2023届高考数学一轮复习作业函数与方程北师大版（答案有详细解析）

函数与方程

一、选择题

1．(2021·开封模拟)已知方程lg x＋＝0的根为x0，则下列说法正确的是(　　)

A．x0∈(0，1) B．x0∈(1，10)

C．x0∈(10，100) D．x0∈(100，＋∞)

A　[设f (x)＝lg x＋，函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，

易知函数f (x)在(0，＋∞)上是增函数，

又x→0时，f (x)＜0，f (1)＝lg 1＋1＝1＞0，

∴方程lg x＋＝0的根所在区间是(0，1)，故选A．]

2．函数f (x)＝的零点个数为(　　)

A．3　　B．2　　C．7　　D．0

B　[法一：(直接法)由f (x)＝0得

或

解得x＝－2或x＝e．因此函数f (x)共有2个零点．

法二：(图像法)函数f (x)的图像如图所示，由图像知函数f (x)共有2个零点．

]

3．(2021·重庆模拟)已知函数f (x)＝－log2x，设0＜a＜b＜c，且满足f (a)·f (b)·f (c)＜0，若实数x0是方程f (x)＝0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是(　　)

A．x0＜a B．x0＞c

C．x0＜c D．x0＞b

B　[令f (x)＝0得＝log2x，在同一坐标系中画出y＝和y＝log2x的图像，如图所示：

由f (x0)＝0得，

当x∈(0，x0)时，f (x)＞0，

当x∈(x0，＋∞)时，f (x)＜0．

由f (a)·f (b)·f (c)＜0知，a，b，c∈(x0，＋∞)或a，b∈(0，x0)，c∈(x0，＋∞)，故选B．]

4．已知函数f (x)＝x－(x＞0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x的零点分别为x1，x2，x3，则(　　)

A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3

C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2

C　[作出y＝x与y1＝，y2＝－ex，y3＝－ln x的图像如图所示，可知选C．

　　]

5．已知函数f (x)＝则函数f (x)在(－6，＋∞)上的零点个数为(　　)

A．1　　B．2　　C．3　　D．4

C　[由或解得x＝2或x＝4或x＝e－6．

即函数f (x)在(－6，＋∞)上有3个零点，故选C．]

6．已知λ∈R，函数f (x)＝若函数f (x)恰有2个零点，则λ的取值范围是(　　)

A．(1，3] B．(4，＋∞)

C．(3，4] D．(1，3]∪(4，＋∞)

D　[f (x)＝恰有2个零点有两种情况：

①二次函数有两个零点，一次函数无零点；

②二次函数与一次函数各有一个零点．

在同一平面直角坐标系中画出y＝x－4与y＝x2－4x＋3的图像如图所示，平移直线x＝λ，可得λ∈(1，3]∪(4，＋∞)．故选D．]

二、填空题

7．设函数f (x)＝2|x|＋x2－3，则函数y＝f (x)的零点个数是________．

2　[令f (x)＝0得2|x|＝3－x2，在同一坐标系中，分别作出函数y＝2|x|和y＝3－x2的图像，如图所示：

由图像知，函数f (x)有两个零点．]

8．(2021·济南模拟)若函数f (x)＝ln x－＋a在区间(1，e)上存在零点，则常数a的取值范围是________．

　[∵函数f (x)在区间(1，e)上为增函数，

∴解得－1＜a＜1．]

9．已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是________．

　[作出函数f (x)的图像如图所示．

当x≤0时，f (x)＝x2＋x＝－≥－，若函数f (x)与y＝m的图像有三个不同的交点，则－＜m≤0，即实数m的取值范围是．]

三、解答题

10．已知函数f (x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点．

(1)求m的值；

(2)求函数的零点．

[解]　(1)因为f (x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．

设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0．

当Δ＝0时，即m2－4＝0，

所以m＝±2，

当m＝－2时，t＝1；

当m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)．

所以2x＝1，x＝0符合题意．

当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2，

t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，

即f (x)有两个零点或没有零点．

所以这种情况不符合题意．

综上可知：当m＝－2时，f (x)有唯一零点．

(2)由(1)可知，该函数的零点为0．

11．设函数f (x)＝(x＞0)．

(1)作出函数f (x)的图像；

(2)当0＜a＜b，且f (a)＝f (b)时，求＋的值；

(3)若方程f (x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．

[解]　(1)如图所示．

(2)因为f (x)＝＝

故f (x)在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数．

由0＜a＜b且f (a)＝f (b)，得0＜a＜1＜b，

且－1＝1－，所以＋＝2．

(3)由函数f (x)的图像可知，当0＜m＜1时，函数f (x)的图像与直线y＝m有两个不同的交点，即方程f (x)＝m有两个不相等的正根．

1．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f (x)＝ln x－的零点，则g(x0)等于(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

B　[∵f (x)在(0，＋∞)上为增函数，f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－＞0，

故x0∈(2，3)，∴g(x0)＝[x0]＝2．故选B．]

2．若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2等于(　　)

A．1　　B．－1　　C．e　　D．

A　[考虑到x1，x2是函数y＝ex，函数y＝ln x与函数y＝的图像的交点A，B的横坐标，而A，B两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1．故选A．]

3．函数f (x)的定义域为实数集R，且f (x)＝对任意的x∈R都有f (x＋2)＝f (x－2)．若在区间[－5，3]上函数g(x)＝f (x)－mx＋m恰好有三个不同的零点，求实数m的取值范围．

[解]　因为对任意的x∈R都有f (x＋2)＝f (x－2)，所以函数f (x)的周期为4．由在区间[－5，3]上函数g(x)＝f (x)－mx＋m有三个不同的零点，知函数f (x)与函数h(x)＝mx－m的图像在[－5，3]上有三个不同的交点．在同一平面直角坐标系内作出函数f (x)与h(x)在区间[－5，3]上的图像，如图所示．

由图可知≤m＜，

即－≤m＜－．

1．已知f (x)＝|ex－1|＋1，若函数g(x)＝[f (x)]2＋(a－2)f (x)－2a有三个零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－2，－1) B．(－1，0)

C．(0，1) D．(1，2)

A　[令t＝f (x)，则函数g(x)＝t2＋(a－2)t－2a，由t2＋(a－2)t－2a＝0，得t＝2或t＝－a．f (x)＝|ex－1|＋1＝作出函数f (x)的图像，如图所示，由图可知当t＝2时，方程f (x)＝|ex－1|＋1＝2有且仅有一个根，则方程f (x)＝|ex－1|＋1＝－a必有两个不同的实根，此时由图可知1＜－a＜2，即－2＜a＜－1，故选A．]

2．已知定义在R上的偶函数f (x)满足f (x－4)＝f (x)，且在区间[0，2]上f (x)＝x，若关于x的方程f (x)＝logax有三个不同的实根，求a的取值范围．

[解]　由f (x－4)＝f (x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f (x－4)＝f (x)＝f (4－x)，

所以函数图像关于x＝2对称，且f (2)＝f (6)＝f (10)＝2，要使方程f (x)＝logax有三个不同的根，则满足

解得＜a＜，

故a的取值范围是(，)．