专题04图形思想之直角三角形综合重难点专练- 2022-2023学年八年级上册数学专题训练（浙教版）

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专题04图形思想之直角三角形综合重难点专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．今有一副三角板如图，中间各有一个直径为2cm的圆洞，现用三角板a的角那一头插入三角板b的圆洞中，则三角板a通过三角板b的圆洞那一部分的最大面积为　　不计三角板厚度

A． B． C．4 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先要作出几何图形，把不规则的几何图形转化为规则的图形，利用特殊角计算边和面积．
【详解】
解：如图，

，，，．
过A作于D，作于F，延长BO交CA于E．
则，所以，；
，则，．
在直角中，，，．
，
，
所以四边形OACB的面积．
故选：A．
【点睛】
学会把实际问题抽象为几何问题，作出几何图形同时也要学会把不规则的几何图形面积的计算问题转化为规则的几何图形面积问题充分利用含30度角的直角三角形三边的关系进行计算．
2．下列条件中，不能判断一个三角形为直角三角形的是　　
A．三个角的比是1：2：3 B．三条边满足关系
C．三条边的比是2：3：4 D．三个角满足关系
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】
A、三个角的比为1：2：3，设最小的角为x，则，，，故正确；
B、三条边满足关系，故正确；
C、三条边的比为2：3：4，，故错误；
D、三个角满足关系，则为，故正确．
故选C．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为即可．
3．如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是的中点，P是的中点，连接，若，则在旋转的过程中，线段的长度不可能是（ ）

A．5 B．4.5 C．2.5 D．0.5
【答案】A
【分析】
连接PC．首先依据直角三角形斜边上中线的性质求出PC=2，然后再依据三角形的三边关系可得到PM≤PC+CM，故此可得到PM的最大值为PC+CM．
【详解】
解：如图连接PC．

在Rt△ABC中，∵BC=4，AC=3，
∴AB=5，
根据旋转不变性可知，A′B′=AB=5，
∴A′P=PB′，
∴PC= A′B′=2.5，
∵CM=BM=2，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤4.5，
∴线段PM的长度不可能是5．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是旋转的性质，直角三角形的性质、三角形的三边关系，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
4．已知等边的边长为3，点E在直线上，点D在直线上，且，若，则的长为（ ）
A．6 B．9 C．3或6 D．3或9
【答案】D
【分析】
①在线段的延长线上时，过点作于，②当在线段的延长线时，过点作于，根据等边三角形的性质求出长和，解直角三角形求出，求出，即可求出答案．
【详解】
解：点在直线上，，点位置有两种情况：
①在线段的延长线上时，过点作于，
是等边三角形，的边长为3，，
，，
，
，
，
，
，
，
；

②如图2，当在线段的延长线时，过点作于，
是等边三角形，的边长为3，，
，，
，
，
，
，
，
，
；

即或3，
故选：D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
5．如图，已知的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，若，则S四边形EFGH÷S四边形ABCD四边形的值（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由角平分线的性质、两直线平行同旁内角互补性质解得，继而证明四边形EFGH是矩形，设，求得，，，
，作于，最后根据平行四边形与矩形的面积解题．
【详解】
解：在中，




平分平分，




同理可证
∴四边形EFGH是矩形，
，
设，则

中，





作于，

中，



S四边形EFGH÷S四边形ABCD，
故选：A．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、含30°角的直角三角形、正弦、平行线的性质、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
6．如图：．按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作圆弧，交射线于点F．连结；②以点F为圆心，长为半径作圆弧，交弧于点G；③连结、．作射线．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）

A． B．垂直平分
C． D．
【答案】D
【分析】
由作法得OC= OF = OG，FG= FC，根据线段垂直平分线的判定方法可判断OF垂直平分CG，则可对B选项进行判断;利用C点与G点关于OF对称得到∠FOG = ∠FOC =30°，则可对A选项进行判断;通过判断△OCG为等边三角形可对C选项进行判断;利用含30度的直角三角形三边的关系得到 OC = 2CM，加上CF> CM，FC= FG，则可对D选项进行判断.
【详解】
由作法得OC=OF= OG，FG= FC，则OF垂直平分CG，
所以B选项的结论正确；
∵C点与G点关于OF对称
∴∠FOG=∠FOC=30°，
∴∠AOG =60°，
所以A选项的结论正确;
∴△OCG为等边三角形，
OG = CG，
所以C选项的结论正确;
在Rt△OCM中，∵∠COM =30°
∴OC = 2CM，
∵CF > CM， FC= FG，
∴ OC ≠2FG，
所以D选项的结论错误
故选：D.
【点睛】
本题考查含30度的直角三角形、线段垂直平分线的判定、尺规作图、三角形的三边关系，等边三角形，熟练应用所学知识点判断是关键，利用尺规作图步骤分析是重点
7．如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（ ）

A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】
以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，由题意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，进而可得△PCD≌△QED，则有∠PCD=∠QED=90°，然后可得点Q是在QE所在直线上运动，所以CQ的最小值为CQ⊥QE时，最后问题可求解．
【详解】
解：以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示：

∵是等边三角形，
∴，
∵∠CDQ是公共角，
∴∠PDC=∠QDE，
∴△PCD≌△QED（SAS），
∵，，点D是边的中点，
∴∠PCD=∠QED=90°，，
∴点Q是在QE所在直线上运动，
∴当CQ⊥QE时，CQ取的最小值，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键．


二、填空题
8．如图，已知，P是射线ON上一动点即P点可在射线ON上运动，．
______时，为直角三角形．
设，则x满足______时，为钝角三角形．

【答案】5或20 或
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质解答；
根据的结论和钝角三角形的定义解答．
【详解】
解：当时，，
，
当时，，
，
故答案为：5或20；
当或时，为钝角三角形，
故答案为：或
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质，掌握所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．
9．如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB＝2CE，②tan∠B＝，③∠ECD＝∠DCB，④若AC＝2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最小值是3．其中正确的结论是____(填写正确结论的序号)．

【答案】①③④
【解析】
【分析】
根据中点的性质得到AD＝BD，根据等边三角形的性质得到AD＝CD，∠ADC=∠ACD=60°，CE⊥AB，∠DCE＝30°，根据等量代换有CD＝BD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠DCB＝30°，即可判断①②③，根据勾股定理可知d12+d22＝MN2＝CP2，根据垂线段最短，则当CP⊥AB时，d12+d22的值最小，即可判断④.
【详解】
∵D是AB中点
∴AD＝BD
∵△ACD是等边三角形，E是AD中点
∴AD＝CD，∠ADC=∠ACD =60°，CE⊥AB，∠DCE＝30°
∴CD＝BD
∴∠B＝∠DCB＝30°，且∠DCE＝30°，CE⊥AB
∴∠ECD＝∠DCB，BC＝2CE，tan∠B＝
故①③正确，②错误
∵∠DCB＝30°，∠ACD＝60°
∴∠ACB＝90°
若AC＝2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，
∴四边形PMCN是矩形
∴MN＝CP
∵d12+d22＝MN2＝CP2
∴当CP为最小值，d12+d22的值最小
∴根据垂线段最短，则当CP⊥AB时，d12+d22的值最小
此时：∠CAB＝60°，AC＝2，CP⊥AB
∴CP＝,
∴d12+d22＝MN2＝CP2＝3
即d12+d22的最小值为3
故④正确
故答案为①③④
【点睛】
考查等边三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，综合性比较强.
10．如图是由 5 个边长为 1 的正方形组成了“十”字型对称图形，则图中∠BAC 的度数是_________．

【答案】45.
【解析】
【分析】
连接BC，通过计算可得AB=BC，再利用勾股定理逆定理证明△ABC是等腰直角三角形，从而得出结果.
【详解】
解：连接BC，因为每个小正方形的边长都是1，
由勾股定理可得，，，
∴AB=BC，，
∴∠ABC=90°.
∴∠BAC=∠BCA=45°.
故答案为45°.

【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是连接BC，构造等腰直角三角形，而通过作辅助线构造特殊三角形也是解决角度问题的常见思路和方法.
11．如图，将一块为的直角三角板和等腰直角三角板叠合在一起，边与重合，斜边．当点从点出发沿着方向滑动时，点同时沿着方向滑动．当点从点滑动到点时，点运动的路径长为______．

【答案】
【分析】
由题意易得BC=5，则有，当点从点出发滑动到如图所示得到，过点作于点N，作于点M，进而根据题意可得点D在射线CD上运动，然后可根据题意进行求解．
【详解】
解：∵∠A=30°，，∠ACB=90°，
∴，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴，∠ACD=∠DCB=45°，
当点从点出发滑动到如图所示得到，过点作于点N，作于点M，

∴，
∵∠ACB=90°，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分∠ACB，
∴点D在射线CD上运动，且当时，点D运动到最远距离，
∴最大值为，
∴当点从点滑动到点时，点运动的路径长为；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查角平分线的判定定理、含30°直角三角形的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的判定定理、含30°直角三角形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
12．如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值为______．

【答案】3
【分析】
过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，DF＝DC，2AD＋DC＝2（AD＋DC）＝2（AD＋DF）当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD＋DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长．
【详解】
解：过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图所示：

在Rt△DFC中，∠DCF=30°，
∴DF=DC，
∵2AD＋DC=2（AD＋DC）=2（AD＋DF），
∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD＋DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，
此时，∠B＝∠ADB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD＝AB＝2，
在Rt△ABC中，
∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝1，
∴BC＝2，
∴DC＝1，
∴DF＝DC＝，
∴AF＝AD＋DF＝1＋＝，
∴2（AD＋DF）＝2AF＝3，
∴2AD＋DC的最小值为3，
故答案是：3．
【点睛】
本题考查垂线段最短、含30°角直角三角形的性质，解题的关键是学会添加辅助线，构造“胡不归”模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．

三、解答题
13．如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：BF=2AE；
（2）若CD=3，求AD的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，得出AD＝BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD＝∠CBE，由ASA证得△ADC≌△BDF，得出BF＝AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC＝2AE，即可得出结论；
（2）根据全等三角形对应边相等得出DF＝CD，由勾股定理求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出AF＝CF，然后根据AD＝AF+DF代入数据即可得出结果．
【详解】
（1）∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD．
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠CBE．
在△ADC和△BDF中，，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴BF=AC．
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AC=2AE，
∴BF=2AE；
（2）∵△ADC≌△BDF，
∴DF=CD=3．
在Rt△CDF中，CF6．
∵BE⊥AC，AE=EC，
∴AF=CF=6，
∴AD=AF+DF=6+3．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
14．如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD的边BC在OM上，对角线AC⊥ON．
（1）求∠ACD度数；
（2）当AC=5时，求AD的长．（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果精确到0.1）

【答案】(1) 25°；（2）2.1.
【解析】
试题分析：（1）延长AC交ON于点E，如图，利用互余计算出∠OCE=65°，再利用对顶角相等得到∠ACB=∠OCE=65°，再根据∠ACD=90°-∠ACB即可解决问题；
（2）接着在Rt△ABC中利用∠ACB的余弦可计算出BC，然后根据矩形的性质即可得到AD的长.
试题解析：（1）延长AC交ON于点E，如图，

∵AC⊥ON，
∴∠OEC=90°，
在Rt△OEC中，
∵∠O=25°，
∴∠OCE=65°，
∴∠ACB=∠OCE=65°，
∴∠ACD=90°﹣∠ACB=25°
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC，
在Rt△ABC中，∵cos∠ACB=，
∴BC=AC•cos65°=5×0.42=2.1，
∴AD=BC=2.1．
15．已知，如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线
（1）若∠B=30°，∠ACD=45°，AB=2，求BC的长．
（2）若点G是线段CE的中点，连接DG，当DG⊥EC时，求证: AB=2CD．
（3）在（2）的条件下，试判断∠AEC与∠B之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析.
【分析】
（1）由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解得AD=DC=1，再结合勾股定理解题即可；
（2）由三线合一性质证明DC=DE，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，据此利用等量代换解题即可；
（3）由直角三角形斜边中线性质可证BE=ED，再结合等边对等角解得∠DEC=∠DCE，最后根据角的和差解题即可.
【详解】
解：（1）∵AD是BC边上的高线
∴∠ADC=∠ADB=90°
∵∠ACD=45°，∠B=30°
∴∠ACD=∠CAD=45°，∠BAD=60°
∴AD=DC，
又∵AB=2
∴AD=DC=1
在Rt△ABD中，=
∴BC=BD+CD=；
（2）证明：∵G是线段CE的中点，DG⊥EC
∴DC=DE
∵CE是AB边上的中线，AD⊥BC
∴
∴即AB=2CD；

（3），理由如下，
∵,AE=BE
∴BE=ED
∴∠B=∠EDB
∵DE=DC
∴∠DEC=∠DCE
∴∠B=∠EDB=2∠DCE
又∵∠AEC=∠B+∠DCE
∴∠AEC=3∠DCE
∴.
【点睛】
本题考查含30°的直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线、三线合一性质、勾股定理、等边对等角等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.
16．如图，中，于，于，与相交于点．

（1）如图1，，求的度数；
（2）如图2，，和的平分线相交于点，求的度数；
（3）如图3，点为的中点，连接和，请判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）∠BFC =120°；（2）；（3）为等腰三角形，理由见解析．
【分析】
（1）利用同角的余角相等，证明∠CFD=∠A，再利用邻补角即可解决问题．
（2）求出∠FBC+∠FCB=60°，再根据角平分线的定义求出∠GBC+∠GCB=30°，由此即可解决问题．
（3）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PE=PD，从而可得为等腰三角形．
【详解】
解：（1）∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
∴∠AEC=∠BDC=90°，
∴∠A+∠ACE=90°，∠ACE+∠CFD=90°，
∴∠CFD=∠A=60°，
∴∠BFC=180°-∠DFC=180°-∠A=120°；
（2）由（1）得∠BFC=120°，
∴∠FBC+∠FCB=180°-∠BFC=60°，
∵∠FBC、∠FCB的平分线交于点G，
∴
∴；
（3）为等腰三角形，理由如下：
∵于，于，点为的中点，
∴，，
∴PE=PD，
∴为等腰三角形．
【点睛】
本题考查直角三角形两锐角互余，同角的余角相等，等腰三角形的定义，直角三角形斜边上的中线，角平分线的有关证明和三角形内角和定理．熟练掌握这些定理，并能正确识图是解题关键．
17．如图，//，点A，B分别在直线，上，若射线绕点A逆时针旋转至后立即回转，射线绕点B顺时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点A，点B不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且a，b满足方程组．

（1）求a，b的值；
（2）若射线和射线同时旋转，至少旋转多少秒时，射线和射线互相垂直？
【答案】（1），；（2）至少旋转18秒时，射线AN与射线BP互相垂直．
【分析】
（1）解二元一次方程组，即可求得a和b的值；
（2）设至少旋转x秒时，射线AN和射线BP互相垂直，根据直角三角形两锐角互余和平行线的性质可得2x°+3x°=90°，求解即可．
【详解】
解：（1），
①+②得：，解得，
将代入②得，解得，
所以原方程组的解为：，
即，；
（2）设至少旋转x秒时，射线AN和射线BP互相垂直，记旋转后的两条射线交于点C，连接AB，如图，则∠BCA=90°，

由已知得∠PBC=2x°，∠NAC=3x°，
∵MN//PQ，
∴∠PBA+∠BAN=180°，
∵∠BCA=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠PBC+∠NAC=90°，
∴2x°+3x°=90°，
解得，
答：至少旋转18秒时，射线AN与射线BP互相垂直．
【点睛】
本题考查平行线的性质，直角三角形两锐角互余，解二元一次方程组．（1）中掌握解二元一次方程组的方法并能灵活运用是解题关键；（2）能根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余列出方程是解题关键．
18．将两个完全相同的含角直角三角板如图所示放置，

（1）求证：；
（2）连接，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）30°
【分析】
（1）欲证△ADF≌△CDE，已知有∠E=∠F=30°，∠EDC=∠FDA，因此还差一条边对应相等；由已知有BE=BF，根据直角三角形中30°角的性质，可得BC=BF，AB=BE，则必有EC=FA，从而可证得结论成立；
（2）由（1）可得CD=AD，又DC⊥BE，DA⊥BF，由角平分线的判定定理即可得BD平分∠ABC，从而可求得∠ABD的度数．
【详解】
（1）∵三角板ABE、三角板CBF是两块一样的直角三角板
∴BE=BF，∠E=∠F=30°，∠EAB=∠FCB=90°
∴ BC=BF，AB=BE
∴BC=AB
∴BE−BC=BF−AB
∴EC=FA
在△ADF和△CDE中

∴ △ADF≌△CDE（AAS）
（2）∵△ADF≌△CDE
∴AD=CD
∵∠EAB=∠FCB=90°
∴BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠ABC
∵∠ABC=90°−∠E=60°
∴∠ABD=30°
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定定理、直角三角形30°的性质；关键是根据直角三角形30°角的性质得出BC= AB ．
19．在的方格纸中，点，，都在格点上，按要求画图（保留作图痕迹）：
（1）在图1中找一点，使点在线段上，且；
（2）在图2中找一格点，使180°．

【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】
（1）先作线段AB的垂线，然后根据直角三角形斜边中线定理可进行作图；
（2）分别作AB、AC的垂线，然后交于一点，则问题即可求解．
【详解】
解：（1）作AB的垂线，构造直角三角形斜边中线，如图所示，

由直角三角形斜边中线定理可得AD=BD，则有；
（2）分别作AB、AC的垂线，然后交于一点，如图所示：

∴，
∴，
∴，则点E即为所求．
【点睛】
本题主要考查直角三角形斜边中线定理、垂线及中线的作法，熟练掌握直角三角形斜边中线定理、垂线及中线的作法是解题的关键．
20．已知，点A在边OM上，点P是边ON上一动点，，将线段AP绕点A逆时针旋转，得到线段AB，连接OB，再将线段OB绕点O顺时针旋转，得到线段OC，作于点H．
（1）如图1，．
①依题意补全图形；
②连接BP，求的度数；
（2）如图2，当点P在射线ON上运动时，用等式表示线段OA与CH之间的数量关系，并证明．

【答案】（1）①见解析；②90°；（2），见解析
【分析】
（1）①按题意画图即可；②由旋转可得是等边三角形，进而求出的度数；
（2）由旋转证，得出，再求出，可得线段OA与CH之间的数量关系．
【详解】
解：（1）①下图即为所求：

② ，
解：∵线段AP绕点A逆时针旋转得到AB，
，且．
是等边三角形．
．
，
，
．
．
（2）
证明：连接BP，BC，
由（2）可知，是等边三角形，
．
∵线段OB绕点O顺时针旋转得到OC，

．
是等边三角形．
．
．
．
．
，
．
．
，
．
，
．
∴在中，．
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题关键是熟练运用相关性质准确进行推理证明．
21．如图1所示，已知，在钝角中，，点D在边BC的延长线上，连接AD，AE平分交CD于点E，过点E作，垂足为点直线EH与直线AC相交于点设，．

（1）求证：；
（2）设，．
①若，，则______，______；
②若D是线段BC的延长线上一动点，试探究与的关系，并说明理由；
（3）若将（2）中“D是线段BC的延长线上一动点”改为“D是线段CB的延长线上一动点”，其它条件不变，试完成下列问题：
①请在图2中补全图形；
②与的关系为_______________________________．
【答案】（1）见解析；（2）①，．②，理由见解析；（3）①见解析；②
【分析】
（1）根据，利用互余性质可得，，再利用等角的余角相等可得，再利用，进行等量代换即可得到答案；
（2）①在中利用内角和公式即可求，在中利用互余性质可求得；②设，，同①分别利用内角和公式和互余性质可得，，即可判断；
（3）①依据题意画出图形即可，注意D是线段CB的延长线上一动点，应在线段CB的延长线作图；②设，，利用角的和差可得，即，则，根据互余的性质得：，即可得：．
【详解】
（1）证明：，
，
，，
，
，
，
．
（2）①，
，
，
，
平分，
，
，
，
．
故答案为，．
②如图1中，设，．
，
，
，
．
（3）①图形如图所示：

②设，．
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了角的和差、角平分线、三角形内角和和互余的性质，解答此题的关键是找到角与角之间的关系．
22．如图1，在等边三角形中，于于与相交于点．

（1）求证：；
（2）如图2，若点是线段上一点，平分交所在直线于点．求证：．
（3）如图3，若点是线段上一点（不与点重合），连接，在下方作边交所在直线于点．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）OF=OG+OA，理由见解析
【分析】
（1）由等边三角形的可求得∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，理由含30°角的直角三角形的性质可得OC=2OD，进而可证明结论；
（2）理由ASA证明△CGB≌△CGF即可证明结论；
（3）连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，可证得△OMG是等边三角形，进而可利用ASA证明△GMF≌△GOB，得到MF=OB=OA，由OF=OM+MF可说明猜想的正确性．
【详解】
解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，
∴OA=OC，
在Rt△OCD中，∠ODC=90°，∠OCD=30°，
∴OC=2OD，
∴OA=2OD；
（2）证明：∵AB=AC=BC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴BG=CG，
∴∠GCB=∠GBC，
∵CG平分∠BCE，
∴∠FCG=∠BCG=∠BCF=15°，
∴∠BGC=150°，
∵∠BGF=60°，
∴∠FGC=360°-∠BGC-∠BGF=150°，
∴∠BGC=∠FGC，
在△CGB和△CGF中，
，
∴△CGB≌△CGF（ASA），
∴GB=GF；
（3）解：OF=OG+OA．理由如下：
连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，

∵CA=CB，CE⊥AB，
∴AE=BE，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠AOB=120°，∠AOM=∠BOM=60°，
∵OM=OG，
∴△OMG是等边三角形，
∴GM=GO=OM，∠MGO=∠OMG=60°，
∵∠BGF=60°，
∴∠BGF=∠MGO，
∴∠MGF=∠OGB，
∵∠GMF=120°，
∴∠GMF=∠GOB，
在△GMF和△GOB中，
，
∴△GMF≌△GOB（ASA），
∴MF=OB，
∴MF=OA，
∵OF=OM+MF，
∴OF=OG+OA．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定的与性质，含30° 角的直角三角形，角平分线的定义等知识的综合运用，属于三角形的综合题，证明相关三角形全等是解题的关键．
23．在△ABC中，AB＝AC，E是BC中点，G、H分别为射线BA、AC上一点，且满足∠GEH+∠BAC＝180°．


（1）如图1，若∠B＝45°，且G、H分别在线段BA、AC上，CH＝2，求线段AG的长度；
（2）如图2，连接AE并延长至点D，使DE＝AE，过点E作EF⊥BD于点F，当点G在线段BA的延长线上，点H在AC延长线上时，求证：2BF+CH＝BG；
（3）如图3，在（2）的条件下，将∠GEH绕点E旋转一定的角度，点H与点A重合时，取线段EF中点M，点N为GE上一动点，将线段MN绕点M逆时针旋转90°得到线段MN'，连接FN'．若∠ABC＝30°，BE，EFBE，当线段FN'的长度最小时，请直接写出△FN'C的面积．
【答案】（1）AG=2；（2）证明见详解；（3）S△FN'C=．
【分析】
（1）连结AE，由∠B＝45°，AB＝AC，可得∠B=∠C=45°，∠BAC=90°，由满足∠GEH+∠BAC＝180°可求∠GEH=90°由点E为BC中点，可得AE=CE=BE，AE⊥BC，AE平分∠CAB，可证△CEH≌△AEG（ASA），可得CH=AG即可；
（2）延长FE交AC于T，过E作ES⊥AB与S，先证△AEC≌△DEB（SAS），可得AC=DB=AB ，∠DBE=∠ACE，可证AC∥BD，由E为AD中点，等腰三角形性质可得∠FBE=∠SBE，再证△ESB≌△EFB（AAS），可得BS=BF，ES=EF，证明△ETC≌△EFB（AAS），可得TC=BF，ET=EF=ES，最后证△HET≌△GES（ASA），可得TH=SG即可；
（3）过C作CU⊥BD交BD延长线于U，过N′作NV⊥EF交射线EF于V，由∠ABC＝30°，AB=AC，可得∠ACB=∠ABC=30°，可求∠BAC=120°，∠EAB=∠CAE=60°，可证△EAG为等边三角形与△ABD为等边三角形，可求∠EBD=∠ABD-∠ABC=30°，在Rt△BEF中，∠FBE=30°，BE，可求EF=，在Rt△BCU中，∠CBU =30°，BC，可求CU=，由M为EF中点，可求EM=MF=，可证RT△NEM≌Rt△N′VM（AAS），可得EM=VN′=，由FN′≥VN′=，当FN′=最短此时点N′在BD上，可求S△FN'C=．
【详解】
解：（1）连结AE，
∵∠B＝45°，AB＝AC，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠BAC=180-∠B-∠C=90°，
∵满足∠GEH+∠BAC＝180°，
∴∠GEH=90°，
∵点E为BC中点，
∴AE=CE=BE，AE⊥BC，AE平分∠CAB，
∴∠GAE=∠EAC=45°=∠C，
∵∠GEA+∠AEH=90°，∠HEC+∠AEH=90°，
∴∠GEA=∠HEC，
在△CEH和△AEG中，
，
∴△CEH≌△AEG（ASA），
∴CH=AG，
∵CH＝2，
∴AG=2；

（2）延长FE交AC于T，过E作ES⊥AB与S，
在△AEC和△DEB中，
，
∴△AEC≌△DEB（SAS），
∴AC=DB=AB ，∠DBE=∠ACE，
∴AC∥BD，
∵E为AD中点，
∴BE平分∠ABD，
∴∠FBE=∠SBE，
∵EF⊥BD，ES⊥BA，
∴∠EFB=∠ESB=90°，
在△ESB和△EFB中，
，
∴△ESB≌△EFB（AAS），
∴BS=BF，ES=EF，
∵EF⊥BD，AC∥BD，
∴ET⊥AC，
∴∠ETC=∠EFB=90°，
在△ETC和△EFB中，
，
∴△ETC≌△EFB（AAS），
∴TC=BF，ET=EF=ES，
∴∠TES+∠CAB=360°-∠ETA-∠ESA=180°，
∴∠TES=∠HEG，
∴∠SEG=∠SET+∠TEG=∠GEH+∠TEG=∠THE，
在△HET和△GES中，
，
∴△HET≌△GES（ASA），
∴TH=SG，
∴BG=BS+SG=BF+TH=BF+TC+CH=BF+BF+CH=2BF+CH;

（3）过C作CU⊥BD交BD延长线于U，过N′作NV⊥EF交射线EF于V，
∵∠ABC＝30°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=30°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-30°-30°=120°，
∵E为BC中点，AE⊥BC，AE平分∠BAC，
∴∠EAB=∠CAE=60°，
∴∠AEG=180°-∠BAC=180°-120°=60°，
∴△EAG为等边三角形，
∵BD=AC=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠EBD=∠ABD-∠ABC=30°，
∵BE，
∴BC=2BE=，
∴在Rt△BEF中，∠FBE=30°，BE，
∴EF=，
∴在Rt△BCU中，∠CBU =30°，BC，
∴CU=，
∵M为EF中点，
∴EM=MF=，
∵△AGE为等边三角形，∠EGA=60°，△ABD为等边三角形，∠ABD=60°，
∴∠EGA=∠ABD =60°，
∴EG∥BD，
∴EF⊥EG，
∵NM⊥N′M，
∴∠EMN+∠VMN′=90°，∠VMN′+∠VN′M=90°，
∴∠EMN=∠VN′M，
在RT△NEM和Rt△N′VM中，
，
∴RT△NEM≌Rt△N′VM（AAS），
∴EM=VN′=，
∵FN′≥VN′=，
∴当FN′=最短此时点N′在BD上，
S△FN'C=．

【点睛】
本题考查等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，等边三角形判定与性质，30°直角三角形性质，三角形面积，掌握等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，等边三角形判定与性质，30°直角三角形性质，三角形面积是解题关键
24．一副直角三角板由一块含30°的直角三角板与一块等腰直角三角板组成，且含30°角的三角板的较长直角边与另一三角板的斜边相等（如图1）

（1）如图1，这副三角板中，已知AB＝2，AC＝　 　，A′D＝　 　
（2）这副三角板如图1放置，将△A′DC′固定不动，将△ABC通过旋转或者平移变换可使△ABC的斜边BC经过△A′DC′′的直角顶点D．
方法一：如图2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜180°）
方法二：如图3，将△ABC沿射线A′C′方向平移m个单位长度
方法三：如图4，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转角度β（0°＜β＜180°）
请你解决下列问题：
①根据方法一，直接写出α的值为：　 　；
②根据方法二，计算m的值；
③根据方法三，求β的值．
（3）若将△ABC从图1位置开始沿射线A′C′平移，设AA′＝x，两三角形重叠部分的面积为y，请直接写出y与x之间的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．
【答案】（1）；（2）①15°；②；③30°；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形中30°的直角边所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长；
（2）①根据三角板的度数即可求解；
②作DH⊥A′C于H，易证△CDH∽△CBA，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得CH的长，进而求得CC′；
③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G，可以证得Rt△AGD≌Rt△DHA，则BC∥AC′，利用平行线的性质即可求解；
（3）分0＜x≤，＜x≤，＜x≤2，x＞2四种情况即可求解．
【详解】
（1）∵直角△ABC中，∠BAC＝30°，
∴BC＝2AB＝4，
∴AC＝＝2，
在等腰直角直角△A′DC′中，A′C′＝2，
∴A′D＝A′C′＝；
（2）①α＝45°﹣30°＝15°；
②作DH⊥A′C于H，则DH＝A′C′＝C′H＝，
∵DH∥AB，
∴△CDH∽△CBA．
∴，即，
∴CH＝3．
∴CC′＝CH﹣C′H＝3﹣，即m＝CC′＝3﹣；
③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G，
由已知：DH＝，
AG×BC＝AB×AC，
∴AG＝＝，
∴AG＝DH．
在Rt△AGD和Rt△DHA中：，
∴Rt△AGD≌Rt△DHA，
∴∠GDA＝∠DAH＝45°，
∴BC∥AC′，
∴β＝∠BCA＝30°；
（3）y＝．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应相等相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30°的直角三角形三边的关系以及等腰直角三角形的性质．
25．已知和是等腰直角三角形，，F为的中点，连结．

（1）如图①，当点D在上，点E在上，请判断线段的数量关系，并说明理由．
（2）如图②，在（1）的条件下将绕点A顺时针旋转，请你判断此时（1）中的结论，是否仍然成立，并证明你的判断．
【答案】（1）DF=CF，理由见解析；（2）成立，证明见解析
【分析】
（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF；
（2）延长DF交BC于点G，先证明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根据AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因为∠ABC=90°，所以DF=CF．
【详解】
解：（1）∵∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，
∴DF=BE，CF=BE，
∴DF=CF；
（2）成立，
证明：如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G．
∵∠ADE=∠ACB=90°，
∴DE∥BC．
∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF．
∵F为BE中点，
∴EF=BF．
∴△DEF≌△GBF．
∴DE=GB，DF=GF．
∴CF=DG=DF．

【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定，要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．