新高考数学一轮复习考点练习考点04 基本不等式 (含解析)

考点04 基本不等式

考向一　基本不等式

1．基本不等式≤

(1)基本不等式成立的条件: a>0，b>0. 

(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号. 

2.几个重要的不等式

(1)a2+b2≥2ab (a，b∈R). 

(2)+≥2a，b同号). 

(3)ab≤2(a，b∈R).

(4)2≤(a，b∈R).

3.算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

4.利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值，是2 (简记:积定和最小). 

(2)如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值，是 (简记:和定积最大). 

1. 若实数a，b满足，则的最小值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】因为，则，

当且仅当且时取等号，即时取等号，

此时取得最小值3．

故选：B．

2. 【2020甘肃省静宁县第一中学高三其他（理）】 若圆关于直线对称，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意知圆心在直线上，则.又因为，所以，当且仅当时，即时取等号，

此时，

故选C

3. 【2020河北易县中学高三其他】已知，是函数的两个极值点，则的最小值为（    ）

A． B．9 C．5 D．

【答案】A

【解析】由题可知．

因，为函数的两个极值点，

所以，，故，，

又，则且

所以，

当且仅当，即，时取得最小值．

此时，符合条件．

故选A

考向二　基本不等式应用

1.基本不等式与函数相结合，在函数中的应用；

2.基本不等式在求解恒成立问题中的应用，以及求解未知参数等问题。

1. 【2020浙江省单元测试】已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】.

若，则，从而无最小值，不合乎题意；

若，则，.

①当时，无最小值，不合乎题意；

②当时，，则不恒成立；

③当时，，

当且仅当时，等号成立.

所以，，解得，因此，实数的最小值为.

故选C.

2.【2020湖南省雅礼中学月考】函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】由题意可得函数的图象恒过定点，

又点在直线上，∴，

∴=，

当且仅当，即等号成立，

所以的最小值为．

故选B.

题组一（真题在线）

1. 【2020年高考江苏】已知，则的最小值是       ．

2. 【2020年高考天津】已知，且，则的最小值为          ．

3. 【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知a>0，b>0，且a+b=1，则

A．  B．

C．  D．

4. 【2019天津高考理科】设，则的最小值为______.

5. 【2017山东高考】若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是 (　　)

A. a+<<log2(a +b)                B. <log2(a +b)<a+

C. a+<log2 (a +b)<                D. log2(a +b)<a+<

6. 【2018天津卷】已知a，b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为　   　　　. 

7. 【2019年新高考全国Ⅰ卷】已知为正数，且满足，证明：

（1）

（2）

题组二

1. 【2020河北省正定中学高三质量检测数学】圆关于直线对称，则的最小值是

A． B．3 C． D．

2.【2020浙江省高一单元测试】已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

3. 【2020山东省高三其他】在三棱柱中，，侧棱底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为（    ）

A． B． C． D．3

4. 【2020浙江省单元测试】已知函数，则该函数的（    ）．

A．最小值为3 B．最大值为3

C．没有最小值 D．最大值为

5.【2020河北易县中学高三其他（理）】已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）记的最大值为m，且正实数a，b满足，求的最小值.

6.【2020河北省衡水中学高三三模（理）】已知函数，不等式的解集为．

（1）解不等式；

（2）若，，，求证：．

题组一

1. 【解析】∵

∴且

∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值为.

故答案为.

2. 4【解析】，,

，当且仅当=4时取等号，

结合,解得，或时，等号成立.

故答案为4

3.ABD【解析】对于A，，

当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，，所以，故B正确；

对于C，，

当且仅当时，等号成立，故C不正确；

对于D，因为，

所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；

故选ABD.

4. 【解析】

，

当且仅当，即时成立，

故所求的最小值为。

5.B 【解析】利用特殊值法检验排除,当a=2,b=时,选项A,C,D对应的不等式不成立,故选B.

6.【解析】由已知得a-3b=-6,由基本不等式得2a+≥2==,当且仅当a=-3,b=1时取等号.

7.【解析】（1），.

由基本不等式可得：，

于是得到.

（2）由基本不等式得到：，

，.

于是得到

题组二

1.B【解析】根据圆的方程可知，圆心坐标为，而直线经过圆心，所以，

得，因为，

所以，

故选B．

2.C 【解析】.

若，则，从而无最小值，不合乎题意；

若，则，.

①当时，无最小值，不合乎题意；

②当时，，则不恒成立；

③当时，，

当且仅当时，等号成立.

所以，，解得，因此，实数的最小值为.

故选C.

3.B 【解析】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为、，则的中点为，

设球的半径为，则，设，，

则，，

则在△中，，

当且仅当时，等号成立，

所以，所以，所以，

所以该三棱柱的侧面积为.

故选B.

4.CD 【解析】，函数，当且仅当时取等号，该函数有最大值．无最小值．

故选CD．

5. （1）；（2）【解析】（1）当时，恒成立，∴，

当时，，解得，

当时，不成立，无解，

综上，原不等式的解集为．

（2）由（1），∴，

∴

，当且仅当，即时等号成立，

∴的最小值是．

6.【解析】（1）由，得，

的解集为，

则，，得．

不等式可化为，

则或或，

解得或或，

所以原不等式的解集为或．

（2）因为，，

所以，即．

所以，

当且仅当，即，时取等号．

所以不等式得证.