2021届上海市七宝中学高三冲刺模拟卷一数学试题含解析

2021届上海市七宝中学高三冲刺模拟卷一数学试题

一、单选题

1．“”是“直线与直线垂直”的（       ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用两直线垂直可求得的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】若直线与直线垂直，则，

即，解得或，

因为，所以，“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件.

故选：A.

2．已知抛物线的焦点F、M是抛物线上位于第一象限内的一点，O为坐标原点，若的外接圆D与抛物线的准线相切，则圆D与直线相交得到的弦长为（       ）

A． B．4 C． D．

【答案】D

【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，即可求出圆与直线相交得到的弦长，得到答案.

【详解】因为的外接圆与抛物线的准线相切，

所以的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，

又因为圆心在的垂直平分线上，，

所以圆的半径为，圆心的横坐标为，所以圆心的纵坐标为，

所以圆心到直线的距离，

所以圆与直线相交得到的弦长为.

故选：D.

3．函数为奇函数，、分别为函数图象上相邻的最高点与最低点，且，则该函数的一条对称轴为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由函数的基本性质可求得、的值，再利用正弦型函数的对称性可求得该函数的对称轴方程，即可得出合适的选项.

【详解】因为函数为奇函数，且，则，

所以，，

因为、分别为函数图象上相邻的最高点与最低点，且，

则，因为，可得，则，

由，可得，

所以，该函数的一条对称轴为直线.

故选：A.

4．实数满足，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由得，从而有，而，，因此有，求出的最小值，的最大值，并验证这两个最值能取到，即得所求范围．

【详解】∵，∴，∴，，

∵，∴，，

∴，

∵，

∴（时取等号），

（时取等号），

时，，时，均满足题意，

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查求二元函数的取值范围问题，求二元函数的取值范围或最值，可利用式子的几何意义求解，如比值的几何意义可能是斜率，平方和的几何意义可能是两点间距离等，本题式子是相乘，没有上述几何意义，因此用已知条件放缩消元，即题中，注意这里不是恒成立问题，因此求的最小值，的最大值，但是果验证这两个最值能取到，则可得所求范围．

二、填空题

5．若纯虚数满足，则实数等于_________.

【答案】1

【分析】首先根据复数代数形式的除法化简，再根据复数的类型求出参数的值；

【详解】解：因为，所以，

因为为纯虚数，所以，解得；

故答案为：

6．已知集合，当为4022时，集合的元素个数

为         ．

【答案】

【详解】由，得到集合A中的 ，

在一个周期内，有1006个不同的值，

所以集合A中的元素个数为1006． 

故答案为1006 .

【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式、余弦函数的周期性，掌握集合中元素的互异性，意在考查综合所学知识解答问题的能力，是一道基础题．

7．若角的终边经过点，则的值为________

【答案】.

【分析】根据三角函数的定义求出的值，然后利用反三角函数的定义得出的值.

【详解】由三角函数的定义可得，，

故答案为.

【点睛】本题考查三角函数的定义以及反三角函数的定义，解本题的关键就是利用三角函数的定义求出的值，考查计算能力，属于基础题.

8．求二项式展开式中的常数项_______________

【答案】

【分析】，写出通项，令的指数为0，即可求得展开式中的常数项．

【详解】解：，

则，

令，则，

．所以常数项为.

故答案为：-20.

9．若实数，满足，则的最小值为__________.

【答案】

【分析】利用基本不等式求最小值。

【详解】∵，

∴，当且仅当即时等号成立，

∴的最小值是4。

故答案为：4。

【点睛】本题考查用基本不等式求最值。由基本不等式求最值时注意等号成立的条件。

10．设函数的反函数为，若关于的方程

在上有解，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】求出反函数，可得，当时，，从而可得结果.

【详解】,

,

,

当时，，

，

的取值范围是，故答案为.

【点睛】本题主要考查反函数的定义，以及指数函数与对数函数的性质，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.

11．直角坐标系内有点，将四边形ABCD绕直线旋转一周，所得到的几何体的体积为____

【答案】

【分析】四边形是矩形，边在直线上，旋转一周后得一圆柱，是圆柱的高，是底面半径，由此可计算体积。

【详解】由题意四边形是矩形，边在直线上，旋转一周后所得几何体为圆柱，是圆柱的高，是底面半径，。

故答案为：。

【点睛】本题考查圆柱的体积，考查圆柱的定义。属于基础题。

12．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角的终边与单位圆交点的横坐标是，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，则=        ．

【答案】

【分析】先由三角函数的定义求出的正弦值以及余弦值，再结合角的范围，求出的正弦值域余弦值，再利用两角差的余弦公式可得结果.

【详解】因为

故答案为.

【点睛】本题主要考查三角函数的定义、考查了两角差的余弦弦公式，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.

13．已知平面直角坐标系中两点、，为原点，有.设、、是平面曲线上任意三点，则的最大值为________

【答案】20.

【分析】将圆的方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径长，由题意得

，转化为圆内接四边形中正方形的面积最大，即可得出的最大值.

【详解】将圆的方程化为标准方程得，圆心坐标为，半径长为，

，

由于圆内接四边形中，正方形的面积最大，

所以，当四边形为正方形时，取最大值，此时正方形的边长为，

所以，，故答案为.

【点睛】本题考查圆的几何性质，考查圆内接四边形面积的最值问题，解题时要充分利用题中代数式的几何意义，利用数形结合思想进行转化，另外了解圆内接四边形中正方形的面积最大这一结论的应用.

14．将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线.若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则的最大值为__________

【答案】

【分析】先画出函数的图象，然后根据图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于时，曲线都不是一个函数的图象，求出此角即可

【详解】如图，函数的图象，是一个圆弧，圆心为，

若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则需满足旋转后的圆最多与轴相切，也即旋转后的圆心落在上，

即由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于时，曲线都不是一个函数的图象，

因为，

所以，

故答案为：

15．设点O在的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且，则___________

【答案】2

【分析】由向量的加法法则，把转化为，从而易得结论．

【详解】∵点D，E分别为边AC，BC的中点，∴，，

∴．

故答案为：2．

【点睛】本题考查求向量的模，向量关键是利用向量加法法则，把转化为．

16．已知函数，关于的方程（）恰有6个不同实数解，则的取值范围是       ．

【答案】

【详解】因为，

所以函数为偶函数，只需研究上根的情况，

当时，；

当时，.

要使方程（）恰有6个不同实数解，

需使方程（）恰有2个不同实数解，

其中一根为2，另一根在区间内，

所以，

即的取值范围是.

三、解答题

17．如图，直三棱柱的底面ABC是等腰直角三角形，，侧棱底面ABC，且，E是BC的中点，F是上的点.

(1)求异面直线AE与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

(2)若，求线段CF的长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用平行关系，将异面直线所成的角，转化为相交直线所成的角，即可求解；

（2）利用垂直关系，在中即可求解.

【详解】(1)

连接，取的中点，连接，

因为点分别是和的中点，所以，

所以异面直线和所成的角，即和所成的角，即为所求角，

是等腰直角三角形，所以

，所以，，

,

所以；

(2)连接，因为平面，所以，且，，所以平面，即，

且，，

在中

所以线段的长是.

18．已知函数，函数与函数的图象关于原点对称.

(1)求的解析式；

(2)求函数在上的单调递增区间.

【答案】(1)

(2)单调递增区间是和

【分析】（1）设点是函数的图象上任意一点，所以，点在的图象上，将点的坐标代入函数的解析式，可得出函数的解析式；

（2）化简函数解析式为，利用正弦型函数的单调性可求得函数在上的单调递增区间，将区间与区间取交集可得结果.

【详解】(1)解：设点是函数的图象上任意一点，

由题意可知，点在的图象上，

于是有，

所以，.

(2)解：由（1）可知，，，

记，由，解得，                  

记，则，                              

于是，函数在上的单调递增区间是和.

19．对核污染水的处理是当今全球环境治理的热点问题之一，某环保企业准备研发一款设备用于处理核污染水中的放射性碘，研发启动时投入资金为A(A为常数)元，之后每年会投入一笔研发资金，n年后总投入资金记为.经计算发现当时，近似地满足，其中，p，q为常数，.已知3年后总投入资金为研发启动时投入资金的3倍.问

（1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；

（2）研发启动后第几年的投入资金的最多.

【答案】（1）研发启动9年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；（2）研发启动后第5年的投入资金增长的最多.

【分析】（1）已知，，代入解析式求得，由可得；

（2）求出第年的投入资金，然后由基本不等式得最大值．

【详解】解：（1）由题意知，.

所以解得.所以.

令，得，解得，

即，所以，

所以研发启动9年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍.

（2）由（1）知

第n年的投入资金.

当且仅当，即等号，此时.

所以研发启动后第5年的投入资金增长的最多.

【点睛】思路点睛：本题考查数列的应用，解题关键是由已知数据求出表达式中的参数值，然后由表达式进行计算求解．第（2）解答时注意问题是第年投入资金，因此为，再由基本不等式求最值，但要注意等号成立的条件．

20．平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，过F的直线交于B，C两点.

（1）若垂直于轴，且线段BC的长为1，求的方程；

（2）若的斜率为，求；

（3）设抛物线上异于的点A满足，若的重心在轴上，求的重心的坐标.

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【分析】（1）直线方程为，与抛物线方程联立，可得交点坐标，从而得，由此可求得，得抛物线方程；

（2）设，不妨设在第一象限，在第四象限，即，直线方程为，．求出，，再由直线方程与抛物线方程联立，消去后可得，代入中，可得结论；

（3）分类，与轴垂直，重心为；与轴不垂直，与（2）一样，设方程为，，仿（2）得，重心在轴．则有

，从而可得，于是也有，设中点为，由中点坐标公式求得，利用可求得，最终可得出直线方程，它与交点为所求重心．

【详解】（1）由，∴，

∴抛物线的方程为：；

（2）设，不妨设在第一象限，在第四象限，即，直线方程为，．

∵，，

∴，

由得，∴，．

∴；

（3）若垂直于轴，则由得，此时重心坐标为．

若直线与轴不垂直，设方程为，，

则，由（2），∴，，

设线段中点为，

则，，

∴直线斜率为（与垂直），∴，，

此时，从而直线方程为，它与轴交点为，此即为所求重心坐标．

综上，的重心为或．

【点睛】本题考查求抛物线方程，考查直线与抛物线相交问题．主要方法是“设而不求”思想方法，即设交点坐标为，但不会求出这两个点的坐标，而是由直线方程与抛物线方程联立消元后用韦达定理得，代入题中另外的条件即可化简、求值．本题中出现，一般不直接求这个距离，而是设中点为，由中点坐标公式表示出点坐标，再由建立关系式求解．

21．若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等比数列；

（1）已知数列为2级等比数列，且前四项分别为、、、，求的值；

（2）若（为常数），且数列是3级等比数列，求所有可能的值，并求取最小正值时数列的前项和；

（3）证明：正数数列为等比数列的充要条件是数列既为2级等比数列，也为3级等比数列；

【答案】（1）；（2）， ；（3）证明详见解析.

【分析】（1）利用定义，求出、，即可求的值；

（2）根据 是3级等比数列，列出方程，即可求所有可能值的集合，从而求取最小正值时数列的前项和；

（3）根据数列为级等比数列的定义，分充分性与必要性进行证明即可．

【详解】（1）解：由题意，

，

，

，

.

（2）解：是3级等比数列，

，

，

，

整理为： ，

即 ，，

，

的最小正值是，

此时， ，

，， ，

，

，

，

……..

（3）必要性：若为等比数列，则，

对一切成立，显然对成立．

既为2级等比数列，也为3级等比数列．

充分性：若为2级等比数列，，则，均成等比数列，

设等比数列，的公比分别为，

为3级等比数列，，则 成等比数列，设公比为

既是中的项，也是中的项，

，既是中的项，也是中的项，

，

，

设，则

，

，，

又， ，

， ，，

， ，

综合得：,显然为等比数列．

【点睛】本题考查数列的应用，考查新定义，考查推理与证明，和计算能力，正确理解和应用新定义是关键．