专题4.20 《实数》全章复习与巩固（培优篇）（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

专题4.20《实数》全章复习与巩固（培优篇）（专项练习）

一、单选题

1． 的立方根是  （    ）

A．2 B．2 C．8 D．-8

2．一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则这个正数a的值是（　　）

A．25 B．49 C．64 D．81

3．一个自然数的一个平方根是，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（    ）

A． B．

C． D．

4．已知：（n是自然数）．那么的值是（    ）

A． B． C． D．

5．若整数x满足5+≤x≤，则x的值是（  ）

A．8 B．9 C．10 D．11

6．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　）

A．11 B．10 C．9 D．8

7．已知实数满足，那么的值是(    )

A．1999 B．2000 C．2001 D．2002

8．无理数在两个相邻的整数之间的是 ( )

A．5和6 B．4和5 C．3和4 D．2和3

9．规定：logab(a＞0，a≠1,b＞0）表示a，b之间的一种运算,现有如下的运算法则：logaan＝n, logNM＝（a＞0,a≠1,N＞0,N≠1，M＞0).例如：log223＝3，log25＝,则log1001000＝（     ）

A． B． C．2 D．3

10．观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（  ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．若，则x=__________

12．已知﹣2x﹣1＝0，则x＝_____．

13．若是一个9位数且为平方数，那么是______位数．

14．若是一个完全平方数，则比大的最小完全平方数是______________．

15．观察下列等式：＝；＝；＝；……，则第n（n为正整数）个等式是__．

16．若满足关系式，则________．

17．若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“＋”“－”依次相间）的值为______________．

18．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值__________．

19．观察下列各式：

＝＝＝2，即＝2

＝＝＝3，即＝3，那么＝_____．

20．观察下列等式：

①3－=（－1）2，

②5－=（－）2，

③7－=（－）2，

…

请你根据以上规律，写出第5个等式____．

21．将1、、、按如图方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（7，3）所表示的数是__；（5，2）与（20，17）表示的两数之积是__．

22．如图,以数轴上的一个单位长度为边长作一个正方形,以数轴上表示1的点为圆心,正方形对角线的长为半径画弧,交数轴负半轴于点A,则点A表示的数为____.(提示:直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方)

三、解答题

23．求下列x的值．

（1）（x﹣1）2=4         （2）3x3=﹣81．

24．已知＋＝b＋8

（1）求a的值；

（2）求a2－b2的平方根．

25．若，求的值．

26．解决问题：已知是的整数部分，是的小数部分．

（1）求，的值；

（2）求的平方根，提示：．

27．已知 a，b，c 都是实数，且满足+＝0， 且，求代数式 的值．

28．如图，用两个面积为的小正方形拼成一个大的正方形．

（1）则大正方形的边长是___________；

（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为？

参考答案

1．A

解：先根据算术平方根的意义，求得=8，然后根据立方根的意义，求得其立方根为2.

故选A.

2．B

【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，可求得x，再由平方根的定义即可解答．

解：由正数的两个平方根互为相反数可得

（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，

解得x＝﹣2，

所以5﹣x＝5﹣（﹣2）＝7，

所以a＝72＝49．

故答案为B．

【点拨】本题考查了平方根的性质,理解平方根与算术平方根的区别及联系是解答本题的关键．

3．D

【分析】根据平方根定义得原数为a2，故相邻的下一个自然数是a2+1，再求得平方根即可.

解：根据题意，平方根为a是数a2，则与它相邻的下一个自然数是a2+1，所以它的平方根是，故此题选择D.

【点拨】此题考察平方根定义，这里准确确定被开方数是解题关键.

4．D

【分析】先计算 再求解 再化简 再计算即可得到答案.

解：由题意得：，

∴

，

则

∴．

故选D．

【点拨】本题考查的是完全平方公式的应用，算术平方根的含义，负整数指数幂的含义，幂的运算，熟知以上运算的运算法则是解题的关键.

5．C

解：∵4＜＜5，∴9＜5+＜10；，8＜＜9，∴10＜＜11，∴整数x=10．故选C．

【点拨】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．

6．B

【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．

解：∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，

∴重叠部分也为正方形，

∵空白部分的面积为2﹣6，

∴一个空白长方形面积=，

∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3，

∴大正方形边长=，重叠部分边长=，

∴空白部分的长=，

设空白部分宽为x，可得：，解得：x=，

∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=，

∴小正方形面积==10，

故选：B．

【点拨】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．

7．C

【分析】根据绝对值性质与算术平方根的性质先化简，进而平方即可得到答案

解：，

，即，

∴，

即，

∴，即，

∴，

故选：C．

【点拨】本题考查代数式求值，涉及到绝对值性质与算术平方根的性质，根据条件逐步恒等变形到所求代数式是解决问题的关键．

8．D

解：由题意分析可知，本题中主要考查与相邻数字的知识，由题知，，所以，故该无理数在2和3之间，所以选D

考点：无理数大小的比较

点评：本题属于对无理数和整数的基本大小以及变换的基本知识的考查

9．A

【分析】根据规定法，.

解：根据法则，

故选A

【点拨】本题考核知识点：新运算法则.解题关键点：理解并模仿法则.

10．C

【分析】先通过观察找出第n个算式的规律为n(n+3)，写出所得代数式；再找出所求代数式的规律，按照裂项法展开计算即可．

解：∵=1×4+1，

=2×5+1，

=3×6+1，…，

观察以上各式发现规律，由规律可知：a4=4×7+1，a5=5×8+1，a6=6×9+1，a7=7×10+1

an=n·(n+3)+1

验证：a4=

故依次为：a5=5×8+1，a6=6×9+1，a7=7×10+1

∴an=n·(n+3)+1

∴

=

=

=

=

故选：C

【点拨】本题考查了规律型的数字在二次根式中的应用，观察出数字规律或正确计算出相关项并采用裂项法是进行快速计算的关键．

11．0或1.

解：两边同时6次方得：，∴，∴，∴x=0或x=1．故答案为0或1．

12．0或﹣1或﹣

【分析】将原方程变形得到＝2x+1，根据一个数的立方根等于它本身得到这个数是0或1或-1，由此化成一元一次方程，解方程即可得到答案.

解：∵﹣2x﹣1＝0，

∴＝2x+1，

∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0，

解得x＝0或x＝﹣1或x＝﹣．

故答案为：0或﹣1或﹣．

【点拨】此题考查立方根的性质，解一元一次方程，由立方根的性质得到方程是解题的关键.

13．5

【分析】根据题干是一个9位数且为平方数，对其进行开方出来即可分析求值.

解：是一个9位数且为平方数，可得两个4位数相乘最大也才8位数，两位6位数相乘最小也有11数，考虑是两个5位数相乘，对开方即得到是5位数．

故答案为：5.

【点拨】本题考查无理数算术平方根的运算，结合算术平方根的运算进行理解分析.

14．

【分析】由于是一个完全平方数，则．可知比大的最小完全平方数是．

解：是一个完全平方数，

的算术平方根是，

∴比的算术平方根大1的数是，

∴这个完全平方数为：．

故答案为：．

【点拨】本题考查了完全平方数．解此题的关键是能找出与之差最小且比大的一个完全平方数是紧挨着自然数后面的自然数：．

15．

【分析】根据算术平方根和数字变化的规律，即可解答．

解：

归纳类推得：第n（n为正整数）个等式是

故答案为：．

【点拨】本题考查了算术平方根和数字变化的规律，根据观察前3个等式，归纳类推出一般规律是解题关键．

16．201

【分析】根据能开平方的数一定是非负数，得199-x-y≥0，x-199+y≥0，所以199-x-y=x-199+y=0，即x+y=199①，从而有=0，再根据算术平方根的非负性可得出3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，联立①②③解方程组可得出m的值．

解：由题意可得，199-x-y≥0，x-199+y≥0，

∴199-x-y=x-199+y=0，∴x+y=199①．

∴=0，

∴3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，

联立①②③得，，

②×2-③×3得，y=4-m，

将y=4-m代入③，解得x=2m-6，

将x=2m-6，y=4-m代入①得，2m-6+4-m=199，解得m=201．

故答案为：201．

【点拨】本题考查了算术平方根的非负性以及方程组的解法，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．

17．-22

【分析】按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规律计算．

解：∵即时，，此时n=1，2，3，

∴；

∵即时，，此时n=4，5，6，7，8，

∴；

∵即时，，此时n=9，10，11，12，13，14，15，

∴=；

由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是-2，整数部分是3的算术平方根的整数和是3，

∵，，

∴即时，，

∴=-44，

∴

=1-2+3-4+5-6+…+43-44

=(1-2)+(3-4)+…+(43-44)

=

=-22，

故答案为：-22．

【点拨】本题考查了实数的新定义运算，解题的关键是正确运用估算思想，确定整数部分中的运算规律．

18．351

【分析】先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．

解：=1

=3

=6

=10

发现规律：1+2+3+

∴1+2+3=351

故答案为：351

【点拨】本题考查找规律，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解．

19．n．

【分析】根据已知等式，可以得出规律，猜想出第n个等式，写出推导过程即可．

解：＝n．

故答案为：n．

【点拨】此题主要考查了平方根的性质，利用已知得出数字之间的规律是解决问题的关键．

20．

【分析】观察相同位置的数的变化方式，先得出左边第一项和右边的两个被开方数，再得出左边第二项的被开方数，即可求出答案．

解：因为等式左边第一项依次增加2，

所以第5个等式的第一项是11，

因为等式右边的两个被开方数中，后一个数就是该等式的序号数，前一个数比后一个数大1，

所以第5个等式的右边的两个被开方数分别是6和5，

因为等式左边第二项中的被开方数是等式右边两个根式的被开方数的积，

所以这个数是30，

观察其余部分都相同，直接带下来即可，

所以第5个等式是．

故答案为：．

【点拨】此题属于规律探究题，主要考查了数字的变化规律以及每个等式之中的数字之间的关系，要求学生注意观察和推导，考查了学生分析与判断的能力．

21．     ；     ．

【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m﹣1排有（m﹣1）个数，从第一排到（m﹣1）排共有：1+2+3+4+…+（m﹣1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．

解：（7，3）表示第7排从左向右第3个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，1+2+3+4+5+6+3=24，24÷4=6，则（7，3）所表示的数是；

由图可知，（5，2）所表示的数是；

∵第19排最后一个数的序号是：1+2+3+4+…+19=190，则（20，17）表示的是第190+17=207个数，207÷4=51…3，

∴（20，17）表示的数是，

∴（5，2）与（20，17）表示的两数之积是：．

故答案为．

【点拨】本题考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．判断出所求的数是第几个数是解决本题的难点；得到相应的变化规律是解决本题的关键．

22．1-

【分析】根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求出CE的长，根据CA=CE结合数轴上点的位置即可得出结论．

解：∵正方形的边长为1，

∴正方形对角线的长度=，

∴CA=，

∵C点表示的数为1，点A在点C的左边，

∴点A表示的数为1-，

故答案为1-.

【点拨】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．

23．（1）x1=3，x2=﹣1；（2）x=﹣3．

【分析】（1）开平方求出（x﹣1）的值，继而求出x的值；

（2）将x3的系数化为1，开立方求出x的值．

解：解（1）开平方得：，

解得：x1=3，x2=-1；

（2）系数化为1得，x3=-27，

开立方得：x=-3．

【点拨】题目主要考查利用平方根与立方根解方程，熟练掌握运用平方根及立方根的计算方法是解题关键．

24．（1）17；（2）±15

【分析】（1）根据二次根式的性质可得：，即可解得，然后再代入可得b＝﹣8；

（2）根据（1）代入可求得a2﹣b2＝225，根据平方根的意义可解

解：根据题意得：，

解得：a＝17，

（2）b＋8＝0，

解得：b＝﹣8，

则a2﹣b2＝172﹣（﹣8）2＝225，

则a2－b2的平方根是：±15

25．4

解：试题分析：根据被开方数是非负数，可以得到x2-4=0，再根据分母不能为0确定出x的值，从而得到y的值，代入即可.

试题解析：因为被开方数为非负数，所以x2-4≥0， 4-x2≥0，

所以，解得x=2或x=—2，

当x=—2时，分母x+2=0，所以x=—2（舍去），

当x=2时，y=0，

所以2x+y=4.

26．（1），；（2）±4

【分析】(1) 先确定在哪两个整数之间，再确定，的值即可；把，的值代入求出式子的值，再求平方根即可．

解：解:(1)∵，

∴，

∴，

∴，；

(2)  ，

∴的平方根是：．

【点拨】本题考查了算术平方根的估算和求平方根，解题关键是准确的确定一个数的算术平方根的整数部分和小数部分，注意：一个正数的平方根有两个．

27．

【分析】根据平方数的非负性，绝对值的非负性以及算术平方根的非负性可得出a，b，c的值，然后代入可得出，再代入求解即可．

解：由题意可得出：

∴

代入可得出：

∴．

【点拨】本题考查的知识点是代数式求值，根据平方数的非负性，绝对值的非负性以及算术平方根的非负性可得出a，b，c的值是解此题的关键．

28．（1）；（2）不能剪出长宽之比为5：4，且面积为的大长方形，理由详见分析

【分析】（1）根据已知得到大正方形的面积为400，求出算术平方根即为大正方形的边长；

（2）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积列得，求出，得到，由此判断不能裁出符合条件的大正方形.

解：（1）∵用两个面积为的小正方形拼成一个大的正方形，

∴大正方形的面积为400，

∴大正方形的边长为

故答案为：20cm；

（2）设长方形纸片的长为，宽为，

，

解得：，

，

答：不能剪出长宽之比为5：4，且面积为的大长方形.

【点拨】此题考查利用算术平方根解决实际问题，利用平方根解方程，正确理解题意是解题的关键.