人教版 (2019)必修 第二册2 万有引力定律课时练习

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五年高考练
考点1 万有引力定律及其应用
1.(2021全国乙,18,6分,)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测,给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆,银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力,设太阳的质量为M,可以推测出该黑洞质量约为( )
A.4×104M B.4×106M
C.4×108M D.4×1010M
2.(2021广东,2,4分,)2021年4月,我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动,已知引力常量,由下列物理量能计算出地球质量的是( )
A.核心舱的质量和绕地半径
B.核心舱的质量和绕地周期
C.核心舱的绕地角速度和绕地周期
D.核心舱的绕地线速度和绕地半径
3.(2020课标Ⅰ,15,6分,)火星的质量约为地球质量的110,半径约为地球半径的12,则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A.0.2 B.0.4 C.2.0 D.2.5
4.(2020山东,7,3分,)我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前,会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1,半径约为地球的0.5,地球表面的重力加速度大小为g,忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动,此过程中着陆器受到的制动力大小约为( )
+v0t0
+v0t0
5.(2019课标Ⅱ,14,6分,)2019年1月,我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中,用h表示探测器与地球表面的距离,F表示它所受的地球引力,能够描述F随h变化关系的图像是( )
6.(2019课标Ⅲ,15,6分,)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动,它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火,它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金a火 B.a火>a地>a金
C.v地>v火>v金 D.v火>v地>v金
7.(2018课标Ⅰ,20,6分,)(多选)2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100 s时,它们相距约400 km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体,由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A.质量之积 B.质量之和
C.速率之和 D.各自的自转角速度
8.(2018课标Ⅱ,16,6分,)2018年2月,我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,其自转周期T=5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体,已知引力常量为6.67×10-11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A.5×109 kg/m3 B.5×1012 kg/m3
C.5×1015 kg/m3 D.5×1018 kg/m3
考点2 宇宙速度 人造卫星
9.(2021全国甲,18,6分,)2021年2月,执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后,进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道,轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m。已知火星半径约为3.4×106 m,火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2,则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为( )
A.6×105 m B.6×106 m
C.6×107 m D.6×108 m
10.(2021湖南,7,5分,)(多选)2021年4月29日,中国空间站天和核心舱发射升空,准确进入预定轨道。根据任务安排,后续将发射问天实验舱和梦天实验舱,计划2022年完成空间站在轨建造。核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道,轨道离地面的高度约为地球半径的 116。下列说法正确的是( )
A.核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的16172倍
B.核心舱在轨道上飞行的速度大于7.9 km/s
C.核心舱在轨道上飞行的周期小于24 h
D.后续加挂实验舱后,空间站由于质量增大,轨道半径将变小
11.(2021河北,4,4分,)“祝融号”火星车登陆火星之前,“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行,其周期为2个火星日。假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行,其周期也为2个火星日。已知一个火星日的时长约为一个地球日,火星质量约为地球质量的0.1倍,则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为( )
A.34 B.314 C.352 D.325
12.(2020课标Ⅱ,15,6分,)若一均匀球形星体的密度为ρ,引力常量为G,则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是( )
A.3πGρ B.4πGρ C.13πGρ D.14πGρ
13.(2020江苏单科,7,4分,)(多选)甲、乙两颗人造卫星质量相等,均绕地球做圆周运动,甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有( )
A.由v=gR可知,甲的速度是乙的2倍
B.由a=ω2r可知,甲的向心加速度是乙的2倍
C.由F=GMmr2可知,甲的向心力是乙的14
D.由r3T2=k可知,甲的周期是乙的22倍
14.(2020天津,2,5分,)北斗问天,国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星,其轨道半径约为地球半径的7倍。与近地轨道卫星相比,地球静止轨道卫星( )
A.周期大 B.线速度大 C.角速度大 D.加速度大
15.(2019江苏单科,4,3分,)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星,该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示,设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2,近地点到地心的距离为r,地球质量为M,引力常量为G。则( )
A.v1>v2,v1=GMr B.v1>v2,v1>GMr
C.v1v地>v火,选项A正确。
7.BC 双星系统由彼此间万有引力提供向心力,得Gm1m2L2=m1ω12r1,Gm1m2L2=m2ω22r2,且T=2πω,两颗星的周期及角速度相同,即T1=T2=T,ω1=ω2=ω,两颗星的轨道半径r1+r2=L,解得m1m2=r2r1,m1+m2=4π2L3GT2,因为r2r1未知,故m1与m2之积不能求出,则选项A错误,B正确。各自的自转角速度不可求,选项D错误。速率之和v1+v2=ωr1+ωr2=ω·L,故C项正确。
8.C 以周期T稳定自转的星体,当星体的密度最小时,其表面物体受到的万有引力提供向心力,即Gm星mR2=m4π2T2R,星体的密度ρ=m星43πR3,得其密度ρ=3πGT2=3××10-11×(5.19×10-3)2 kg/m3=5×1015 kg/m3,故选项C正确。
9.C 设火星的质量为M,半径为R,自由落体的加速度为g火,则有GMmR2=mg火,设其近地卫星做圆周运动的周期为T,则有GMmR2=m4π2T2R,设探测器所在椭圆形停泊轨道的半长轴为a,根据开普勒第三定律得R3T2=a3T12,联立上述方程并代入数据解得a≈335×107 m,可得停泊轨道与火星表面的最远距离约为2a-2.8×105 m-2×3.4×106 m≈6×107 m,故选项C正确,选项A、B、D错误。故选C项。
10.AC 核心舱在地面上所受万有引力F0=G MmR2,入轨后,所受万有引力F=G Mm1716R2=16172F0,选项A正确;核心舱绕地球运行的最大速度为7.9 km/s,选项B错误;核心舱轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径,其周期小于24 h,选项C正确;根据G Mmr2=mv2r,可知r= GMv2,空间站的轨道半径与其速度v有关,与其质量无关,选项D错误。
11.D 由万有引力提供向心力得GMmr2=m4π2rT2
解得r=3GMT24π2
即飞船轨道半径r飞=3GM火T飞24π2
地球同步卫星轨道半径r同=3GM地T同24π2
由题可知T飞=2T同,M火=0.1 M地
可得r飞r同=325,故选D。
12.A 设星体半径为R,则其质量M=43πρR3;在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星所受万有引力提供向心力,有GMmR2=m·4π2T2·R,联立解得T=3πGρ,故A选项正确,B、C、D选项错误。
13.CD 由GMmr2=mg可知,在离地不同高度处重力加速度不同,而A项推论误将g作为一个常量,故A项所得结果错误。同理由GMmr2=mrω2可知卫星在不同轨道上运行的角速度不同,B项将ω作为常量做出的推论也是错误的。由万有引力定律可知C项正确。由GMmr2=mr2πT2可得r3T2=GM4π2,可见k=GM4π2是一个只与地球质量有关的物理量,故D项由此所得推论是正确的。
14.A 近地卫星的轨道半径近似等于地球半径,而地球静止轨道卫星的轨道半径约为地球半径的7倍,根据万有引力提供向心力可得GMmr2=ma=mv2r=mω2r=m4π2T2r,推导得a=GMr2、v=GMr、ω=GMr3、T=2πr3GM,可知卫星的轨道半径越大,其加速度越小、线速度越小、角速度越小、周期越大,故A正确。
15.B 由开普勒第二定律可知,v1>v2。若卫星过近地点做半径为r的匀速圆周运动,则满足GMmr2=mv2r,可得v=GMr。现卫星过近地点做离心运动,则v1>GMr,故选项B正确,A、C、D错误。
三年模拟练
1.C 根据万有引力提供向心力,有GMmr2=mv2r,而v=2πrT,可以得出地球的质量为M=v3T2πG,由于不知道地球的半径,因此无法计算地球的密度,选项C符合题意,选项D不符合题意;卫星受到的向心力Fn=mv2r,v=2πrT,可得Fn=2πmvT,向心加速度an=Fnm=2πvT,即可以求出卫星的向心力、向心加速度,选项A、B不符合题意。
2.B “天宫一号”绕地球运行,万有引力提供向心力,有GMm(R+ℎ)2=mg,其中M=ρ·43πR3;“蛟龙号”在地表以下,所以有GM'm'(R-d)2=m'g',其中M'=ρ·43π(R-d)3,故“天宫一号”所在处与“蛟龙号”所在处的重力加速度之比为gg'=R3(R+ℎ)2·1R-d=R3(R-d)(R+ℎ)2,选项B正确。
3.A 如图所示,设火星表面的重力加速度为g。
由平抛运动规律,有x=v0t,y=12gt2
且 tan θ=yx
联立得g=2v0tanθt
设火星质量为M,在火星极地表面质量为m的物体所受的重力等于火星对它的万有引力,即mg=GMmR2,解得M=gR2G,代入数据得M=2v0R2tanθGt,故A正确。
火星的密度ρ=MV=M43πR3=3v0tanθ2πRGt,故C错误。
设火星的第一宇宙速度为v,由牛顿第二定律有mg=mv2R,解得v=gR=2v0Rtanθt,故B错误。
设火星同步卫星离火星表面高度为h,其质量为m,由牛顿第二定律有GMm(R+ℎ)2=m4π2T02(R+h),解得h=3GMT024π2-R=3R2T02v0tanθ2π2t-R,故D错误。
4.C 设月球质量为M,则月球的第一宇宙速度v1=GMR1,已知本次任务中封装月壤的仪器在月球表面的重力为G1,返回地球表面时的重力为G2,地球表面重力加速度为g,设封装月壤的仪器质量为m0,则G2=m0g,设月球表面重力加速度是g',则G1=m0g',在月球表面有GMm0R12=m0g',联立以上式子可解得v1=G1gR1G2,M=G1R12gGG2,故A错误,C正确;嫦娥五号环绕月球表面做匀速圆周运动的周期T=2πR1v1=2πG2R1G1g,故B错误;月球的密度ρ=MV=M43πR13=3G1g4πGG2R1,故D错误。选C。
5.B 脉冲双星做圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供,有Gm1m2L2=m12πT2R1=m22πT2R2,由几何关系得R1+R2=L,联立解得1T2=G(m1+m2)4π2·1L3;已知此双星系统中体积较小的星球能“吸食”另一颗体积较大的星球表面的物质,达到质量转移的目的,可知每个星球的质量都在变化,但质量之和不变,所以有1T2∝1L3,故B正确,A、C、D错误。
6.答案 见解析
解析 (1)设质量为m的物体在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,根据牛顿第二定律,有GMmR2=mv12R,解得v1=GMR。
(2)错误原因:随着竖直上抛物体高度的升高,离地面越来越远,万有引力越来越小,重力加速度的值会越来越小。
由于物体上升过程中做减速运动的加速度越来越小,因此物体上升的最大高度应该大于做匀减速运动上升的高度,即物体上升的最大高度应该大于R2。
(3)物体上升过程中速度与加速度方向相反,所以速度不断减小;上升过程中物体所受的万有引力越来越小,加速度也越来越小。物体下降过程中,速度与加速度方向相同,所以速度不断增大;下降过程中物体所受的万有引力越来越大,加速度也越来越大。v-t图像如图所示: