2023届高考数学一轮复习作业函数的奇偶性与周期性北师大版（答案有详细解析）

函数的奇偶性与周期性

一、选择题

1．下列函数中，为偶函数的是(　　)

A．y＝(x＋1)2 B．y＝2－x

C．y＝|sin x| D．y＝lg(x＋1)＋lg(x－1)

C　[对于A，函数图像关于x＝－1对称，故排除A．

对于B，f (－x)＝2x≠f (x)，函数不是偶函数．

对于C，f (－x)＝|sin(－x)|＝|－sin x|＝|sin x|＝f (x)，因此函数是偶函数．

对于D，由得x＞1，函数的定义域为(1，＋∞)，定义域不关于原点对称，因此函数不是偶函数，故选C．]

2．函数f (x)＝的图像(　　)

A．关于x轴对称 B．关于y轴对称

C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝x对称

B　[因为f (x)＝＝3x＋3－x，易知f (x)为偶函数，所以函数f (x)的图像关于y轴对称．]

3．设f (x)是定义在R上周期为2的奇函数．当0≤x≤1时，f (x)＝x2－x，则f ＝(　　)

A．－　　B．－　　C．　　D．

C　[由题意知f ＝f ＝f ＝－f ＝－＝，故选C．]

4．如果奇函数f (x)在区间[－7，－3]上是减函数且最大值为5，那么函数f (x)在区间[3，7]上是(　　)

A．增函数且最小值为－5

B．增函数且最大值为－5

C．减函数且最小值为－5

D．减函数且最大值为－5

C　[由题意知，函数f (x)在区间[3，7]上是减函数且f (7)为最小值，又f (－7)＝5，则f (7)＝－f (－7)＝－5，故选C．]

5．(2021·全国卷乙)设函数f (x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)

A．f (x－1)－1 B．f (x－1)＋1

C．f (x＋1)－1 D．f (x＋1)＋1

B　[法一：因为f (x)＝，所以f (x－1)＝＝，f (x＋1)＝＝．

对于A，F (x)＝f (x－1)－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足F (x)＝－F (－x)；

对于B，G(x)＝f (x－1)＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)；

对于C，f (x＋1)－1＝－1＝＝－，定义域不关于原点对称；

对于D，f (x＋1)＋1＝＋1＝＝，定义域不关于原点对称．故选B．

法二：f (x)＝＝＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f (x)的图像向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图像对应的函数为y＝f (x－1)＋1，故选B．]

6．已知函数f (x)＝为奇函数，则f (a)＝(　　)

A．－1　　B．1　　C．0　　D．±1

C　[∵函数f (x)是奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，则有f (－1)＝－f (1)，即1＋a＝－a－1，即2a＝－2，得a＝－1(符合题意)，

∴f (x)＝

∴f (－1)＝(－1)2＋(－1)＝0．]

二、填空题

7．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f (x)＝log2(－x)，则f (f (2))＝________．

0　[f (2)＝－f (－2)＝－log22＝－1，所以f (f (2))＝f (－1)＝log21＝0．]

8．已知f (x)是R上的偶函数，且当x＞0时，f (x)＝x2－x－1，则当x＜0时，f (x)＝________．

x2＋x－1　[当x＜0时，－x＞0，则f (－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1，

又f (x)是偶函数，

所以f (x)＝f (－x)＝x2＋x－1．]

9．已知函数f (x)＝x＋－1，f (a)＝2，则f (－a)＝________．

－4　[法一：f (a)＋f (－a)＝＋＝－2．

∴f (－a)＝－2－f (a)＝－4．

法二：由已知得f (a)＝a＋－1＝2，

即a＋＝3，所以f (－a)＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4．]

三、解答题

10．f (x)为R上的奇函数，当x＞0时，f (x)＝－2x2＋3x＋1，求f (x)的解析式．

[解]　当x＜0时，－x＞0，则f (－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1．

由于f (x)是奇函数，

故f (x)＝－f (－x)，

所以当x＜0时，f (x)＝2x2＋3x－1．

因为f (x)为R上的奇函数，故f (0)＝0．

综上可得f (x)的解析式为

f (x)＝

11．已知函数f (x)＝是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f (x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

[解]　(1)设x＜0，则－x＞0，

所以f (－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x．

又f (x)为奇函数，

所以f (－x)＝－f (x)，

于是x＜0时，f (x)＝x2＋2x＝x2＋mx，

所以m＝2．

(2)要使f (x)在[－1，a－2]上单调递增，

结合f (x)的图像(如图所示)知所以1＜a≤3，

故实数a的取值范围是(1，3]．

1．已知函数f (x)＝ln(e＋x)－ln(e－x)，则f (x)是(　　)

A．奇函数，且在(0，e)上是增函数

B．奇函数，且在(0，e)上是减函数

C．偶函数，且在(0，e)上是增函数

D．偶函数，且在(0，e)上是减函数

A　[由得－e＜x＜e，即函数f (x)的定义域为(－e，e)，

又f (－x)＝ln(e－x)－ln(e＋x)＝－f (x)，因而f (x)是奇函数，又函数y＝ln(e＋x)是增函数，y＝ln(e－x)是减函数，则f (x)＝ln(e＋x)－ln(e－x)为增函数，故选A．]

2．若定义在R上的偶函数f (x)和奇函数g(x)满足f (x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝(　　)

A．ex－e－x B．(ex＋e－x)

C．(e－x－ex) D．(ex－e－x)

D　[因为f (x)＋g(x)＝ex，所以f (－x)＋g(－x)＝f (x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝(ex－e－x)．]

3．设f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f (x＋2)＝－f (x)．当x∈[0，2]时，f (x)＝2x－x2．

(1)求证：f (x)是周期函数；

(2)当x∈[2，4]时，求f (x)的解析式．

[解]　(1)证明：∵f (x＋2)＝－f (x)，

∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)．

∴f (x)是周期为4的周期函数．

(2)∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]，

∴4－x∈[0，2]，

∴f (4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8．

∵f (4－x)＝f (－x)＝－f (x)，∴－f (x)＝－x2＋6x－8，

即f (x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．

1．已知函数f (x)＝log2(－x)是奇函数，则a＝________，若g(x)＝则g(g(－1))＝______．

1　　[由f (x)＝log2(－x)得－x＞0，则a＞0，所以函数f (x)的定义域为R．因为函数f (x)是奇函数，所以f (0)＝log2＝0，解得a＝1．所以g(－1)＝f (－1)＝log2(＋1)＞0，g(g(－1))＝2－1＝．]

2．对于函数f (x)，若在定义域D内存在实数x0满足f (2－x0)＝－f (x0)，则称函数y＝f (x)为“类对称函数”．

(1)判断函数g(x)＝x2－2x＋1是否为“类对称函数”？若是，求出所有满足条件的x0的值；若不是，请说明理由；

(2)若函数h(x)＝3x＋t为定义在(－1，3)上的“类对称函数”，求实数t的取值范围．

[解]　(1)是，且满足条件的x0为1．

g(x)＝(x－1)2，设实数x0满足g(2－x0)＝－g(x0)，即(2－x0－1)2＝－(x0－1)2，解得x0＝1，

所以函数g(x)是“类对称函数”，且满足条件的x0为1．

(2)因为h(x)是“类对称函数”，

所以存在x0∈(－1，3)，使得3＋t＝－(3＋t)，

t＝－(3＋3)，设u＝3∈，

则t＝－∈，

所以t的取值范围是．