2018年浙江省学业水平考试数学真题试卷
展开2018年6月浙江省学业水平考试
数学试题
一、选择题
- 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
- 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
- 设，则（ ）
A. B. C. D.
- 将一个球的半径扩大到原来的倍，则它的体积扩大到原来的（ ）
A.倍 B.倍 C.倍 D.倍
- 双曲线的焦点坐标是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
- 已知向量，，若，则实数的值是（ ）
A. B. C. D.
- 设实数，满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
- 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
- 已知直线，和平面，，则“”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
- 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A.向右平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向左平移个单位
- 若关于的不等式的解集为，则的值（ ）
A.与有关，且与有关 B.与有关，但与无关
C.与无关，且与无关 D.与无关，但与有关
- 在如图所示的几何体中，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，则该几何体的正视图为（ ）
A. B.
C. D.
- 在如图所示的几何体中，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，二面角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
- 如图，，分别为椭圆的右顶点和上顶点，为坐标原点，为线段的中点，为在上的射影，若平分，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
- 三棱柱各面所在平面将空间分为（ ）
A.部分 B.部分 C.部分 D.部分
- 函数（其中为自然对数的底数）的图象如图所示，则（ ）
A.， B.，
C.， D.，
- 数列是公差不为的等差数列，为其前项和.若对任意的，有，则的值不可能为（ ）
A. B. C. D.
- 已知，是正实数，则下列式子中能使恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题
- 圆的圆心坐标是_______，半径长为_______.
- 如图，设边长为的正方形为第个正方形，将其各边相邻的中点相连， 得到第个正方形，再将第个正方形各边相邻的中点相连，得到第个正方形，依此类推，则第个正方形的面积为______.
- 已知，则实数的取值范围是_______.
- 已知动点在直线上，过点作互相垂直的直线，分别交轴、轴于、两点，为线段的中点，为坐标原点，则的最小值为_______.
三、解答题
- 已知函数，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的最大值，并求出取到最大值时的集合.
- 如图，直线不与坐标轴垂直，且与抛物线有且只有一个公共点.
（Ⅰ）当点的坐标为时，求直线的方程；
（Ⅱ）设直线与轴的交点为，过点且与直线垂直的直线交抛物线于，两点.当时，求点的坐标.
- 设函数，其中.
（Ⅰ）当时，求函数的值域；
（Ⅱ）若对任意，恒有，求实数的取值范围.
2018年6月浙江省学业水平考试
数学试题答案
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
答案 | B | A | C | D | A | A | B | C | B |
题号 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
答案 | A | D | C | D | D | C | C | A | B |
二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）
19． ；. 20. 21. 22.
三、解答题
- 已知函数，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的最大值，并求出取到最大值时的集合.
答案：
（Ⅰ）；
（Ⅱ），.
解答：
（Ⅰ）.
（Ⅱ）因为，所以，函数的最大值为，当，即时，取到最大值，所以，取到最大值时的集合为.
- 如图，直线不与坐标轴垂直，且与抛物线有且只有一个公共点.
（Ⅰ）当点的坐标为时，求直线的方程；
（Ⅱ）设直线与轴的交点为，过点且与直线垂直的直线交抛物线于，两点.当时，求点的坐标.
答案：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
解答：
（Ⅰ）设直线的斜率为，则的方程为，联立方程组，消去，得，由已知可得，解得，故，所求直线的方程为.
（Ⅱ）设点的坐标为，直线的斜率为，则的方程为，联立方程组，消去，得，由已知可得，得，所以，点的纵坐标，从而，点的纵坐标为，由可知，直线的斜率为，所以，直线的方程为.设，，将直线的方程代入，得，
所以，，又，，，由，得，即，解得，所以，点的坐标为.
- 设函数，其中.
（Ⅰ）当时，求函数的值域；
（Ⅱ）若对任意，恒有，求实数的取值范围.
答案：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
解答：
（Ⅰ）当时，，
（ⅰ）当时，，此时；
（ⅱ）当时，，此时，
由（ⅰ）（ⅱ），得的值域为.
（Ⅱ）因为对任意，恒有，所以，即，解得.
下面证明，当，对任意，恒有，
（ⅰ）当时，，，故成立；
（ⅱ）当时，，，，故成立.
由此，对任意，恒有.
所以，实数的取值范围为.
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