2023届高考数学一轮复习作业函数的奇偶性与周期性新人教B版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业函数的奇偶性与周期性新人教B版（答案有详细解析），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列函数是偶函数的是( )
A．f(x)＝xcs x B．f(x)＝eq \f(x2－x,x－1)
C．f(x)＝lg|x| D．f(x)＝ex－e－x
C [对于A，定义域为R，f(－x)＝－xcs(－x)＝－xcs x＝－f(x)，f(x)是奇函数；
对于B，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数；
对于C，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝lg|－x|＝lg |x|＝f(x)，f(x)是偶函数；
对于D，定义域为R，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，f(x)是奇函数．]
2．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
B [选项A：因为函数f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，所以f(x－1)－1＝eq \f(1－(x－1),1＋(x－1))－1＝eq \f(2－x,x)－1＝eq \f(2,x)－2，当x＝1，－1时，函数f(x－1)－1的值分别为0，－4．据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性．
选项B：因为函数f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，所以f(x－1)＋1＝eq \f(1－(x－1),1＋(x－1))＋1＝eq \f(2－x,x)＋1＝eq \f(2,x)．据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数为奇函数．
选项C：因为函数f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，所以f(x＋1)－1＝eq \f(1－(x＋1),1＋(x＋1))－1＝－eq \f(x,x＋2)－1＝－eq \f(2x＋2,x＋2)，当x＝1，－1时，函数f(x＋1)－1的值分别为－eq \f(4,3)，0．据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性．
选项D：因为函数f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，所以f(x＋1)＋1＝eq \f(1－(x＋1),1＋(x＋1))＋1＝－eq \f(x,x＋2)＋1＝eq \f(2,x＋2)，当x＝1，－1时，函数f(x＋1)＋1的值分别为eq \f(2,3)，2．据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性．
综上，所给函数中为奇函数的是选项B中的函数，故选B．]
3．(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝eq \f(1,3)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)))＝( )
A．－eq \f(5,3) B．－eq \f(1,3) C．eq \f(1,3) D．eq \f(5,3)
C [因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f[1＋(1＋x)]＝f[－(1＋x)]＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)－2))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝eq \f(1,3)．故选C．]
4．(2021·赤峰市高三二模)设奇函数f(x)的定义域为R，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,4)))为偶函数，当0A．eq \f(1,4) B．－eq \f(1,4) C．eq \f(3,4) D．－eq \f(11,4)
B [由题知，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x＋\f(3,4)))⇒feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))＝f(－x)⇒f(x＋3)＝－f(－x)＝f(x)，
则f(x)的周期为3，f(2 020)＋2f(2 021)＝f(1)＋2f(－1)＝－f(1)＝－eq \f(1,4)．]
5．已知函数f(x)＝a－eq \f(2,ex＋1)(a∈R)是奇函数，则函数f(x)的值域为( )
A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－3,3) D．(－4,4)
A [法一：由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，所以a－eq \f(2,e－x＋1)＝－a＋eq \f(2,ex＋1)，得2a＝eq \f(2,ex＋1)＋eq \f(2,e－x＋1)，所以a＝eq \f(1,ex＋1)＋eq \f(ex,ex＋1)＝1，所以f(x)＝1－eq \f(2,ex＋1)．因为ex＋1＞1，所以0＜eq \f(1,ex＋1)＜1，－1＜1－eq \f(2,ex＋1)＜1，所以函数f(x)的值域为(－1,1)．
法二：函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝a－1＝0，即a＝1，所以f(x)＝1－eq \f(2,ex＋1)．因为ex＋1＞1，所以0＜eq \f(1,ex＋1)＜1，－1＜1－eq \f(2,ex＋1)＜1，所以函数f(x)的值域为(－1,1)．]
6．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－ax，x≤0，,ax2＋x，x＞0))为奇函数，则f(a)＝( )
A．－1 B．1 C．0 D．±1
C [∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，则有f(－1)＝－f(1)，即1＋a＝－a－1，即2a＝－2，得a＝－1(符合题意)，
∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x≤0，,－x2＋x，x＞0.))
∴f(－1)＝(－1)2＋(－1)＝0．]
二、填空题
7．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝lg2(－x)，则f(f(2))＝________．
0 [f(2)＝－f(－2)＝－lg22＝－1，所以f(f(2))＝f(－1)＝lg21＝0．]
8．(2021·上海位育中学高三三模)若函数f(x)＝xlga(x＋eq \r(x2＋2a2))是偶函数，则a＝________．
eq \f(\r(2),2) [法一：由于f(x)＝xlga(x＋eq \r(x2＋2a2))为偶函数，所以f(1)＝f(－1)，
则lga(1＋eq \r(1＋2a2))＝－lga(－1＋eq \r(1＋2a2))，
lga(1＋eq \r(1＋2a2))＋lga(－1＋eq \r(1＋2a2))＝0，
所以lga[(1＋eq \r(1＋2a2))(－1＋eq \r(1＋2a2))]＝0，
即lga2a2＝0，所以2a2＝1，解得a＝eq \f(\r(2),2)．
法二：因为函数f(x)＝xlga(x＋eq \r(x2＋2a2))是偶函数，且函数y＝x是奇函数，所以函数g(x)＝lga(x＋eq \r(x2＋2a2))是奇函数，所以g(0)＝lga(0＋eq \r(0＋2a2))＝0，又a>0且a≠1，所以a＝eq \f(\r(2),2)．]
9．已知函数f(x)，对∀x∈R满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，且f(0)＝1，则f(26)＝________．
1 [∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(26)＝f(2)．
∵对∀x∈R有f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝1，即f(26)＝1．]
三、解答题
10．f(x)为R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．
[解] 当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1．
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以当x＜0时，f(x)＝2x2＋3x－1．
因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0．
综上可得f(x)的解析式为
f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x2＋3x＋1，x＞0，,0，x＝0，,2x2＋3x－1，x＜0.))
11．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－x))成立．
(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．
(3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，求实数a的值．
[解](1)由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－x))，
且f(－x)＝－f(x)，
知f(3＋x)＝feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))))
＝－feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))))＝－f(－x)＝f(x)，
所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期．
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)＝－2，
又T＝3是y＝f(x)的一个周期，
所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2．
(3)因为y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，
且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，
所以|f(x)|为偶函数．故g(x)＝x2＋ax＋3为偶函数，即g(－x)＝g(x)恒成立，于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立．
于是2ax＝0恒成立，所以a＝0．
1．已知函数f(x)＝ln(e＋x)－ln(e－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0，e)上是增函数
B．奇函数，且在(0，e)上是减函数
C．偶函数，且在(0，e)上是增函数
D．偶函数，且在(0，e)上是减函数
A [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(e＋x＞0,e－x＞0))得－e＜x＜e，即函数f(x)的定义域为(－e，e)，
又f(－x)＝ln(e－x)－ln(e＋x)＝－f(x)，因而f(x)是奇函数，又函数y＝ln(e＋x)是增函数，y＝ln(e－x)是减函数，则f(x)＝ln(e＋x)－ln(e－x)为增函数，故选A．]
2．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝( )
A．ex－e－x B．eq \f(1,2)(ex＋e－x)
C．eq \f(1,2)(e－x－ex) D．eq \f(1,2)(ex－e－x)
D [因为f(x)＋g(x)＝ex，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝eq \f(1,2)(ex－e－x)．]
3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2．
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
[解](1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8．
∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．
1．已知函数f(x)＝lg2(eq \r(x2＋a)－x)是奇函数，则a＝________，若g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f(x)，x≤0，,2x－1，x＞0，))则g(g(－1))＝______．
1 eq \r(2) [由f(x)＝lg2(eq \r(x2＋a)－x)得eq \r(x2＋a)－x＞0，则a＞0，所以函数f(x)的定义域为R．因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝lg2eq \r(a)＝0，解得a＝1．所以g(－1)＝f(－1)＝lg2(eq \r(2)＋1)＞0，g(g(－1))＝2eq \s\up12(lg2(eq \r(2)＋1))－1＝eq \r(2)．]
2．对于函数f(x)，若在定义域D内存在实数x0满足f(2－x0)＝－f(x0)，则称函数y＝f(x)为“类对称函数”．
(1)判断函数g(x)＝x2－2x＋1是否为“类对称函数”？若是，求出所有满足条件的x0的值；若不是，请说明理由；
(2)若函数h(x)＝3x＋t为定义在(－1,3)上的“类对称函数”，求实数t的取值范围．
[解](1)是，且满足条件的x0为1．
g(x)＝(x－1)2，设实数x0满足g(2－x0)＝－g(x0)，
即(2－x0－1)2＝－(x0－1)2，解得x0＝1，
所以函数g(x)是“类对称函数”，且满足条件的x0为1．
(2)因为h(x)是“类对称函数”，
所以存在x0∈(－1,3)，使得3eq \s\up12(2－x0)＋t＝－(3eq \s\up12(x0)＋t)，
t＝－eq \f(1,2)(3eq \s\up12(2－x0)＋3eq \s\up12(x0))，
设u＝3eq \s\up12(x0)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，27))，
则t＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,u)＋u))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(41,3)，－3))，
所以t的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(41,3)，－3))．