第3讲-实数的运算-【同步优课】2021-2022学年七年级数学下学期重难点精品讲义（沪教版）

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第3讲-实数的运算 1. 理解科学计数法、近似数的概念；2. 掌握实数的简单加、减、乘、除运算。（以提问的形式回顾）1. 实数的运算顺序实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先           ，再      ，最后算       ，同级运算按照从      到     的顺序进行，有括号先算括号里的。乘方开方，   乘除，加减，  左，右2. 实数运算的常用公式第一组：          ，              两个等式中对于字母a的取值有没有要求？a，，第一个要求，第二个a是全体实数第二组：， ， （采用教师引导，学生轮流回答的形式）一、实数的运算例1：计算：解：说明：实数的运算要提高准确率，必须按照运算顺序、运算律来做． 例2：计算下列各题：（1）              （2）（3）              （4）分析：利用数字之间的特征，运用公式可化简运算，对于第（1）题可先提出；对于第（2）题可将先乘入算式；对于第（3）（4）可运用平方差公式化简运算．解：（1）（2）（3）（4）二、近似数与有效数字例3：下列近似数各精确到哪一个数位？各有几个有效数字？    （1）2000               （2）0.6180    （3）7.20万             （4）解：（1）精确到个位，有4个有效数字：2、0、0、0；（2）精确到万分位，有4个有效数字：6、1、8、0；（3）精确到百位，有3个有效数字：7、2、0；（4）精确到千位，有3个有效数字：5、1、0． 例4：地球表面积约为平方千米，平均每平方千米的地球表面上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧千克煤所产生的能量．一年内，地球从太阳得到的能量约相当于燃烧_______________千克煤产生的能量（保留3个有效数字）．解：一年内从太阳得到的能量相当于燃烧     例5：填空题：（1）将320541保留三个有效数字得____________________；（2）按四舍五入精确到千位是____________________；（3）____________________．解：（1）；（2）；（3）三、实数的综合题例6：已知、是有理数，且，求、的值．解：∵∴∵、是有理数∴解得试一试：设都是有理数，且满足方程，求的值． 答案：18例7：已知：，求的值．解：由已知得    则 试一试：当时，求的值．  答案：  （学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解） 1．数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（       ） A． B． C． D．【答案】C【分析】根据数轴上两点之间的距离计算、对称的性质即可解决．【详解】根据对称的性质得：AC=AB设点C表示的数为a，则解得：故选：C．【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，图形对称的性质，关键是由对称的性质得到AC=AB．2．无理数的值在（　　）A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间【答案】C【分析】先计算出（）2的值为24，把24夹逼在两个相邻正整数的平方之间，再写出的范围即可．【详解】解：（）2=22×（）2=4×6=24，∵16＜24＜25，∴4＜＜5．故选：C．【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，求出（）2是解题的关键．3．在下列个实数中，最小的数是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据实数大小比较法则进行解答便可．【详解】解：∵=3，>3， ||=≈<1.5 ，||==1.5， ∴<，即>，∴>>>．故选：C．【点睛】本题考查实数大小的比较．牢记负数大小比较法则是解题关键．两个负数绝对值大的反而小．熟记常见的无理数近似值可使计算简便快捷，如≈1.732．4．若0＜x＜1，则x，x2，的大小关系是（　　）A．x＜x2＜ B．x2＜x＜ C．＜x2＜x D．x＜＜x2【答案】B【分析】已知x的取值范围，可运用取特殊值的方法，选取一个符合条件的实数代入选项求得答案．【详解】解：∵0＜x＜1，∴可假设x＝0.1，则 x2＝（0.1）2＝，＝＝，∵＜0.1＜，∴x2＜x＜．故选：B．【点睛】此题主要考查实数的大小比较，解题的关键是代入特殊值进行求解比较．5．下列说法正确的是（   ）A．无限循环小数是无理数B．任何一个数的平方根有两个，它们互为相反数C．任何一个有理数都可以表示为分数的形式D．数轴上每一个点都可以表示唯一的一个有理数【答案】C【分析】根据实数的概念、无理数的概念、平方根的概念以及实数与数轴的关系一一判断即可．【详解】无限循环小数是有理数，故选项A错误；任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，故选项B错误；任何一个有理数都可以表示为分数的形式，故选项C正确；数轴上每一个点与实数一一对应，故选项D错误；故选：C．【点睛】此题考查实数的概念、无理数的概念、平方根的概念以及实数与数轴的关系，解题关键在于掌握各性质定义．6．根据国家统计局1月28日发布《2010年国民经济和社会发展统计公报》，去年全年国内生产总值﹙﹚为397983亿元．用科学记数法保留三个有效数字为（        ）A．亿元 B．亿元C．亿元 D．亿元【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于397983有6位，所以可以确定n=6-1=5．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．【详解】解：397983亿=3.97983×105亿元≈3.98×105亿元．故选：C．【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．7．下列运算中，正确的是（       ）A．； B．；C． D．.【答案】B【分析】根据计算法则依次计算后再进行判断即可.【详解】A选项：不能直接相加，故错误；B选项：，故正确；C选项：故错误；D选项：，故错误；故选B.【点睛】考查了实数的运算，解题关键是熟记法则.8．在实数范围内分解因式：6x2y﹣3y＝______．【答案】【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：6x2y﹣3y＝故答案为：【点睛】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．9．在数轴上，如果点A、点B所对应的实数分别是，那么线段的长度是______．【答案】##【分析】根据数轴上两点之间的距离等于数轴右边的数减去数轴左边的数即可求解．【详解】解：线段的长度，故答案为：．【点睛】本题考查了实数与数轴，两点之间的距离，解题的关键是根据在数轴上，两点之间的距离等于这两个数的差的绝对值列出式子．10．在实数范围内因式分解：x2﹣4x﹣7＝___．【答案】【分析】利用完全平方公式和平方差公式因式分解可求解．【详解】解：x2﹣4x﹣7故答案为：【点睛】本题考查了在实数范围内因式分解，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．11．规定运算*，使x*y＝，如果1*2＝1，那么3*4＝___．【答案】##【分析】根据新定义求解A的值，得新定义式为x*y＝，然后再将代入代数式求解即可．【详解】解：∵1*2＝1∴解得：A＝4∴x*y＝∴3*4＝．故答案为：．【点睛】本题考查了新定义．解题的关键在于正确的理解新定义式的含义．12．设的小数部分为，则____________．【答案】4【分析】先通过估算出的整数部分，再用减去它的整数部分表示出小数部分a，最后将a代入所求的式子中，运用平方差公式计算出结果．【详解】 的整数部分为1，的小数部分为， 故答案为：4．【点睛】本题考查了估算无理数的大小和平方差公式，属于基础题，先求出的整数部分是解题关键．13．若，则______．【答案】【分析】先利用完全平方公式求的值，再求它的算术平方根即可．【详解】解：∵∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方公式和二次根式运算，解题关键是树立转化思想，先求这个是式子的平方，再求它的算术平方根．14．比较大小：﹣4 ___（填“＞”、“＝”或“＜”）．【答案】＞【分析】先比较出4与的大小，再根据两个负数比较大小．【详解】解：∵16＜17，∴4＜，∴﹣4＞﹣，故答案为：＞．【点睛】本题考查二次根式大小的比较，解题的关键是掌握比较有理数和根号形式无理数的大小的方法．比较两个负数，绝对值大的反而小15．若（为连续整数），那么的值为__________．【答案】9【分析】先对进行估值，再进行和的计算即可【详解】解：∵由题意可知∴∴=9故答案为：9【点睛】本题考查无理数的估值，正确确定无理数的范围是解题的关键16．=_________ ．【答案】【分析】根据绝对值的意义化简即可．【详解】解：∵＜0，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了无理数的估算，解题关键是判断绝对值符合内的数是正是负，再进行化简．17．若的小数部分为，整数部分为，则的值为_____________．【答案】【分析】根据，可得a、b的值，代入代数式中利用平方差公式计算即可得答案．【详解】解：∵，∴，∴，，∴【点睛】本题考查了估算无理数的大小和平方差公式的应用，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．18．截止2021年5月16日，全球累计新冠肺炎死亡病例3352109例，将3352109用科学记数法表示，并保留3个有效数字，应记为 ___．【答案】3.35×106【分析】根据科学记数法的表示方法，将“3352109”取近似数，再将其用科学记数法表示即可得到答案．【详解】解：3352109这个数字用科学记数法并保留3个有效数字表示为3.35×106．故答案为：3.35×106．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法和有效数字．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，注意保留的数位．19．用科学记数法表示 2020≈_____（保留 2 个有效数字）．【答案】2.0×103【分析】先用科学记数法表示，然后根据有效数字的定义保留2个有效数字即可．【详解】解：2020≈2.0×103（保留2个有效数字）．故答案为2.0×103．【点睛】此题考查科学记数法和有效数字，解题关键在于掌握用a×10n（1≤a＜10，n为整数）的形式表示数的方法叫科学记数法；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完，所以这些数字都叫这个近似数的有效数字．20．近似数精确到______位，有_____个有效数字．【答案】     百     4【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，再结合有效数字的定义得出即可．【详解】解：近似数精确到百位，有效数字是2，0，1，8四个．故答案是：百；4．【点睛】此题考查了近似数和有效数字，对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．21．计算：3×9＝_____．【答案】【分析】根据分数的计算规则计算即可.【详解】解：原式＝=故答案为【点睛】本题考查分数计算，掌握计算过程是解题关键.22．计算：（1）；（2）；（3）【答案】（1）3.1；（2）π−；（3）−28.【分析】（1）原式利用平方根及立方根定义计算即可得到结果；（2）原式利用立方根定义，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（3）原式利用平方根及立方根定义计算即可得到结果．【详解】(1)原式=1.1+2=3.1；(2)原式=+π−3=π−；(3)原式=−10+3×3×(−2)=−10−18=−28.【点睛】此题考查实数的运算，解题关键在于掌握运算法则.23．概念学习规定：求若干个相同的实数（均不为0）的除法运算叫做除方，如，类比实数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，一般地，把个相除记作，读作“的圈次方”初步探究计算：（1）；（2）．深入思考我们知道，实数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，实数的除方也可以按照下面的方法转化为乘方运算．例如：．参考上面的方法，完成下列各题：（3）计算：            ，              ；（4）已知：，求的值．【答案】（1）；（2）；（3），2；（4）【分析】（1）根据题目中的定义得道原式=，按照有理数除法法则计算即可；（2）根据题意得到原式=，按照有理数除法法则计算即可；（3）根据深入思考部分要求，对原式进行变形，然后按照乘方运算法则计算即可；（4）根据题意得到除方规律为，将改写，然后根据同底数幂的性质求解即可．【详解】初步探究：（1）；故答案为；（2）；故答案为；深入思考：（3）故答案为；2．（4）由已知得，，∴，即，∴，∴．【点睛】本题考查了乘方运算，和幂的乘方，属于新定义题型，本类题目应仔细阅读题干，掌握新的运算法则，严格按照题目要求进行求解即可求解．24．对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，，如：，求的值．【答案】1【分析】根据已知条件先求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出结果．【详解】∵，∴，∴．【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是根据新定义运算法则进行求解．      1．如图，数轴上点A表示的数可能是（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】设点表示的数为，先根据数轴的性质可得，再根据无理数的估算逐项判断即可得．【详解】解：设点表示的数为，由数轴得：．A、，即，此项不符题意；B、，即，此项不符题意；C、，即，此项不符题意；D、，即，此项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了数轴与实数、无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．2．如图，数轴上点表示的数可能是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据数轴及算术平方根可直接进行求解．【详解】由数轴可得点N在2和3之间，∵，∴，故选C．【点睛】本题主要考查数轴上数的表示及算术平方根，熟练掌握数轴上数的表示及算术平方根是解题的关键．3．在下列四个实数中，最小的数是（   ）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】解：根据实数大小比较的方法，可得-2＜0＜＜，所以四个实数中，最小的数是-2．故选：A．【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．4．下列说法中错误的是（       ）A．无理数是无限小数； B．实数可分为有理数和无理数；C．只有0的平方根是它本身； D．1的任何次方根都是1．【答案】D【分析】根据实数和平方根、无理数的概念，对各个选项进行判断即可解答．【详解】解：A、无理数是无限不循环小数，所以无理数是无限小数，故本选项正确；B、实数是有理数和无理数的统称，所以实数可分为有理数和无理数，故本选项正确；C、负数没有平方根，正数有两个平方根，0的平方根是它本身，故本选项正确；D、1的平方根是±1，故本选项错误；故选：D．【点睛】本题考查了实数和平方根、无理数的概念，熟练掌握实数的有关概念和平方根的概念是解题的关键．5．把25089用四舍五入的方法保留3个有效数字的近似值为（　　）A．2.50×104 B．251 C．25100 D．2.51×104【答案】D【分析】由可得出近似值的表示． 【详解】解：故选D．【点睛】本题考查了近似数．解题的关键在于正确的表示有效数字．6．计算：【答案】【分析】被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成是将平方得到的，因此可以用待定系数法化简．【详解】解：设，两边平方得：，∴，②×③×④得;,∵均为非负数，∴，∴，⑤÷②得，，同理有，所求的显然满足①，所以，原式=【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简方法，由复合二次根式的被开方数复杂，可以通过设未知数，利用平方法解题．7．计算：______．【答案】【分析】利用乘方的意义将写成再计算．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题考查乘方的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．8．规定了一种新运算：，计算：（3*4）*5＝___．【答案】【分析】根据新定义的运算法则先将3*4转化为常规运算，再计算（3*4）*5即可．【详解】解：（3*4）*5＝．故答案为．【点睛】本题考查新运算的理解，有理数乘除混合运算，倒数和与积，掌握新定义运算法则是解题关键．9．比较大小： ___________．【答案】【分析】根据两个负数比大小，绝对值大的数反而小进行实数的大小比较．【详解】故答案为：【点睛】本题考查实数的大小比较，掌握正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数比大小，绝对值大的反而小是解题关键．10．若a＜＜a+1，则整数a＝___．【答案】3【分析】估算出的取值范围即可求出a的值．【详解】解：∵，∴3<<4，∵a＜＜a+1，∴a=3，故答案为：3．【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，在确定形如（a≥0）的无理数的整数部分时，常用的方法是“夹逼法”，其依据是平方和开平方互为逆运算．11．比较大小：______（填“”或“”或“”）．【答案】【分析】求出与的平方，再根据实数的大小比较法则比较即可；【详解】解：∵，∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了实数的大小比较和估算无理数的大小的应用，主要考查学生能否选择适当的方法比较两个数的大小．12．年月，华为轮值董事长郭平在新年致辞中指出“困难越大，荣耀也越大”．年公司预计实现销售收入亿美元，同比增长，请将亿保留三位有效数字为________．【答案】【分析】先利用科学记数法表示，然后把亿位上的数字四舍五入即可．【详解】1085亿=108500000000= ，保留三位有效数字为：故答案为：【点睛】掌握科学记数法、有效数字的处理是解题关键．13．把20492用四含五入法保留3个有效数字的近似值是 ______．【答案】【分析】根据近似数的计算方法求解即可．【详解】解：把20492用四含五入法保留3个有效数字的近似值是 ，故答案为：【点睛】本题主要考查了近似数，解题的关键在于能够熟练掌握：保留n位有效数字，即从左边第一个不为0的数字起，对第n+1个数进行四舍五入．14．用科学计数法表示：-5107000=___________．【答案】-5.107×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：-5107000=-5.107×106．故答案为：-5.107×106．【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．15．5的整数部分是_____．【答案】7【分析】根据无理数的估算即可得出的取值范围，即可得出答案；【详解】解：∵1.42＜2＜1.52，∴，∴，即，∴5的整数部分是7．故答案为：7．【点睛】本题主要考查了无理数的估算，准确分析计算是解题的关键．16．计算：_______．【答案】6【分析】先算乘方和开方，再算加法即可．【详解】故答案为：6．【点睛】本题考查了实数的混合运算问题，掌握实数混合运算法则是解题的关键．17．计算：．【答案】【分析】分别根据偶次方根和立方根的运算法则进行计算即可得到答案．【详解】= =【点睛】此题主要考查了立方根以及偶次方根的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．18．计算：（6×102）2×（）（用科学记数法表示）．【答案】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】原式1.2×1010．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．19．【答案】【分析】先算乘方和开方，再算加减法即可．【详解】．【点睛】本题考查了无理数的混合运算，掌握无理数混合运算的法则是解题的关键．20．化简：|﹣|﹣|3﹣|．【答案】2﹣﹣3．【分析】先化简绝对值，再进行实数的混合运算即可．【详解】原式=﹣﹣（3﹣）=﹣﹣3+=2﹣﹣3．【点睛】本题考查了实数的混合运算．正确去掉绝对值符号是解答本题的关键．21．如图，把直径等于数轴上一个单位长度的圆放在数轴上面，这时圆周上的一点A与原点O重合，将圆在数轴上面向左滚动一周，点A运动到点的位置，点与数轴上的一点B重合．（1）点B表示的数是_____________（2）已知数轴上的点C、D依次表示，在数轴上描出点C，点D；并分别求出C与B、A与D两点的距离．【答案】（1）-π；（2）画图见解析，BC=，AD=【分析】（1）根据圆的周长和滚动方向可得点B表示的数；（2）分别标出点C和点D，再利用数轴上两点间的距离计算即可．【详解】解：（1）∵直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周，∴AA′=π，∴点B表示的数为-π；（2）如图所示：BC==，AD=．【点睛】本题考查了圆的周长，实数与数轴，利用数轴得出对应数是解题关键．22．【答案】22.【分析】根据二次根式的乘方，二次根式的乘法以及零指数幂的定义分别化简计算即可.【详解】，=5+18-1，=22.【点睛】本题考查了实数的运算，掌握二次根式的乘方，二次根式的乘法以及零指数幂的定义是解题的关键.