高考数学一轮复习策略

1、揣摩例题。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。

2、精练习题

复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。

3、加强审题的规范性

每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。

4、重视错题

“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。

专题6.4   正弦定理、余弦定理的应用

【知识清单】

知识点1．正弦定理

正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：

a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；

a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；

sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．

面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B

知识点2．余弦定理

余弦定理： ， ， .

变形公式cos A＝，cos B＝，os C＝

知识点3．实际问题中的有关概念

 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．

(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)．

(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3)

①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．

②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．

③南偏西等其他方向角类似．

(4)坡度：

①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)．

②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)．

【考点分类剖析】

考点1  与平面向量、解析几何、立体几何结合

【典例1】（2021·四川成都市·高三三模（文））已知A，是圆上的两个动点，且满足，点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

设AB中点为M，则，根据勾股定理，求得，可得M的轨迹方程，化简可得，根据圆外一点到圆上点的最小距离为d-r，即可求得答案.

【详解】

设AB中点为M，则，且，

所以M在以O为圆心，1为半径的圆上，

所以

，

又M的轨迹方程为：，

所以P到M轨迹的圆心的距离，

所以的最小值为d-r=3-1=2，

所以的最小值为.

故选：C

【典例2】（2021·山东省青岛第一中学高一期中）如图所示，为测量山高选择A和另一座山的山顶为测量观测点，从A点测得点的仰角点的仰角以及从点测得，若山高米，则山高等于（    ）

A．米 B．米

C．米 D．米

【答案】A

【解析】

在中，可求得AC，根据正弦定理，在中，可求得AM，在中，即可求得答案.

【详解】

因为在中，，，

所以，

在中，，

由正弦定理得：，即，

所以，

在中，，

所以（米）

故选：A

【典例3】（2020·江苏高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．

【答案】或0

【解析】

根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.

【详解】

∵三点共线，

∴可设，

∵，

∴，即，

若且，则三点共线，

∴，即，

∵，∴，

∵,,，

∴，

设，，则，.

∴根据余弦定理可得，，

∵，

∴，解得，

∴的长度为.

当时， ，重合，此时的长度为，

当时，，重合，此时，不合题意，舍去.

故答案为：0或.

【变式探究】

1.（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（理））某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在处（点在水平地面的下方，为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点，两地相距100米，，其中到的距离比到的距离远40米．地测得该仪器在处的俯角为，地测得最高点的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（    ）

A．210米 B．米 C．米 D．420米

【答案】C

【解析】

在中利用余弦定理求出，进而在中可求出，再在中求出，即可得解．

【详解】

设，所以，在中，，，所以，

，即，．

在中，，所以，又在中，，所以，因此．

故答案为：C．

2.（2021·浙江高二期末）已知、、分别为的三个内角、、的对边，且，点是边上的中点，若，则的面积最大值为_______．

【答案】

【解析】

利用余弦定理可求得的值，可求得角的值，利用平面向量的数量积结合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面积公式可求得结果.

【详解】

因为，所以，，

即，所以，.

，解得.

，

所以，，

由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立，即的最大值为，

所以，.

故答案为：.

3.（高考真题）如图，在某海滨城市附近的海面上正形成台风.据气象部门检测，目前台风中心位于城市的南偏东方向的海面处，并以的速度向北偏西方向移动.如果台风侵袭的范围为圆心区域，目前圆形区域的半径为，并以的速度不断增大.几小时后该城市开始受到台风侵袭（精确到）？

【答案】4.1小时．

【解析】

根据题意可设小时后台风中心到达点，

该城市开始受到台风侵袭，如图中，，

，，，

由余弦定理得，

，

化简得，

解得.

答：大约4.1小时后该城市开始受到台风的侵袭.

考点2  测量距离问题

【典例4】（2021·永丰县永丰中学高一期末）为了测量河对岸两点C，D间的距离，现在沿岸相距的两点A，B处分别测得，，则间的距离为________.

【答案】2

【解析】

在和中应用正弦定理求得，然后在中应用余弦定理可求得结果

【详解】

解：在中，由正弦定理得，即，得，

在中，由，所以为等边三角形，,

在中，，由余弦定理得

，

所以，

故答案为：2

【总结提升】

测量距离问题，归纳起来常见的命题角度有：

（1）两点都不可到达；

（2）两点不相通的距离；

（3）两点间可视但有一点不可到达.

【变式探究】

（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（文））“湖畔波澜飞，耕耘战鼓催”，合肥一六八中学的一草一木都见证了同学们的成长．某同学为了测量澜飞湖两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点，且，已经测得两个角，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的有（    ）组

①和；②和；③和

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【解析】

由已知条件结合正余弦定理，可判断所选的条件是否可以求出.

【详解】

由，，

∴可求出、，

①和：△中，即可求；

②和：可求、，则在△中求；

③和：可求，则在△中，即可求；

∴①②③都可以求.

故选：D

考点3  测量高度问题

【典例5】（2021·北京高三其他模拟）魏晋南北朝(公元)时期，中国数学在测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，超越西方约一千年，关于重差术的注文在唐代成书，因其第一题为测量海岛的高度和距离(图1)，故题为《海岛算经》受此题启发，小清同学依照此法测量奥林匹克公园奥林匹克塔的高度和距离(示意图如图2所示)，录得以下是数据(单位：米)：前表却行，表高，后表却行，表间.则塔高__________米，前表去塔远近__________米.

【答案】246    122   

【解析】

根据相似三角形的性质计算可得；

【详解】

解：依题意可得，，所以，

又，，所以，解得，所以

故答案为：；；

【总结提升】

求解高度问题的三个关注点

(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．

(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．

(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．

【变式探究】

（全国高考真题）如图，为测量出高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________．

【答案】150

【解析】

在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，

．

故答案为150．

考点4  测量角度问题

【典例6】（2021·云南民族大学附属中学高三月考（理））一张台球桌形状是边长为的正六边形，已知一个小球从边的中点击出后，击中边上某点，之后依次碰击，，，各边，最后击中边上的点，且，设，则___________.

【答案】

【解析】

根据入射角等于反射角的原理可作出图形，过作直线的垂线，垂足为，由图形计算得到，知，由此得到结果.

【详解】

如图所示，由入射角等于反射角原理知：分别顺次以正六边形的，，，，边为对称轴作次对称变换后可知，小球的运行轨迹即为线段，过作直线的垂线，垂足为，

正六边形边长为，

，

，.

故答案为：.

【总结提升】

1.解决角度问题的注意事项

(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．

(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．

(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．

2．测量角度问题的基本思路

测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．

提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．

【变式探究】

某沿海四个城市、、、的位置如图所示，其中， ， ， ， ， 位于的北偏东方向.现在有一艘轮船从出发以的速度向直线航行， 后，轮船由于天气原因收到指令改向城市直线航行，收到指令时城市对于轮船的方位角是南偏西度，则__________．

【答案】

【解析】设船行驶至，则，连接，过作于，则， , , ，所以，所以，又， ，可得，所以，故.

考点5  应用正弦定理、余弦定理解决实际问题

【典例7】（2021·浙江高三期末）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径．一种从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到．假设缆车匀速直线运行的速度为，山路长为，经测量，，，为钝角．

（1）求索道的长；

（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

【答案】（1）索道的长为；（2）乙出发后，乙在缆车上与甲的距离最短；（3）.

【解析】

（1）利用正弦定理可求得索道的长；

（2）求出的值，设乙出发后，甲、乙之间的距离为，根据题意可得出关于的二次函数关系式，利用二次函数的基本性质可求得结果；

（3）设乙步行的速度为，根据已知条件可得，可解得的取值范围，即为所求.

【详解】

（1）在中，，，，

由正弦定理可得，

故索道的长为；

（2）因为为钝角，则为锐角，所以，，，

所以，，

设乙出发后，甲、乙之间的距离为，由题意可得，

则，

所以，当时，取最小值，

因此，当乙出发后，乙在缆车上与甲的距离最近；

（3）为锐角，，

由正弦定理可得，

乙从出发时，甲已经走了，

还需走才能到达，设乙步行的速度为，则，解得，

所以，为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在范围内.

【规律方法】

利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解三角形的问题进行求解．

【变式探究】

（2021·浙江高一期末）目前，中国已经建成全球最大的网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座基站，已知基站高，该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为，测得基站顶端A的仰角为．

（1）求出山高；

（2）如图，当该同学面向基站前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离，且记在M处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为．试问当x多大时，观测基站的视角最大？

参考数据：

【答案】（1）151.5米；（2）．

【解析】

（1）在直角三角形中由正切的定义得出的方程，解之可得；

（2）视角为锐角，求出的最大值即可得，利用两角差的正切公式可把表示为的函数，然后结合基本不等式可得最大值．

【详解】

（1）设，则，即，

，

所以，

所以，，

山高（米）；

（2）显然视角为锐角，

由已知，，

，

当且仅当，即时，最大，即视角最大．