2023届高考数学一轮复习作业正弦定理余弦定理北师大版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业正弦定理余弦定理北师大版（答案有详细解析），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．(2021·全国卷甲)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝eq \r(19)，AB＝2，则BC＝( )
A．1 B．eq \r(2) C．eq \r(5) D．3
D [法一：由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcs B，
得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去)．故选D．
法二：由正弦定理eq \f(AC,sin B)＝eq \f(AB,sin C)，得sin C＝eq \f(\r(57),19)，从而cs C＝eq \f(4\r(19),19)(C是锐角)，所以sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(4\r(19),19)－eq \f(1,2)×eq \f(\r(57),19)＝eq \f(3\r(57),38)．又eq \f(AC,sin B)＝eq \f(BC,sin A)，所以BC＝3．故选D．]
2．在△ABC中，已知C＝eq \f(π,3)，b＝4，△ABC的面积为2eq \r(3)，则c＝( )
A．2eq \r(7) B．2eq \r(3) C．2eq \r(2) D．eq \r(7)
B [由S＝eq \f(1,2)absin C＝2a×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)，解得a＝2．由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C＝12，故c＝2eq \r(3)．]
3．对于△ABC，有如下命题，其中正确的是( )
A．若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰三角形
B．若sin A＝cs B，则△ABC为直角三角形
C．若sin2A＋sin2B＋cs2C＜1，则△ABC为钝角三角形
D．若AB＝eq \r(3)，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为eq \f(\r(3),4)
C [对于A项，∵sin 2A＝sin 2B，∴A＝B或2A＋2B＝π，即A＋B＝eq \f(π,2)，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B项，∵sin A＝cs B，∴A－B＝eq \f(π,2)或A＋B＝eq \f(π,2)，
∴△ABC不一定是直角三角形，故B错误；
对于C项，sin2A＋sin2B＜1－cs2C＝sin2C，∴a2＋b2＜c2，∴△ABC为钝角三角形，C正确；
对于D项，由正弦定理，得sin C＝eq \f(ABsin B,AC)＝eq \f(\r(3),2)，且AB＞AC，
∴C＝60°或C＝120°，∴A＝90°或A＝30°，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)AC·ABsin A＝eq \f(\r(3),2)或eq \f(\r(3),4)，D不正确．故选C．]
4．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cs C＝eq \f(2,3)，AC＝4，BC＝3，则cs B＝( )
A．eq \f(1,9) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(2,3)
A [由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cs C＝16＋9－2×4×3×eq \f(2,3)＝9，AB＝3，
所以cs B＝eq \f(9＋9－16,2×9)＝eq \f(1,9)，故选A．]
5．在△ABC中，cs2eq \f(B,2)＝eq \f(a＋c,2c)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
B [由cs2eq \f(B,2)＝eq \f(a＋c,2c)得
eq \f(1＋cs B,2)＝eq \f(a,2c)＋eq \f(1,2)，
∴cs B＝eq \f(a,c)，
又cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，
∴eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(a,c)，
∴a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故选B．]
6．(2021·毕节模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝eq \r(10)，△ABC的周长为5＋eq \r(10)，(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C，则△ABC的面积为( )
A．eq \f(5,4) B．eq \f(5\r(3),2) C．eq \f(5\r(3),4) D．eq \f(15\r(3),4)
C [由题意可得：a＝eq \r(10)，△ABC的周长为5＋eq \r(10)，可得b＋c＝5，
因为(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C，由正弦定理及余弦定理可得：b2＋c2－a2＝bc＝2bccs A，
因为A∈(0，π)，所以cs A＝eq \f(1,2)，A＝eq \f(π,3)，
a2＝(b＋c)2－2bc－2bccs A，所以10＝25－2bc－bc，所以bc＝5，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×5×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(5\r(3),4)，故选C．]
二、填空题
7．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsin A＋acs B＝0，则B＝________．
eq \f(3π,4) [∵bsin A＋acs B＝0，∴eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,－cs B)．由正弦定理，得－cs B＝sin B，∴tan B＝－1．又B∈(0，π)，∴B＝eq \f(3π,4)．]
8．(2021·全国卷乙)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为eq \r(3)．B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________．
2eq \r(2) [由题意得S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(\r(3),4)ac＝eq \r(3)，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2accs B＝12－2×4×eq \f(1,2)＝8，则b＝2eq \r(2)．]
9．(2021·浙江高考)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2eq \r(3)，则AC＝________；cs∠MAC＝________．
2eq \r(13) eq \f(2\r(39),13) [法一：由∠B＝60°，AB＝2，AM＝2eq \r(3)，及余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8．在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2BC·AB·cs∠B＝4＋64－2×8×2×eq \f(1,2)＝52，所以AC＝2eq \r(13)，所以在△AMC中，由余弦定理得cs∠MAC＝eq \f(AC2＋AM2－MC2,2AC·AM)＝eq \f(52＋12－16,2×2\r(13)×2\r(3))＝eq \f(2\r(39),13)．
法二：由∠B＝60°，AB＝2，AM＝2eq \r(3)，及余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8．过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，则BD＝4，AD＝2，CD＝4eq \r(3)．所以在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2＝48＋4＝52，得AC＝2eq \r(13)．在△AMC中，由余弦定理得cs∠MAC＝eq \f(AC2＋AM2－MC2,2AC·AM)＝eq \f(52＋12－16,2×2\r(13)×2\r(3))＝eq \f(2\r(39),13)．]
三、解答题
10．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cs B＝－eq \f(1,2)．
(1)求b，c的值；
(2)求sin(B－C)的值．
[解] (1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，得
b2＝32＋c2－2×3×c×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))．
因为b＝c＋2，
所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))．
解得c＝5．所以b＝7．
(2)由cs B＝－eq \f(1,2)得sin B＝eq \f(\r(3),2)．
由正弦定理得sin C＝eq \f(c,b)sin B＝eq \f(5\r(3),14)．
在△ABC中，∠B是钝角，所以∠C为锐角．
所以cs C＝eq \r(1－sin2C)＝eq \f(11,14)．
所以sin(B－C)＝sin Bcs C－cs Bsin C＝eq \f(4\r(3),7)．
11．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))＋cs A＝eq \f(5,4)．
(1)求A；
(2)若b－c＝eq \f(\r(3),3)a，证明：△ABC是直角三角形．
[解] (1)由已知得sin2A＋cs A＝eq \f(5,4)，
即cs2A－cs A＋eq \f(1,4)＝0．所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs A－\f(1,2))) eq \s\up8(2)＝0，cs A＝eq \f(1,2)．
由于0(2)证明：由正弦定理及已知条件可得
sin B－sin C＝eq \f(\r(3),3)sin A．
由(1)知B＋C＝eq \f(2π,3)，
所以sin B－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－B))＝eq \f(\r(3),3)sin eq \f(π,3)．
即eq \f(1,2)sin B－eq \f(\r(3),2)cs B＝eq \f(1,2)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,3)))＝eq \f(1,2)．
由于0从而△ABC是直角三角形．
1．(2021·南宁模拟)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则eq \f(a,b)等于( )
A．eq \f(3,2) B．eq \f(4,3) C．eq \r(2) D．eq \r(3)
D [由bsin 2A＝asin B及正弦定理得
2sin Bsin Acs A＝sin Asin B，
又sin Asin B≠0，
∴cs A＝eq \f(1,2)．
又c＝2b，由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccs A＝b2＋4b2－4b2×eq \f(1,2)＝3b2，
∴eq \f(a2,b2)＝3，从而eq \f(a,b)＝eq \r(3)，故选D．]
2．(2021·唐山模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h等于( )
A．eq \f(\r(15),2) B．eq \f(\r(11),2) C．eq \f(3\r(15),4) D．eq \f(3\r(15),8)
D [cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(9＋16－4,2×3×4)＝eq \f(7,8)，
则sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(\r(15),8)，
∴h＝bsin A＝3×eq \f(\r(15),8)＝eq \f(3\r(15),8)，故选D．]
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－eq \r(3))bc，sin Asin B＝cs2eq \f(C,2)，BC边上的中线AM的长为eq \r(7)．
(1)求角A和角B的大小；
(2)求△ABC的面积．
[解] (1)由a2－(b－c)2＝(2－eq \r(3))bc，
得a2－b2－c2＝－eq \r(3)bc，∴cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\r(3),2)，
又0＜A＜π，∴A＝eq \f(π,6)．
由sin Asin B＝cs2eq \f(C,2)，
得eq \f(1,2)sin B＝eq \f(1＋cs C,2)，即sin B＝1＋cs C，
则cs C＜0，即C为钝角，
∴B为锐角，且B＋C＝eq \f(5π,6)，
则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－C))＝1＋cs C，
化简得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C＋\f(π,3)))＝－1，
解得C＝eq \f(2π,3)，∴B＝eq \f(π,6)．
(2)由(1)知，a＝b，在△ACM中，
由余弦定理得AM2＝b2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))eq \s\up12(2)－2b·eq \f(a,2)·cs C＝b2＋eq \f(b2,4)＋eq \f(b2,2)＝(eq \r(7))2，
解得b＝2，
故S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×2×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)．
1．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cs2A－cs2B＋cs2C＝1＋sin Asin C，且sin A＋sin C＝1，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．顶角为150°的等腰三角形
D．顶角为120°的等腰三角形
D [∵cs2A－cs2B＋cs2C＝1＋sin Asin C，
∴(1－sin2A)－(1－sin2B)＋(1－sin2C)
＝1＋sin Asin C，
∴可得sin2A＋sin2C－sin2B＝－sin Asin C，
∴根据正弦定理得a2＋c2－b2＝－ac，
∴由余弦定理得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(－ac,2ac)＝－eq \f(1,2)，
∵B∈(0°，180°)，∴B＝120°，
∵sin2B＝sin2A＋sin2C＋sin Asin C．
∴变形得eq \f(3,4)＝(sin A＋sin C)2－sin Asin C，
又∵sin A＋sin C＝1，得sin Asin C＝eq \f(1,4)，
∴上述两式联立得sin A＝sin C＝eq \f(1,2)，
∵0°＜A＜60°，0°＜C＜60°，
∴A＝C＝30°，∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形，故选D．]
2．(2020·北京高考)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和△ABC的面积．
条件①：c＝7，cs A＝－eq \f(1,7)；
条件②：cs A＝eq \f(1,8)，cs B＝eq \f(9,16)．
[解] 选条件①：c＝7，cs A＝－eq \f(1,7)，且a＋b＝11．
(1)在△ABC中，由余弦定理，得
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f((11－a)2＋72－a2,2×(11－a)×7)＝－eq \f(1,7)，
解得a＝8．
(2)∵cs A＝－eq \f(1,7)，A∈(0，π)，∴sin A＝eq \f(4\r(3),7)．
在△ABC中，由正弦定理，得eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，
∴sin C＝eq \f(c·sin A,a)＝eq \f(7×\f(4\r(3),7),8)＝eq \f(\r(3),2)．
∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×8×3×eq \f(\r(3),2)＝6eq \r(3)．
若选条件②：cs A＝eq \f(1,8)，cs B＝eq \f(9,16)，且a＋b＝11．
(1)∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，cs A＝eq \f(1,8)，cs B＝eq \f(9,16)，
∴sin A＝eq \f(3\r(7),8)，sin B＝eq \f(5\r(7),16)．
在△ABC中，由正弦定理，可得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
∴eq \f(a,b)＝eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(\f(3\r(7),8),\f(5\r(7),16))＝eq \f(6,5)．
又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5．
(2)sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acs B＋cs Asin B
＝eq \f(3\r(7),8)×eq \f(9,16)＋eq \f(1,8)×eq \f(5\r(7),16)＝eq \f(32\r(7),128)＝eq \f(\r(7),4)．
∴S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×6×5×eq \f(\r(7),4)＝eq \f(15\r(7),4)．