初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试课后复习题

第21章 一元二次方程 单元综合测试卷

一、单选题

1．下列方程中一元二次方程的个数为（    ）

①；②；③；④．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（    ）

A． B．

C． D．

3．把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　）

A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，10

4．已知关于x的一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1=1，x2=n，则代数式(m+n)2022的值为（    ）

A．1 B．0 C． D．

5．如图，一次函数y=-3x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．若矩形OCPD的面积为1时，则点P的坐标为（　　）

A．（，3） B．（，2） C．（，2）和（1，1） D．（，3）和（1，1）

6．已知关于x的方程有一个根为1，则方程的另一个根为（    ）

A．-1 B．1 C．2 D．-2

7．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是（　　）

A．﹣7 B．7 C．2 D．﹣2

8．已知x＝a是一元二次方程的解，则代数式的值为（    ）

A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6

9．关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（    ）

A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根

10．某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如果销售单价每增加0.5元，则第天销售量会减少2kg.该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？设销售单价应为x元/kg，依题意可列方程为（     ）

A． B．

C． D．

11．若关于x的一元二次方程有实数根，则a应满足（    ）

A． B． C．且 D．且

12．若实数满足，则的值是（ ）

A．1 B．-3或1 C．-3 D．-1或3

13．如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则（    ）

A． B． C． D．

14．如图，把长40，宽30的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950，则的值是（    ）

A．3 B．4 C．4.8 D．5

15．如图是某公园在一长35m，宽23m的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形湖面面积的，求人行观景曲桥的宽．若设人行观景曲桥的宽为xm，则x满足的方程为（    ）

A． B．

C． D．

16．若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为（    ）

A．2022 B．2020 C．2019 D．2021

17．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（　　）

A．﹣1 B．2 C．22 D．30

18．已知关于x的一元二次方程：x2-2x-a=0，有下列结论：

①当a＞-1时，方程有两个不相等的实根；

②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；

③当a＞-1时，方程的两个实根不可能都小于1；

④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.

以上4个结论中，正确的为（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④

19．关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

20．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（ ）

A．0 B．1 C．3 D．不确定

二、填空题

21．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是____．（写出一个即可）

22．对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________．

23．设是一元二次方程的两个根，则__________．

24．已知是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则_____．

25．将两个关于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程（）与方程是“同源二次方程”，且方程（）有两个根为、，则b－2c＝______，的最大值是______．

三、解答题

26．解下列方程

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

27．如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0<t<6)，那么当t为何值时，△QAP的面积等于8 cm2?

28．已知关于x的方程．

(1)求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

(2)设方程的两根分别为，且分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为6，求m的值．

29．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．

(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；

(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？

30．设关于x的方程x2−5x−m2+1=0的两个实数根分别为α、β．

(1)证明：无论实数m为何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2)当|α|+|β|≤6时，试确定实数m的取值范围．

参考答案

1--10ADDAD CBBCC 11--20DACDC DDCDA

21．0（答案不唯一）

22．或2

23．

24．1

25． 4；     -3

26．（1）

∴

（2）

x+6=0或x-2=0，

解得：x=-6或x=2，

∴

（3）

∴

（4）

∴

（5）

或

解得：或x=-2

∴，

（6）

x+1=0或x-1=0，

解得：x=1或x=-1

∴

（7）

x-2=0或x-3=0，

解得：x=2或x=3，

∴

（8）

解：当x-1≥0，即x≥1时，方程化为，

即，

解得：；

当x-1＜0，即x＜1时，方程化为，

即（x-1）（x+4）=0，

解得：（舍去），，

∴

27．解：当运动时间为t s时，AP＝2t cm，AQ＝(6－t)cm，

依题意得×2t(6－t)＝8，

整理得t2－6t＋8＝0，

解得t1＝2，t2＝4，

∴当t为2或4时，△QAP的面积等于8 cm2．

28．（1）证明：△，

△，

总有两个不相等的实数根；

（2）解：∵方程的两根分别为，

∴，

由题意知：

∴

∴或．

∵

∴

∴

∴．

29．（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，

根据题意得：，

解这个方程得，，，

经检验，符合本题要求．

答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．

（2）设该市在2022年可以改造个老旧小区，

由题意得：，

解得．

∵为正整数，∴最多可以改造18个小区．

答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．

30．（1）证明：∵Δ=（-5）2-4(−m2+1)=4m2+21＞0，∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：关于x的方程x2−5x−m2+1=0的两个实数根分别为α、β，∴α+β=5，αβ=1-m2，∵|α|+|β|≤6，∴α2+β2+2|αβ|≤36，即（α+β）2-2αβ+2|αβ|≤36．∴25-2（1-m2）+2|1-m2|≤36，当1-m2≥0时，25≤36成立，∴-1≤m≤1．①当1-m2＜0时，得25-4（1-m2）≤36，∴−≤m≤．②由①、②得−≤m≤．