第20讲-平面直角坐标系-综合测试 -【同步优课】2021-2022学年七年级数学下学期重难点精品讲义（沪教版）

第20讲-平面直角坐标系

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．（2021·上海闵行·七年级期末）在平面直角坐标系中，点A与点关于x轴对称，那么点A的坐标为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由点A与点B关于x轴对称可知，点A与点B的纵坐标互为相反数．

【详解】

∵点A与点关于x轴对称，

∴点A的坐标为

故选：D.

【点睛】

本题主要考查平面直角坐标系相关概念，理解定义是关键．

2．（2021·上海奉贤·七年级期末）如果点在轴上，那么点在第（          ）象限．

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意b=0，从而得到点B的坐标，再根据各象限内点的坐标的符号特征判断即可．

【详解】

解：因为点A（a，b）在x轴上，

所以b=0，

则点B为（-1，3），

所以点B在第二象限．

故选：B．

【点睛】

本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．

3．（2021·上海静安·七年级）如图，点A、B、C的坐标分别为（ ）

A．（6，5），（0，3），（3，0） B．（6，6），（3，0），（0，3）

C．（6，6），（0，3），（3，0） D．（5，5），（0，3），（3，0）

【答案】C

【解析】

【分析】

根据直角坐标系即可直接写出各顶点的坐标．

【详解】

由图可知点A、B、C的坐标分别为（6，6），（0，3），（3，0）

故选：C．

【点睛】

此题主要考查坐标的表示，解题的关键是熟知直角坐标系中坐标的表示方法．

4．（2019·上海奉贤·七年级期末）下列说法错误的是（       ）

A．同一平面内两个半径相等的圆必定关于某一条直线成轴对称

B．图形绕着任意一点旋转360°，都能与初始图形重合

C．如果把某图形先向右平移3厘米，再向下平移2厘米，那么该图形平移的距离是5厘米

D．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形

【答案】C

【解析】

【分析】

根据平移的定义和性质、旋转对称图形及轴对称图形的定义逐一判断可得．

【详解】

A、根据圆和轴对称的性质，同一平面内两个半径相等的圆对称轴为过两圆心的直线，此选项正确．

B、将一个图形绕任意一点旋转360°后，能与初始图形重合，此选项正确．

C、将一个图形先向右平移3厘米，再向下平移2厘米，那么平移的距离是厘米，此选项错误．

D、根据正多边形的对称性，奇数边的正多边形只是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项正确．

故选：C．

【点睛】

主要考查了平移的定义和性质、旋转对称图形及轴对称图形中心对称图形，正确理解是解答本题的关键．

5．（2021·上海嘉定·七年级期末）若点在第四象限，则（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】

【分析】

根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．

【详解】

由点P（a，b）在第四象限内，得

a＞0，b＜0，

故选：D．

【点睛】

此题考查各象限内点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．

6．（2017·上海长宁·七年级期末）若点在轴上，则点在第（   ）象限．

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】B

【解析】

【分析】

由点P在x轴上求出a的值，从而得出点Q的坐标，继而得出答案．

【详解】

∵点P（a，a-1）在x轴上，

∴a-1=0，即a=1，

则点Q坐标为（-1，2），

∴点Q在第二象限，

故选：B．

【点睛】

此题考查点的坐标，解题的关键是掌握各象限及坐标轴上点的横纵坐标特点．

7．（2019·上海奉贤·七年级期末）在平面直角坐标系中，点的坐标，点的坐标，将线段平移，使得到达点，点到达点，则点的坐标是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据A和C的坐标可得点A向右平移4个单位，向上平移1个单位，点B的平移方法与A的平移方法相同，再根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得点D的坐标．

【详解】

解：∵点A（0，1）的对应点C的坐标为（4，2），

即（0+4，1+1），

∴点B（3，3）的对应点D的坐标为（3+4，3+1），

即D（7，4）；

故选：C

【点睛】

此题主要考查了坐标与图形的变化——平移，关键正确得到点的平移方法．

8．（2018·上海虹口·七年级期末）平面直角坐标系中，将正方形向上平移3个单位后，得到的正方形各顶点与原正方形各顶点坐标相比（　　）

A．横坐标不变，纵坐标加 3 B．纵坐标不变，横坐标加 3

C．横坐标不变，纵坐标乘以 3 D．纵坐标不变，横坐标乘以 3

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用平移中点的变化规律求解即可．

【详解】

解:平面直角坐标系中，将正方形向上平移3个单位后;

即各点坐标变化为（x,y+3）;

即横坐标不变,纵坐标加3,

故选A．

【点睛】

本题主要考查点坐标的平移变换,关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变, 而上下平移时点的横坐标不变,平移中,对应点的对应坐标的差相等．

二、填空题

9．（2021·上海市西南模范中学七年级期末）平面直角坐标系中，已知点A（－2，－1），点B（1，3），过点A且垂直于y轴的直线上有一点C，且的面积为8，则点C的坐标为________．

【答案】（2，－1）或（－6，－1）##（－6，－1）或（2，－1）

【解析】

【分析】

先根据坐标关系求出三角形的高，再由高求三角形的底，分A点左右考虑C点坐标；

【详解】

解：过点B作

∵B（1，3），A（－2，－1），且点C在过点A垂直于y轴的直线上，∴BD＝3＋1＝4，

∵，即，∴．

设C点坐标为（，－1），则，

，或，

故答案为（2，－1）或（－6，－1）．

【点睛】

本题考查了坐标轴上点的性质，分A点左右两个方向考虑C点坐标是解题关键．

10．（2021·上海市西南模范中学七年级期末）平面直角坐标系中，已知点A（2，n）在第四象限，则点B（－n，3）在第________象限．

【答案】一

【解析】

【分析】

根据在第四象限中，纵坐标小于0，所以，进而判断，再根据每个象限的特点，得出点B在第一象限，即可解答．

【详解】

∵点A（2，n）在第四象限，

∴，

∴

∴点B（－n，3）在第－象限．

故答案为：一

【点睛】

本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，熟记各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．

11．（2021·上海市向东中学七年级期末）已知点A(3,-2)，线段AB=4，轴(点B在点A右侧），那么点B的坐标为_______.

【答案】(7,-2)

【解析】

【分析】

根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等及两点间的距离，即可求得点B的坐标．

【详解】

解：∵点A的坐标为(3,-2)， 轴，

∴点B的纵坐标为-2，

又∵线段AB=4，点B在点A右侧

∴点B的横坐标为3+4=7，

∴点B的坐标为(7,-2)，

故答案为：(7,-2)．

【点睛】

本题考查了平行于x轴的直线上的点的坐标特点，两点间距离的求法，掌握平行于x轴的直线上的点的坐标特点是解决本题的关键．

12．（2021·上海·华东理工大学附属中学七年级期末）如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标，、，其中的位置可以表示成，那么可以表示为______．

【答案】

【解析】

【分析】

按已知可得，表示一个点，距离是自内向外的环数，角度是所在列的度数，据此进行判断即可得解．

【详解】

∵（a，b）中，b表示目标与探测器的距离；a表示以正东为始边，逆时针旋转后的角度，

A的位置可以表示成（60°，6），

∴B可以表示为 (150°，4)．

故答案为： (150°，4)   ．

【点睛】

本题考查了坐标确定位置，解决本题的关键根据A的位置可以表示方法确定：距离是自内向外的环数，角度是所在列的度数．

13．（2018·上海杨浦·七年级期末）在平面直角坐标系中，如果轴，点的坐标为，且，那么点的坐标为__________．

【答案】或

【解析】

【分析】

存在两种情况，一种是点B在点A的左侧，另一种是点B在点A的右侧，分别根据平行的特点求解可得．

【详解】

∵AB∥y轴，∴点A、B的横坐标相同

∴点B的横坐标为：－3

情况一：点B在点A的左侧

∵AB=5，∴点B的纵坐标为4－5=－1

情况二：点B在点A的右侧

∵AB=5，∴点B的纵坐标为4+5=9

故答案为：或

【点睛】

本题考查平行于y轴直线的特点，注意平行于x轴直线上的点纵坐标相同，平行于y轴直线上的点横坐标相同．

14．（2018·上海杨浦·七年级期末）在平面直角坐标系中，经过点且垂直于轴的直线可以表示为直线______________．

【答案】

【解析】

【分析】

垂直于y轴的直线表示为：y=m的形式，根据点A的坐标可得m=6．

【详解】

∵直线经过点，且垂直于y轴

∴直线表示为：

故答案为：

【点睛】

本题考查垂直于y轴直线的表示方式，注意垂直于y轴和平行于轴表示的是相同的意思．

15．（2017·上海长宁·七年级期末）在平面直角坐标系中，如果将点沿着轴向右平移2个单位，那么平移后所得的点的坐标为______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据“上加下减、右加左减”求解可得．

【详解】

解：将点A（2，3）沿着x轴向右平移2个单位所得对应点的坐标为（4，3），

故答案为：（4，3）．

【点睛】

此题考查坐标与图形变化-平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键．

16．（2019·上海奉贤·七年级期末）如果点在第四象限，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据点在第四象限的坐标特点列出不等式组即可．

【详解】

解：∵点A（m+1，1-2m）在第四象限，

∴，

解得：，

∴的取值范围是：；

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了点在第四象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组的问题，熟练解答一元一次不等式组是解答本题的关键．

17．（2020·上海市第十中学七年级阶段练习）已知，点 M 在第四象限，它到 x 轴的距离为 6，到 y 轴的距离为 3，则点 M的坐标为________．

【答案】（3，﹣6）

【解析】

【分析】

根据第四象限内的点的坐标特点解答即可．

【详解】

解：∵点M在第四象限，到x轴的距离是6，到y轴的距离是3，

∴点M的纵坐标是﹣6，横坐标是3，

即点M的坐标是（3，﹣6），

故答案为：（3，﹣6）．

【点睛】

本题考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，以及点到坐标轴的距离与横纵坐标之间的关系．

18．（2021·上海虹口·七年级期末）已知，大正方形的边长为4厘米，小正方形的边长为2厘米，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方形向右平移，当两个正方形重叠部分的面积为2平方厘米时，小正方形平移的距离为_____厘米．

【答案】1或5

【解析】

【分析】

小正方形的高不变，根据面积即可求出小正方形平移的距离．

【详解】

解：当两个正方形重叠部分的面积为2平方厘米时，重叠部分宽为2÷2＝1（厘米），

①如图，小正方形平移距离为1厘米；

②如图，小正方形平移距离为4+1＝5（厘米)．

故答案为1或5，

【点睛】

此题考查了平移的性质，要明确平移前后图形的形状和面积不变．画出图形即可直观解答．

19．（2018·上海金山·七年级期末）若点在第二象限，则点在______象限．

【答案】第一

【解析】

【分析】

直接利用第二象限内点的坐标特点得出a，b的取值范围进而得出答案．

【详解】

由A在第二象限可知：a+1＜0，b＞0，即a＜﹣1，b＞0，

则可得到：﹣a＞1，b+1＞1，

故B点在第一象限．

故答案为第一．

【点睛】

本题主要考查了点的坐标，正确得出a，b的范围是解题的关键．

20．（2019·上海长宁·七年级期末）在平面直角坐标系中，点(－2，－3)到y轴的距离为________．

【答案】2

【解析】

【详解】

分析：根据点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，可得答案．

详解：点（﹣2，﹣3）到y轴的距离为|﹣2|=2．

        故答案为2．

点睛：本题考查了点的坐标，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值．

三、解答题

21．（2021·上海市市西初级中学七年级期末）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，4）．

(1)图中B点的坐标是______．

(2)点B关于原点对称的点C的坐标是______；点A关于x轴对称的点D的坐标是______．

(3)的面积是______．

(4)如果点E在x轴上，且，那么点E的坐标是______．

【答案】(1)（-2,3）；

(2)（2,-3）；（0,-4）；

(3)8；

(4)（2,0）或（-2,0）．

【解析】

【分析】

（1）根据坐标的定义，判定即可；

（2）根据关于原点对称点的特点和关于x轴对称的点的坐标特点求解即可；

（3）用四边形PQCK的面积减去△ABP、△BCQ、△ACK的面积得到△ABC的面积；

（4）设点E的横坐标为xE，则点E到AD的距离为，根据三角形面积相等求出的值，根据x轴上点的特点得出点E的坐标即可．

(1)

；

(2)

∵B与C关于原点对称，，

∴，

∵A与D关于x轴对称，，

∴；

(3)

如图所示：

；

(4)

∵，，

∵，

∴，

∴，

∴或．

【点睛】

本题考查了坐标系中对称点的坐标确定，图形的面积计算，正确理解坐标的意义，适当添补图形是解题的关键．

22．（2021·上海市西南模范中学七年级期末）如图，在平面直角坐标系内，已知点A的坐标是（－2，3），直线轴，与y轴于点M，点B在点M右侧，BM＝n，点C与点B关于x轴对称，连接AC、BC，得等腰直角，AC与x轴交于点D．

(1)直接写出n的值：n＝_______．

(2)求点D的坐标．

(3)若点P在x轴的下方，且满足是等腰直角三角形，直接写出点P的坐标．

【答案】(1)4

(2)点D的坐标为（1，0）

(3)点P的坐标为（－2，－3），（－8，－3）或（－2，－9）

【解析】

【分析】

（1）由B点纵坐标结合对称性求出BC的长度，再求n；

（2）由对称性和等腰直角三角形的性质求出OD的长度；

（3）分三种情况讨论，由等腰直角三角形的性质可求解；

(1)

解：∵点A（－2，3），轴，BM＝n，∴点B的坐标为（n，3），∴AB＝n＋2，

∵点B，C关于x轴对称，∴点C坐标为（n，－3），∴BC＝3－（－3）＝6，

又∵是等腰直角三角形，∴AB＝BC，即n＋2＝6，∴n＝4．

(2)

解：

∵是等腰直角三角形，∴，

∵点B，C关于x轴对称，∴DE垂直平分BC，∴BD＝CD，

∴，∴，

即，∴BE＝DE，

∵由（1）知点B坐标为（4，3），

∴BE＝DE＝3，OE＝4，∴OD＝OE－DE＝4－3＝1，

∴点D的坐标为（1，0）．

(3)

解：分情况讨论：

①若，即点P位于点处，则四边形ABCP为正方形，

∵点A（－2，3），B（4，3），C（4，－3），∴点的坐标为（－2，－3），

②若，即点P位于点处，

过点A作，由①可知，

∵，∴，∴点的坐标为（－2－6，－3），即（－8，－3），

③若，即点P位于点处，

同理作，∵，∴，

∴点的坐标为（－2，－3－6），即（－2，－9），

综上所述，点P的坐标为（－2，－3），（－8，－3）或（－2，－9）．

【点睛】

本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，分三种情况讨论等腰直角三角形是解题关键．

23．（2021·上海松江·七年级期末）如图，在直角坐标平面中，已知点，将点B向上平移6个单位，再向左平移2个单位，得到点C．

(1)求点A、B之间的距离．

(2)写出点C的坐标．

(3)求四边形的面积．

【答案】(1)8

(2)

(3)27

【解析】

【分析】

（1）由点坐标可知轴，进而可知距离为，计算求解即可；

（2）根据点平移时，横坐标左减右加，纵坐标上加下减求解即可；

（3）设与轴的交点为F，过点C作轴于点G，则四边形的面积为，计算求解即可．

(1)

解：由点坐标可知轴

∴距离为．

∴点A、B之间的距离为8．

(2)

解：将B点向上平移6个单位，点坐标为；再向左平移2个单位，得到点C坐标为；

∴点C的坐标为．

(3)

解：如图所示，四边形即为所述图形．

设与轴的交点为F，过点C作轴于点G，则四边形的面积为

∴四边形的面积为27．

【点睛】

本题考查了平面直角坐标系中两点距离，点的平移，不规则四边形的面积等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握．

24．（2021·上海杨浦·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点A关于x轴的对称点记作点B，将点B向右平移2个单位得点C．

(1)分别写出点的坐标：B（____）、C（____）；

(2)点D在x轴的正半轴上，点E在直线上，如果是以为腰的等腰直角三角形，那么点E的坐标是_____．

【答案】(1)；

(2)

【解析】

【分析】

(1)根据点的平移、对称规律求解即可；

(2)作轴于F，得到，求出进而得到．

(1)

解：将点关于x轴的对称点B的坐标为，

将点B向右平移2个单位得点C，

，

故答案为：，；

(2)

作轴于F，如下图所示：

由题意可知，，

，

点的坐标为，

故答案为．

【点睛】

此题主要考查了关于x轴对称点的性质以及平移的性质，正确掌握点的坐标特点是解题关键．

25．（2021·上海市静安区市北初级中学北校七年级期末）如图，在平面直角坐标系内，已知点A的位置；点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为(5，1)．

（1）写出A的坐标           ，并画出ABC；

（2）作出ABC关于y轴对称的A1B1C1；

（3）联结AA1、BB1，四边形ABB1A1的面积为           ．

【答案】（1）A(1，-4)，作图见解析；（2）作图见解析；（3）28．

【解析】

【分析】

（1）根据点A的位置写出点A的坐标即可，再根据A，B，C的坐标画出三角形即可；

（2）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；

（3）利用梯形的面积公式求解即可．

【详解】

解：（1）如图，A(1，-4)，△ABC即为所求．

故答案为：(1，-4)；

（2）如图，△A1B1C1即为所求．

（3）四边形ABB1A1的面积==28，

故答案为：28；

【点睛】

本题考查了平面直角坐标系的知识，轴对称变换，梯形的面积等知识，解题的关键是正确作出图形，记住梯形的面积公式．

26．（2021·上海市上南中学南校七年级期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（﹣2，﹣2），将线段AB平移到线段DC．

（1）如图1，直接写出线段AB和线段CD的位置和数量关系；

（2）如图2，若线段AB平移到线段DC，D、C两点恰好分别在y轴、x轴上，求点D和点C的坐标；

（3）若点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限内，且S△ACD＝5，直接写出点C、点D的坐标．

【答案】（1）AB＝CD，ABCD；（2）点C坐标为（1，0），点D坐标为（0，2）；（3）点C（1，2）点D（0，4）

【解析】

【分析】

（1）由平移的性质可得结论．

（2）如图2中，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，则∠AEB＝∠COD＝90°，利用全等三角形的性质解决问题即可．

（3）如图1中，连接AC，OC．设D（0，m），则C（1，m﹣2）．根据S△ADC＝S△AOD+S△OCD﹣S△AOC，构建方程解决问题即可．

【详解】

解：（1）由平移的性质可知，线段AB＝CD，ABCD．

（2）如图2中，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，则∠AEB＝∠COD＝90°，

∵ABCD，

∴∠EAB＝∠OCD，

在△AEB和△COD中，

，

∴△AEB≌△COD（AAS），

∴AE＝CO，BE＝DO，

∵A（﹣3，0），B（﹣2，﹣2），

∴AE＝CO＝1，BE＝DO＝2，

∴点C坐标为（1，0），点D坐标为（0，2）．

（3）如图1中，连接AC，OC．设D（0，m），则C（1，m﹣2）．

∵S△ADC＝S△AOD+S△OCD﹣S△AOC，

∴5＝×3×m+×m×1﹣×3×（m﹣2），

∴m＝4，

∴点C（1，2），点D（0，4）．

【点睛】

本题属于全等三角形综合题，考查了坐标与图形变化−平移，三角形的面积等知识，熟记平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状是解题的关键学会利用参数构建方程解决问题．

27．（2021·上海静安·七年级期末）如图，在直角坐标平面内有点、、．

（1）的形状是否是等腰直角三角形？为什么？

（2）课文阅读材料告诉我们，古希腊的希帕斯经过探索，发现了如此情况下的长是一个无理数，请你（不用勾股定理等后面所学习的方法）求出的长，以此向古代先贤致敬；

（3）点在轴上，如果是等腰三角形，请直接写出点的坐标．

【答案】（1）是等腰直角三角形，见解析；（2）；（3）、、、

【解析】

【分析】

（1）由等腰三角形的性质可求∠ABO=∠BAO=45°，∠ACO=∠CAO=45°，可得结论；

（2）由面积法可求AB的长；

（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．

【详解】

.解：（1）为直角等腰三角形

∵、、，

∴

∵

∴

同理

，

∴为直角三角形

∵，

∴为等腰直角三角形；

（2）∵根据题意的面积

将，，代入，

有

∴（舍去）

（3）若PB=PA，则点P与点O重合，即点P坐标为（0，0）；

若BA=BP=2，且OA⊥OB，

∴OA=OP=2，

∴点P（0，-2），

若AB=AP=2，且点A（0，2），

∴点P（0，2+2）或（0，2-2），

综上所述：点P的坐标为（0，0）或（0，-2）或（0，2+2）或（0，2-2）．

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．

28．（2021·上海黄浦·七年级期末）在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣1，4），点B的位置如图所示，点C是第一象限内一点，且点C到x轴的距离是2，到y轴的距离是4

（1）写出图中点B的坐标　　；

（2）在图中描出点C，并写出图中点C的坐标：　　；

（3）画出△ABO关于y轴的对称图形△A′B′O；

（4）联结A′B、BB′、B′C、A′C．那么四边形A′BB′C的面积等于　　

【答案】（1）（﹣4，﹣2），（2）描点见解析，（4，2）（3）画图见解析，（4）30

【解析】

【分析】

（1）根据B的位置写出坐标即可；

（2）描出点C，根据C的位置写出坐标即可；

（3）作出A、B关于y轴的对称点A′、B′即可;

（4）根据S四边形A′BB′C＝S△A′BB′+S△CA′B′计算即可；

【详解】

解：（1）观察可知点B的坐标为：B（﹣4，﹣2）；

故答案为（﹣4，﹣2），

（2）点C的位置如图所示，坐标为C（4，2），

故答案为（4，2）．

 （3）△A′B′O如图所示，

（4）S四边形A′BB′C＝S△A′BB′+S△CA′B′＝×4×3+ ×8×6＝30．

故答案为30．

【点睛】

本题考查作图﹣轴对称变换，四边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的坐标变化规律，会用分割法求四边形面积．