专题1.46 全等三角形几何模型-角平分线模型（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）

这是一份专题1.46 全等三角形几何模型-角平分线模型（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版），共40页。

专题1.46 全等三角形几何模型-角平分线模型（专项练习）
与角平分线相关的三角形全等的常见几个几何模型：
【模型1】：如图一，角平分线+对称型
CＣ
O
BＢ
AAA
Ｎ
Ｍ

图一
利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
【理论依据】：三边对应相等的三角戏是全等三角形Ｃ
Ｏ
Ｂ
（SSS）、全等三角形对应角相等
【模型2】：如图二，角平分线+垂直两边型
角平分线性质定理：角的平分线上的点作角两边垂直段构成的两个RT三角形全等．

如图二
【几何语言】：∵ OC为∠AOB的角平分线，D为OC上一点DE⊥OA，DF⊥OB
∴，∴DE=DF
【模型3】如图三，角平分线+垂直角平分线型

如图三
【说明】：构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
【模型四】角平分线+平行线型

如图四
【说明】：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
一、填空题
1．如图，在中，、的角平分线相交于点，①若，则__________，②若，，则___________.

2．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是________．

3．如图，BP平分∠ABC，，E、F分别是角两边上点，现有四个结论知其一定能得其余结论的有①；②；③；④，_____.

4．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝50，∠CAP＝______．

5．如图所示，的外角的平分线CP与的平分线相交于点P，若，则_______．

二、解答题
6．已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求证：点D在线段AC的垂直平分线上．




7．如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断BEG的形状，并说明理由．




8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长．



9．已知：如图，，，分别平分和，点E在上．用等式表示线段、、三者之间的数量关系，并证明．





10．如图，ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．




11．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AC+CD．




12．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，
求证：∠ADC+∠B=180º



13．如图所示，在中，，是的角平分线，交于点，求证：．




14．如图，在四边形中，于，，.求证：；.




15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M为边BC上的点，连结AM.如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，求点M到AC的距离.




16．如图，在中，，平分，交于，于，求证：.




17．如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．2 求证：．




18．如图，在中，，，平分，于，交于.求证：（1）；（2）.



19．已知：是的角平分线，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，，点E在上，连接并延长交于点，交CA的延长线于点，且，连接．
①求证：；
②若，且，求的长．










20．在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：；
（2）已知．
①如图1，若，，求CE的长；
②如图2，若，求的大小．





21．（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．
（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．



22．已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；
（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．
























参考答案
1．     110°     70°
【分析】①先根据三角形内角和求出∠BAC+∠BCA=140°，再根据角平分线的定义求出∠IAC+∠ICA的值，然后利用三角形内角和即可求解；
②在BC上取CD=AC，连接BI、DI，利用SAS证明△ACI与△DCI全等，可得AI=DI，∠CAI=∠CDI，再根据BC=AI+AC求出AI=BD，从而可得BD=DI，由三角形外角的性质可得∠CDI=2∠DBI，再根据角平分线的定义即可求出∠CDI=∠ABC，又∠BAC=2∠CAI，代入数据进行计算即可求解；
解：①∵，
∴∠BAC+∠BCA=140°，
∵AI、CI分别是、的角平分线，
∴∠IAC+∠ICA=(∠BAC+∠BCA)=70°，
∴∠AIC=180°-70°=110°；
②如图1，在BC上取CD=AC，连接BI、DI，

∵CI平分∠ACB，
∴∠ACI=∠BCI，
在△ACI与△DCI中，
，
∴△ACI≌△DCI（SAS），
∴AI=DI，∠CAI=∠CDI，
∵BC=AI+AC，
∴BD=AI，
∴BD=DI，
∴∠IBD=∠BID，
∴∠CDI=∠IBD+∠BID=2∠IBD，
又∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线，
∴BI是∠ABC的平分线，
∴∠ABC=2∠IBD，∠BAC=2∠CAI，
∴∠CDI=∠ABC，
∴∠BAC=2∠CAI=2∠CDI=2∠ABC，
∵∠ABC=35°，
∴∠BAC=35°×2=70°．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，利用“截长补短法”作辅助线构造全等三角形以便于利用条件“BC=AI+AC”是解决本题的关键，也是难点．
2．5
【分析】过D作，，交延长线于F，然后根据全等三角形的性质和角直角三角形的性质即可求解．
解：过D作，，交延长线于F，

∵AD平分，，，
∴，，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
在和中，

∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【点拨】此题考查了全等三角形和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形．
3．由(1)、（2）、（4）可以推出其它三个.
【分析】根据角平分线的性质定理、HL证明直角三角形全等、AAS证明三角形全等、同角的补角相等即可解答.
解：由(1)可以推出其它三个；由(4)可以推出其它三个；由(2)可以推出其它三个.
如图：过点P作PM⊥AB于点M.

（一）增加条件①时：
∵，∠PFC+∠BFP=180°，
∴∠BEP+∠BFP=180°，∠BEP=∠PFC，即②成立，
∵∠BEP+∠PEM=180°，
∴∠DFP=∠MEP，
∵BP平分∠ABC，，PM⊥AB
∴PD=PM，
又∵∠PME=∠PDF=90°，
∴Rt△PME≌Rt△PDF，
∴ME=DF，，即③成立，
∵BP=BP，
∴Rt△PMB≌Rt△PDB(HL)，
∴BM=BD，
∵BD=BF-DF，BM=BE+EM，ME=DF，
∴2BD=BD+BM=( BF-DF)+( BE+EM)= BF-DF+ BE+EM= BF+ BE，即，故④正确.
（二）增加条件④时，
∵BP平分∠ABC，，PM⊥AB
∴PD=PM，
又∵∠PMB=∠PDB=90°，BP=BP
∴Rt△PMB≌Rt△PDB，
∴BM=BD，
∵BD=BF-DF，BM=BE+EM，2BD= BF+BE，
∴BD+ BM=2BD，即BF-DF+ BE+EM= BF+BE
∴ME=DF，
同（一）方法即可证明Rt△PME≌Rt△PDF，从而证得①、②、③正确；
(三)添加条件 ②时，方法同（一）中即可证明Rt△PME≌Rt△PDF，从而证得其它结论正确；
（四）如果添加③，当点F在下图F′的位置时，其它三项不正确.

【点拨】本题重点考查角平分线的性质和三角形全等的证明，解题关键是熟练掌握三角形全等的证明方法.
4．40°
【分析】过点P作PF⊥AB于F，PM⊥AC于M，PN⊥CD于N，根据三角形的外角性质和内角和定理，得到∠BAC度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得到答案．
解：过点P作PF⊥AB于F，PM⊥AC于M，PN⊥CD于N，如图：

设∠PCD=x，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x，PM=PN，
∴∠ACD=2x，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PM=PN，
∵∠BPC＝50°，
∴∠ABP=∠PBC=，
∴,
∴，
∴，
在Rt△APF和Rt△APM中，
∵PF=PM，AP为公共边，
∴Rt△APF≌Rt△APM（HL），
∴∠FAP=∠CAP，
∴；
故答案为：40°；
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，正确求出是关键．
5．
【分析】如图（见分析），设，从而可得，先根据三角形的外角性质可求出，再根据角平分线的性质可得，从而可得，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据平角的定义即可得．
解：如图，过点P分别作于点M，于点N，于点E，
设，则，
，
，
是的平分线，
，
，
是的平分线，，，
，
同理可得：，
，
在和中，，
，
，即，
又，
，
解得，
故答案为：．

【点拨】本题考查了角平分线的定义与性质、三角形的外角性质、直角三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，利用角平分线的性质是解题关键．
6．见分析
【分析】在BC上截取BE＝BA，连接DE，证明△ABD≌△BED，可得出∠C＝∠DEC，则DE＝DC，从而得出AD＝CD即可证明．
解：如图，在BC上截取BE＝BA，连接DE，
∵BD＝BD，∠ABD＝∠CBD，
∴△BAD≌△BED，
∴∠A＝∠DEB，AD＝DE，
∵∠A+∠C＝180°，∠BED+∠DEC＝180°，
∴∠C＝∠DEC，
∴DE＝DC，
∴AD＝CD，
∴点D在线段AC的垂直平分线上．

【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定等，学会做辅助线找出全等三角形是解题的关键．
7．（1）BE＝AD，见分析；（2）BEG是等腰直角三角形，见分析
【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝AD；
（2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形．
解：证：（1）BE＝AD，理由如下：
如图，延长BE、AC交于点H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴BE＝HE＝BH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在△BCH和△ACD中，
，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
∴BE＝AD．
（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：
∵AC＝BC，AF＝BF，
∴CF⊥AB，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，
∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，
∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，
∵∠BEG＝90°，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴EG＝EB，
∴△BEG是等腰直角三角形．

【点拨】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键．
8．（1）见分析；（2）3
【分析】（1）证明△ACD≌△AED（AAS），即可得出结论；
（2）在AB上截取AM=AF，连接MD，证△FAD≌△MAD（SAS），得FD=MD，∠ADF=∠ADM，再证Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），得ME=BE，求出MB=AB-AM=6，即可求解．
解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAE，
∵DE⊥BA，
∴∠DEA=∠DEB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠DEA=90°，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC=AE；
（2）在AB上截取AM=AF，连接MD，
在△FAD和△MAD中，
，
∴△FAD≌△MAD（SAS），
∴FD=MD，∠ADF=∠ADM，
∵BD=DF，
∴BD=MD，
在Rt△MDE和Rt△BDE中，
，
∴Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），
∴ME=BE，
∵AF=AM，且AF=1.4，
∴AM=1.4，
∵AB=7.4，
∴MB=AB-AM=7.4-1.4=6，
∴BE＝BM＝3，
即BE的长为3．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明△FAD≌△MAD和Rt△MDE≌Rt△BDE是解题的关键．
9．AB=AC+BD，证明见详解．
【分析】延长AE，交BD的延长线于点F，先证明AB=BF，进而证明△ACE≌△FDE，得到AC=DF，问题得证．
解：延长AE，交BD的延长线于点F，
∵，
∴∠F=∠CAF，
∵平分，
∴∠CAF=∠BAF，
∴∠F=∠BAF，
∴AB=BF，
∵平分，
∴AE=EF，
∵∠F=∠CAF，∠AEC=∠FED，
∴△ACE≌△FDE，
∴AC=DF，
∴AB=BF=BD+DF=BD+AC．

【点拨】本题考查了等腰三角形的判断与性质，全等三角形的判定与性质，根据题意添加辅助线构造等腰三角形和全等三角形是解题关键．
10．（1）证明见分析；（2）2
【分析】（1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 ，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可．
解：（1）证明：连接、，
点在的垂直平分线上，
，
是的平分线，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
，
，，
，
即，
解得．

【点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
11．见分析
【分析】在线段BC上截取BE＝BA，连接DE．则只需证明CD＝CE即可．结合角度证明∠CDE＝∠CED．
解：证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE．

∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD∠ABC．
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD．（SAS）
∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB．
又∵AB＝AC，∠A＝108°，∠ACB＝∠ABC（180°﹣108°）＝36°，
∴∠ABD＝∠EBD＝18°．
∴∠ADB＝∠EDB＝180°﹣18°﹣108°＝54°．
∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDB
＝180°﹣54°﹣54°
＝72°．
∴∠DEC＝180°﹣∠DEB
＝180°﹣108°
＝72°．
∴∠CDE＝∠DEC．
∴CD＝CE．
∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，添加恰当辅助线是本题的关键．
12．见分析.
【分析】延长AD过C作CF垂直AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由条件AD＋AB＝2AE可证BE＝DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性质可得∠B＝∠FDC，问题得证．
解：证明：延长AD过C作CF垂直AD于F，
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC＝∠EAC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AFC＝∠AEC＝90°，AC=AC，
∴△AFC≌△AEC(AAS)，
∴AF＝AE，CF＝CE，
∵AD+AB=2AE，
又∵AD＝AF−DF，AB＝AE＋BE，AF＝AE，
∴2AE＝AE＋BE＋AE−DF，
∴BE＝DF，
在△CDF和△CBE中，，
∴△CDF≌△CBE（SAS），
∴∠B＝∠FDC，
∵∠ADC＋∠FDC＝180°，
∴∠ADC+∠B=180º．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是牢记三角形全等的判定定理．
13．详见分析
【分析】在AB上截，连接FG，根据角平分线的性质、结合三角形内角和定理可得，证明，得GD=GF，=60°，可证得，即可得GF=GE=GD.
解：证明：在AB上截，连接FG，

∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=∠EAB，
又∵AG=AG，
∴，
， ，
∵，AE,BD是ΔABC的角平分线，
∴
，
∴，
∵
，
∴ ，
∴GD=GE.
【点拨】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，作辅助线是解题的关键．
14．详见分析
【分析】过点向OA、OB作垂线，构建全等三角形，继而根据平角定义以及线段的和差即可证得结论.
解：如图，过点作与点，则∠F=∠CEO=90°，
，OC=OC，
，
，，
，，
，
，，
∵，，
.

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键.
15．点M到AC的距离为2
【分析】利用图形翻折前后图形不发生变化，从而得出AB=AB′=3，DM=MN，再利用三角形面积分割前后不发生变化，求出点M到AC的距离即可．
解：∵△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，假设这个点是B′，
作MN⊥AC，MD⊥AB，垂足分别为N，D，
又∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，
∴AB=AB′=3，DM=MN，AB′=B′C=3，
S△BAC=S△BAM+S△MAC，
即×3×6=×MD×3+×6×MN，
∴MD=2，
所以点M到AC的距离是2．

【点拨】本题考查了翻折变换(折叠问题)，发现DM=MN，以及AB=AB′=B′C=3，结合面积不变得出等式是解决问题的关键．
16．详见分析
【分析】延长BD至N，使DN=BD，易得AD垂直平分BN，继而证得AE=EN，则可证得结论．
解：延长BD至N，使DN=BD，连接AN．
∵AD⊥BE，
∴AD垂直平分BN，
∴AB=AN，
∴∠N=∠ABN，
又∵BE平分∠ABC，∠ABC=2∠C，
∴∠ABN=∠NBC=∠C，
∴∠NBC=∠C，
∴AN∥BC，
∴∠C=∠NAC，
∴∠NAC=∠N，
∴AE=EN，
∵BE=EC，
∴AC=BN=2BD．

【点拨】本题考查了等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及平行线的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
17．见分析
【分析】方法一，在BC上截取BE，使，连接DE，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，再根据全等三角形的性质可得，，由AD=CD等量代换可得，继而可得，由于，可证；
方法2，延长BA到点E，使，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，．由，可得，继而求得，由，继而可得；
方法3， 作于点E，交BA的延长线于点F，由角平分线的定义可得，由，，可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，再根据HL定理可得可证．
解：方法1 截长如图，在BC上截取BE，使，
连接DE，

因为BD是的平分线，
所以．
在和中，
因为
所以，
所以，．
因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
方法2   补短
如图，延长BA到点E，使．

因为BD是的平分线，
所以
在和中，
因为，
所以，
所以，．
因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
方法3   构造直角三角形全等

作于点E．交BA的延长线于点F
因为BD是的平分线，
所以．
因为，，
所以，
在和中，
因为，
所以，
所以．
在和中，
因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
18．（1）证明见分析；（2）证明见分析.
【分析】(1)连接DF，证△FAE≌△OAE，推出AF=AO，∠AFO=∠AOF，求出OD=DF，求出BF=DF，即可得出答案；
(2)在AD上截AG=OF，连接OG，证△AGO≌△OFB，推出GO=BF=OD，求出DE=GE，AD-OF=DG=2DE即可．
解：(1)连接DF，
∵OE⊥AD，
∴∠AEF=∠AEO=90°，
∵AD平分∠FAO，
∴∠EAF=∠OAE，
又∵AF=AF，
∴△EAF≌△OAF(ASA)，
∴AF=AO，∠AFO=∠AOF，
∵AD⊥OF，
∴EF=EO，
∴DF=DO，
∴∠DFO=∠DOF，
∵∠AFO=∠AOF，
∴∠AFD=∠AOB=90°，
∵∠AOB=90°，AO=BO，
∴∠B=45°，
∴∠FDB=∠AFO-∠B=45°=∠B，
∴BF=DF，
∴OD=BF；
(2)在AD上截AG=OF，连接OG，
∵∠OAB=∠B=45°，AD平分∠OAB，
∴∠OAG=22.5°，
∵OD=DF，
∴∠DFO=∠DOF，
∵∠FDB=45°=∠DFO+∠DOF，
∴∠FOB=22.5°=∠OAG，
∴△AGO≌△OFB(SAS)，
∴GO=BF=OD，
∵OE⊥AD，
∴DE=GE，
∴AD-OF=DG=2DE．

【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，线段垂直平分线性质的应用，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
19．（1）见分析；（2）①见分析；②．
【分析】（1）用证明，即得AB＝AC；
（2）①证明可得，再用证明△FAG≌△FAE，即得；
②过作于，由，可得，，而，故，即得，根据，可求．
解：（1）证明：是的角平分线，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）①，，，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
；
②过作于，如图：

由①知：，
，
，
，
由①知：，
，
，
，
，
∴．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的相关知识.
20．（1）证明见分析；（2）2.5；（3）100°．
【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，
（2）在BC上取一点G使BG=BD，构造（SAS），再证明，即可得，由此求出答案；
（3）延长BA到P，使AP=FC，构造（SAS），得PC=BC，，再由三角形内角和可求，，进而可得．
解：（1）、分别是与的角平分线，
，
，
，
（2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD，

由（1）得，
，
，
∴，
在与中，
，
∴（SAS）
∴，
∴，
∴，
∴
在与中，
，
，
，
，
；
∵，，
∴
（3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC，

，
∴，
在与中，
，
∴（SAS）
∴，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
【点拨】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
21．（1）见详解；（2）见详解；（3）AE=13
【分析】（1）由题意易得∠AOD=∠BOD，然后易证△AOD≌△BOD，进而问题可求证；
（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，由题意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，则有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，则根据三角形外角的性质可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，进而问题可求证；
（3）在AE上分别截取AF=AB，EG=ED，连接CF、CG，同理（2）可证△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，则有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，进而可得△CFG是等边三角形，最后问题可求解．
解：证明：（1）∵射线OP平分∠MON，
∴∠AOD=∠BOD，
∵OD=OD，OA＝OB，
∴△AOD≌△BOD（SAS），
∴AD＝BD．
（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示：

∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，
∵CD=CD，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，
∵∠B+∠EDB=∠CED，
∴∠EDB=∠B=30°，
∴DE=BE，
∴AD=BE，
∵BC=CE+BE，
∴BC＝AC+AD．
（3）在AE上分别截取AF=AB=9，EG=ED=1，连接CF、CG，如图所示：

同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，
∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，
∵C为BD边中点，
∴BC=CD=CF=CG=3，
∵∠ACE＝120°，
∴∠ACB+∠DCE=60°，
∴∠ACF+∠GCE=60°，
∴∠FCG=60°，
∴△CFG是等边三角形，
∴FG=CF=CG=3，
∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．
【点拨】本题主要考查三角形全等的性质与判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等．
22．（1）见分析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由见分析；（3）3．
【分析】（1）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，证明△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，AE＝AF，证明△BCE≌△DCF，得到DF＝BE，结合图形解答即可；
（3）在BD上截取BH＝BG，连接OH，证明△OBH≌△OBG，根据全等三角形的性质得到∠OHB＝∠OGB，根据角平分线的判定定理得到∠ODH＝∠ODF，证明△ODH≌△ODF，得到DH＝DF，计算即可．
解：（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，

∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，
∴∠CBE＝∠CDF，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（AAS）
∴BC＝DC；
（2）解：AD﹣AB＝2BE，
理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F，

∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，AE＝AF，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠CDF＝∠CBE，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（AAS），
∴DF＝BE，
∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE，
∴AD﹣AB＝2BE；
（3）解：如图3，在BD上截取BH＝BG，连接OH，

∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB
在△OBH和△OBG中，
，
∴△OBH≌△OBG（SAS）
∴∠OHB＝∠OGB，
∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线，
∴点O到AD，AB，BD的距离相等，
∴∠ODH＝∠ODF，
∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB，
∴∠DOH＝∠DAB＝60°，
∴∠GOH＝120°，
∴∠BOG＝∠BOH＝60°，
∴∠DOF＝∠BOG＝60°，
∴∠DOH＝∠DOF，
在△ODH和△ODF中，
，
∴△ODH≌△ODF（ASA），
∴DH＝DF，
∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线．