形的角平分线、中线和高定义判断即可．
解：三角形的角平分线、中线、高都是线段．
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形的角平分线、中线和高定义，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高定义是解题关键．
8．D
【分析】
根据三角形的角平分线，中线，线段的定义；根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上进行判断．
解：A.三角形的高、中线、角平分线都是线段，故正确,不符合题意；
B.三角形的三条中线都在三角形内部，故正确,不符合题意；
C.钝锐角三角形的三条高一定交于同一点，故正确,不符合题意；
D.三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误,符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记概念是解题的关键．
9．A
【分析】
延长至点G，使，连接，证明，可得，进而根据三角形三边关系即可得．
解：如图，延长至点G，使，连接，

是边上的中线，
,
又，
是的垂直平分线，
，
又
(SAS)，
，

．
故选A．
【点拨】本题考查了三角形中线的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的性质与判定，三角形三边关系，证明是解题的关键．
10．C
【分析】
先证明△ADE≌△CFE(AAS)，得AD=CF=4，然后由BD=AB-AD求解即可．
解：∵FCAB，
∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE(AAS)，
∴AD=CF=4，
∴BD=AB-AD=7-4=3，
故选：C．
【点拨】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
11．9
【分析】
根据已知条件分清对应边，结合全的三角形的性质可得出答案．
解：∵这两个三角形全等，两个三角形中都有2，
∴长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边5．同理可得y=4，
∴x+y=9．
故答案为：9．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质及对应边的找法；根据两个三角形中都有2找对对应边是解决本题的关键．
12．55°
【分析】
根据∠BAC＝∠DAE能够得出∠1＝∠EAC，然后可以证明△BAD≌△CAE，则有∠2＝∠ABD，最后利用∠3＝∠1+∠ABD可求解．
解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，

∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角性质，掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键．
13．4
【分析】
根据线段垂直平分线的性质即可得到BD＝CD，求得CD的长，即可得到BD的长．
解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵AC＝6，AD＝2，
∴CD＝6−2＝4，
∴BD＝4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
14．66
【分析】
过D作DF⊥BE于F，DG⊥AC于G，DH⊥BA，交BA延长线于H，由BD平分∠ABC，可得∠ABD=∠CBD，DH=DF，同理CD平分∠ACE，∠ACD=∠DCF，DG=DF，由∠ACE是△ABC的外角，可得2∠DCE=∠BAC+2∠DBC①，由∠DCE是△DBC的外角，可得∠DCE=∠CDB+∠DBC②，两者结合，得∠BAC=2∠CDB，则∠HAC=180º-∠BAC，再证AD平分∠HAC，即可求出∠CAD．
解：过D作DF⊥BE于F，DG⊥AC于G，DH⊥BA，交BA延长线于H，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC，DH=DF，
∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCF=∠ACE，DG=DF，
∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE=∠BAC+∠ABC，
∴2∠DCE=∠BAC+2∠DBC①，
∵∠DCE是△DBC的外角，
∴∠DCE=∠CDB+∠DBC②，
由①②得，∠BAC=2∠CDB=2×24º=48º，
∴∠HAC=180º-∠BAC=180º-48º=132º，
∵DH=DF，DG=DF，
∴DH=DG，
∵DG⊥AC，DH⊥BA，
AD平分∠HAC，
∠CAD=∠HAD=∠HAC=×132º=66º．
故答案为：66．

【点拨】本题考查角的求法，关键是掌握点D为两角平分线交点，可知AD为角平分线，利用好外角与内角的关系，找到∠BAC=2∠CDB是解题关键．
15．50°
【分析】
根据三角形的外角的性质得到∠C=∠ADE-∠DEC=50°，得出∠B=∠C=50°，在根据，
和平角的定义计算即可．
解：∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
由三角形的外角的性质可知，∠C=∠ADE-∠DEC=50°，
∴∠B=∠C=50°，
∵EF⊥AB，
∴∠EFB=90°，
∴∠FEB=90°-50°=40°，
则∠FED=180°-40°-90°=50°，
故答案为50°．
【点拨】本题考查的是直角三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
16．56．
解：∵FE∥ON，∠FEO=28°，
∴∠NOE=∠FEO=28°，
∵OE平分∠MON，
∴∠NOE=∠EOF=28°，
∵∠MFE是△EOF的外角，
∴∠MFE=∠NOE+∠EOF=28°+28°=56°
17．70°
【分析】
首先由折叠的性质，得出∠A=∠DA′E，∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，然后根据，得出∠AED=∠A′ED=55°，再由三角形内角和定理即可得解.
解：由已知，得
∠A=∠DA′E，∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED
∵
∴∠AED=∠A′ED=（180°-∠A′EC）=（180°-70°）=55°
又∵
∴∠ADE=∠A′DE=180°-∠A-∠AED=180°-55°-55°=70°
故答案为70°.
【点拨】此题主要考查利用三角形翻折的性质求角的度数，熟练掌握，即可解题.
18．32°
【分析】
先由∠BAC＝106°及三角形内角和定理求出∠B＋∠C的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN，由∠EAN＝∠BAC−（∠BAE＋∠CAN）解答即可．
解：在△ABC中，∠BAC＝106°，
∴∠B＋∠C＝180°−∠BAC＝180°−106°＝74°，
∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，
即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°，
∴∠EAN＝∠BAC−（∠BAE＋∠CAN）＝106°−74°＝32°．
故答案为32°．
【点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，能根据三角形内角和定理求出∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°是解答此题的关键．
19．1＜AD＜7
【分析】
延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解．
解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．

在△ABD和△ECD中，
   
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴CE=AB．
在△ACE中，CE−AC 即2<2AD<14，
故1 故答案为1 【点拨】考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的任意两边之和大于第三边．
20．28°
解：连接AD，由AB=AC，BD=CD，结合公共边AD，即可证得△ABD≌△ADC，根据全等三角形的性质即可得到结果.
如图，连接AD，

∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，
∴△ABD≌△ADC，
∴∠C=∠B=28°.
考点：本题考查的是全等三角形的判定和性质
【点拨】解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形解决问题.
21．2
【分析】
E是AD的中点S△BDE=S△ABD，S△CDE=S△ACDS△BCE=S△ABC=4；F为CE中点S△BEF=S△BCE=．
解：∵E是AD的中点，
∴S△BDE=S△ABD，S△CDE=S△ACD，
∴S△BDE + S△CDE =S△ABC= （cm2），即S△BCE=4（cm2）．
∵F为CE中点，
∴S△BEF=S△BCE=（cm2）．
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题关键．
22．(1) ∠BAE=30 °；(2) ∠EAD=20°．
【分析】
（1）由三角形内角和为180°结合已知条件易得∠BAC=60°，再结合AE平分∠BAC即可得到∠BAE=30°；
（2）由AD是△ABC的高可得∠ADB=90°，结合∠ABC=40°可得∠BAD=50°，再结合∠BAE=30°即可解得∠DAE=20°．
解：（1）∵在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，
∴∠BAC=180°-40°-80°=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=30°；
（2）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°-90°-40°=50°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=50°-30°=20°．
【点拨】这是一道有关三角形角度的几何计算题，熟悉三角形内角和为180°，三角形高的定义和三角形角平分线的定义是解答本题的关键．
23．证明见解析.
【分析】
根据ASA证明△ADE≌△ABC即可得到答案；
证明：∵∠1=∠2，
∵∠DAC+∠1=∠2+∠DAC
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ADE≌△ABC（ASA）
∴BC=DE，
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．
24．（1）见详解；（2）6
【分析】
（1）根据DB⊥BC，CF⊥AE，∠DCB＝∠DCB，得出∠D＝∠AEC，再结合∠DBC＝∠ACE＝90°，且BC＝CA，证明△DBC≌△ECA，AE＝CD即可得证；
（2） 由（1）可得△DBC≌△ECA，可得BC＝AC，BD=CE．根据AC=12cm，AE是BC的中线，即可得出，即可得出答案．
（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°．
∴∠D＝∠AEC．
又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA，
∴在△DBC和△ECA中，
，
∴△DBC≌△ECA（AAS）．
∴AE＝CD．
（2） 由（1）可得△DBC≌△ECA，
∴BC=AC ，BD=CE．
∵BC=AC=12cm   AE是BC的中线，
∴，
∴BD=6cm．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△DBC≌△ECA 是解题的关键．
25．（1）（2）6
【分析】
(1)由AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，根据线段垂直平分线的性质，易得AD=BD，即可求得∠ABD的度数，又由三角形外角的性质，即可求答案.
(2)易得△BCD是含30角的直角三角形的性质，继而求得BD的长，则可求得答案.
解：垂直平分AB，
，
，
；
，，
，
，
．
．
【点拨】本题考查了垂直平分线的性质，含30角的直角三角形的性质，解题关键是熟练掌握上述性质.
26．见解析
【分析】
过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，由角平分线的性质易得PE＝PF，然后由同角的余角相等证明∠1＝∠2，即可由ASA证明△CFP≌△DEP，从而得证．
证明：过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∴∠CFP=∠DEP=90°,
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE=PF,
∵∠1+∠FPD=90°   
又∵∠AOB=90°   
∴∠FPE=90°，
∴∠2+∠FPD=90°   
∴∠1=∠2,
∵在△CFP和△DEP中：，
∴△CFP≌△DEP(ASA)   
∴PC=PD.

【点拨】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，难度中等，作辅助线很关键．
27．探究：证明见解析；应用： 证明见解析．
【分析】
探究：根据垂直的定义得出∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，根据三角形的内角和定理和平角得出∠DAC=∠ECB，根据AAS证△ADC≌△CEB，推出AD=CE，DC=BE，代入即可．
应用：证明△ACD≌△CBE（AAS），由全等三角形的性质得出CD=BE，AD=CE，则可得出答案．
证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，
∠DCA+∠ECB=180°-90°=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD，
即DE=AD+BE．
应用： 线段AD、BE、DE之间的数量关系为，理由如下：
证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴．
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD=BE，AD=CE，
又∵，
∴．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质，解题的关键是根据AAS证明三角形全等．
28．（1）0.8cm；（2）见解析（3）5
【分析】
（1）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质解答即可；
（2）由条件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根据AAS可证明△ABE≌△CAF；
（3）先证明△ABE≌△CAF，得到与的面积之和为△ABD的面积，再根据故可求解．
解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC＋∠BCE＝90°．
∵∠BCE＋∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm．
∵DC＝CE−DE，DE＝1.7cm，
∴DC＝2.5−1.7＝0.8cm，
∴BE＝0.8cm
故答案为：0.8cm；
（2）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠BEA＝∠AFC．
∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ABE＋∠3，
∴∠4＝∠ABE．
∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC，
∴△ABE≌△CAF（AAS）．

（3）∵
∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF
又
∴△ABE≌△CAF，
∴
∴与的面积之和等于与的面积之和，即为△ABD的面积，
∵，△ABD与△ACD的高相同
则=5
故与的面积之和为5
故答案为：5．

【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．