浙江省杭州市西湖区杭州外国语学校2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份浙江省杭州市西湖区杭州外国语学校2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共31页。试卷主要包含了本试卷分试题卷和答题卷两部分，本次考试不得使用计算器，函数的图象可以由函数的图象，已知x为实数，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷满分120分，考试时间120分钟．
2．本试卷分试题卷和答题卷两部分．其中试题卷6页，答题卷2页．
4．本次考试不得使用计算器．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请将正确答案填在答题卷的相应位置上）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．兆帕是压强的单位，全称为兆帕斯卡，1帕是指1牛顿的力均匀的压在1平方米的面积上所产生的压强，1兆帕＝1000000帕，那么300兆帕换算成帕并用科学记数法表示为（ ）
A．帕B．帕C．帕D．帕
3．如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（ ）
A．△BAC∽△BDAB．△BFA∽△BEC
C．△BDF∽△BECD．△BDF∽△BAE
4．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图的直径弦，连接，，若，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．函数的图象可以由函数的图象（ ）
A．向上平移1个单位得到B．向下平移1个单位得到
C．向左平移1个单位得到D．向右平移1个单位得到
7．如图，当时，函数与函数的图象大致是( )
A．B．C．D．
8．已知x为实数，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．6
9．如图，将长方形纸片分别沿，折叠，点D，E恰好重合于点M．记面积为，面积为，且，则的值为（ ）

A．B．C．D．
10．如图，点，分别在，轴的正半轴上，始终保持，以为边向右上方作正方形，，交于点，连接．①直线的函数表达式为，②的取值范围是；③若点的坐标为时，则；④连接，则的最大值为；⑤四边形面积的最大值为18．上述结论正确的个数为( )
A．2B．3C．4D．5
二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将正确答案填在答题卷的相应位置上）
11．关于的不等式组有且仅有3个整数解，则的取值范围为 ．
12．如图，在矩形中，点，分别时边，的中点，连接，，点，分别时，的中点，这接，苦，，则的长度为 ．

13．实数x，y满足方程，则 ．
14．如图，在中，，平分，交于点D，点M、N分别为、上的动点，若，的面积为6，则的最小值为 ．
15．如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段上的一点，若将沿折叠，点A恰好落在x轴上的处，若P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则P的坐标为 ．

16．如图，矩形ABCD中，的平分线交于E，交的延长线于F，G是的中点，连接，若，则 ．

三、解答题（本题有8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
17．（1）先化简再求值：
，其中；
（2）解方程：．
18．我们知道无理数都可以化为无限不循环小数，所以的小数部分不可能全部写出来，若的整数部分为，小数部分为，则，且．
(1)的整数部分是________，小数部分是________；
(2)若的整数部分为，小数部分为，求的值．
19．为了解全国中学生创新能力大赛中竞赛项目“知识产权”笔试情况，随机抽查了部分参赛同学的成绩，整理并制作图表如下：

请根据以上图表中提供的信息，解答下列问题：
(1)在表中：___________，____________；并补全频数分布直方图；
(2)参加比赛的小华说，他的比赛成绩是所有抽查同学成绩的中位数，据此推断他的成绩落在____________分数段内；
(3)若这次参加竞赛的学生共有5000人，试估计约有多少人的成绩达到优秀（成绩大于等于80分为优秀）
20．已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根
(1)直接写出m的取值范围
(2)若满足，求m的值．
(3)若，求证：；
21．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过正方形的顶点，点在线段上，点在射线上，以，为边的平行四边形的顶点恰好在该反比例函数的图象上．
(1)若点的坐标是，求点的坐标；
(2)如图2，当点在的延长线上时，连接，若，，求点的长．
22．如图1，E是边长为1的正方形边上一动点（E与C、D不重合），过D作，交的延长线与G、F．

(1)求证：；
(2)如图2，连接，
①点E在运动过程中，能否是等腰三角形，若能，求出的值；若不能，请说明理由；
②若，求的值．
23．已知的直径为10，为上一动点（不与、重合），连接、．
(1)如图1，若，求的值；
(2)如图2，弦平分，过点作于点，连接．
①当为直角三角形时，求的值；
②在点的运动过程中，请直接写出的最小值．
24．已知抛物线过点和点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，点在线段上（与点不重合），点是的中点，连接，过点作交于点，连接，当面积是面积的3倍时，求点的坐标；
(3)如图2，点是抛物线上对称轴右侧的点，是轴正半轴上的动点，若线段上存在点（与点不重合），使得，求的取值范围．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、图形是轴对称图形，不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，符合题意；
C、图形是轴对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
2．B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：300兆帕＝300000000帕＝3×108帕，
故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
3．C
【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断．
【详解】∵∠BAD=∠C，
∠B=∠B，
∴△BAC∽△BDA．故A正确．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴△BFA∽△BEC．故B正确．
∴∠BFA=∠BEC，
∴∠BFD=∠BEA，
∴△BDF∽△BAE．故D正确．
而不能证明△BDF∽△BEC，故C错误．
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角．
4．A
【分析】利用关于原点对称点的坐标性质得出点坐标，进而利用关于轴对称点的坐标性质得出坐标，进而得出答案．
【详解】解：点关于原点的对称点为，
，
点关于轴的对称点为，
，
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及关于轴对称点的性质，得出点坐标是解题关键．
5．A
【分析】先根据垂直的条件可计算出，再根据圆周角定理得到，然后利用得到即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边对等角，直角三角形两锐角互余．掌握圆周角定理是解题的关键．
6．D
【分析】先利用配方法得到y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2的顶点坐标为（1，0），然后利用顶点平移的得到抛物线的平移．
【详解】y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，其顶点坐标为（1，0），y=x2的图象顶点坐标为（0，0）．
∵把点（0，0）向右平移1个单位得到点（1，0），∴函数y=x2﹣2x+1的图象可以由函数y=x2的图象向右平移1个单位得到．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
7．C
【分析】本题考查二次函数的图象与一次函数图象的综合，根据图象得到相应的a、b的符号，结合即可得出答案．
【详解】解：A、由函数的图象得，由函数的图象得，，不满足，不符合题意；
B、由函数的图象得，由函数的图象得，，不满足，不符合题意；
C、由函数的图象得，由函数的图象得，，满足，符合题意；
D、由函数的图象得，由函数的图象得，，不满足，不符合题意；
故选：C．
8．A
【分析】，令，，，则表示，点到点和点的距离的和，如图，可得当三点共线时，的值最小，值为，计算求解即可．
【详解】解：∵
，
令，，，
∴表示，点到点和点的距离的和，如图，

∴当三点共线时，的值最小，值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9．D
【分析】过点作于，过点作于点，则，根据相似三角形的性质得出，设，则，根据折叠的性质及矩形的性质推出，，，，则，根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过点作于，过点作于点，

，
，
，
，
，
设，则，
由折叠可知，，，，，，
，
四边形是矩形，
，，
，，，
，，
，
，
，
，
，，
，
故选：D．
【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质是解题的关键．
10．C
【分析】过P作轴于M，轴于N，证明得到， 设，则，进而利用待定系数法可判断①正确；取的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线性质得到，利用两点之间线段最短可得到 ，进而可判断②；证明四边形是正方形，得到，，由勾股定理可列方程求得，进而求得，可判断③；先由勾股定理求得，再根据两点之间线段最短求得的最大值为，进而判断④；先得到四边形面积等于正方形的面积，由，求得的最大值为，进而可判断⑤．
【详解】解：如图，过P作轴于M，轴于N，则，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵在正方形中中，，交于点，，
∴，，
∴,
∴，
∴，
由题意，点P在第一象限，
设，则，
设直线的函数表达式为，
将代入，得，则，
∴直线的函数表达式为，故①正确；
取的中点，连接、，则，
∵，
∴，
∵，当且仅当O、Q、P共线时取等号，
即，故②错误；
∵四边形是矩形，，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵B点的坐标为，
∴，则，
∵，
∴，
解得或（舍去），
∴，故③正确；
∵，，，
∴，
∵，当O、Q、D共线时取等号，
∴的最大值为，故④正确；
∵，
∴，
∴四边形面积等于正方形的面积，
∵，，
∴，即的最大值为，
∴正方形的最大面积为，
即四边形面积的最大值为18，故⑤正确，
综上，正确的有①③④⑤，共4个，
故选：C．
【点睛】本题是选择题的压轴题，综合性强，涉及全等三角形的判定与性质、正方形和矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、两点之间线段最短、解一元二次方程、待定系数法求一次函数解析式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运算，添加合适的辅助线是解答的关键．
11．##
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先解每个不等式，然后根据解的情况得到关于a的不等式组，然后解不等式组即可．
【详解】解：解不等式组得，
∵已知不等式组有且仅有3个整数解，
∴，解得：，
故答案为：．
12．
【分析】连接并延长交于点，连接，由矩形的性质得，，，从而得到，通过证明可得，，由勾股定理进行计算可得，再由三角形中位线定理即可得到的长．
【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接，
，
四边形是矩形，
，，，
，
点，分别时边，的中点，，，
，，
点为的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
点是的中点，，
是的中位线，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造三角形，是解题的关键．
13．
【分析】原方程可变形为，再根据平方的非负性可求出，，从而可求出，，最后代入求值即可．
【详解】解：，
，
，
．
∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查平方的非负性，根据完全平方公式计算，代数式求值．巧妙运用完全平方公式和非负数的性质是解题关键．
14．3
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，垂线段的性质，正确作出辅助线是解题的关键．在上截取，证明，可得，根据垂线段最短的性质，即可得到时，取最小值，根据三角形面积公式即可解答．
【详解】解：如图，在上截取，

平分，
，
在与中，
，
，
，
，
∵垂线段最短，
∴当时，取最小值，如图所示：

∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
的最小值为3，
故答案为：3．
15．或或
【分析】先求出点A的坐标为，点B的坐标为，设，解得，以下分为三种情况：以和为腰，为底，则，以和为腰，为底，以和为腰，为底，点O是的中点，求解即可．
【详解】解：当时，，
∴点A的坐标为，
当时，，解得：，
∴点B的坐标为，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
∴，
∵P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，
以和为腰，为底，则，
∴，
∴P的坐标为；
以和为腰，为底，
设，
∴，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得：，
∴，
∴P的坐标为，
以和为腰，为底，点O是的中点，
∴，
∴P的坐标为，

综上所述，P的坐标为或或．
【点睛】利用全等与勾股定理求点的坐标和线段长度，然后分类讨论即可．
16．
【分析】证明，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，进一步证得是等腰直角三角形，设，求出，得到，过点G作于点M，进一步求出，即可得答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵的平分线交于E，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵G是的中点，
∴，，，
∴，是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴可设
∴，
∵，
∴，
∴，
过点G作于点M，

∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，分别求出，是解题的关键．
17．（1），2；（2）
【分析】本题考查分式的化简求值、解分式方程，涉及零指数幂和负整数指数幂运算，熟练掌握相应运算法则和解法步骤是解答的关键．
（1）先根据分式的混合运算法则化简原式，再求得x值代入求解即可；
（2）先去分母化为整式方程，进而解方程求解即可，注意运算结果要检验．
【详解】解：（1）
，
∵，
∴原式；
（2）去分母，得，
移项、合并同类项，得，
化系数为1，得，
经检验，是原分式方程的解．
18．(1)7，
(2)104
【分析】本题考查无理数的估算，代数式求值,二次根式的混合运算，理解无理数的估算方法是关键．
（1）先估算出的范围，进而可求得整数部分和小数部分；
（2）先估算的范围，进而可求得m、n值，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是7，小数部分是，
故答案为：7，；
（2）解：∵，
∴，
∴，，
∴
．
19．(1)120，0.3
(2)，见解析
(3)3000
【分析】（1）确定样本数量（人），结合表中数据计算，．画出直方图；
（2）根据中位线定义，所有数据合计300个，从小到大排列，最中间的两个数在分数段，故小华的分数落在分数段．
（3）用样本的百分比估计整体，即可．
【详解】（1）解：抽查的人数（人），
∴，．
直方图如下，

（2）解：所有数据合计300个，从小到大排列，最中间的两个数在分数段，故小华的分数落在分数段．
（3）解：（人）．
【点睛】本题考查数据统计直方图，中位数的定义，样本估计总体；理解样本估计总体的方法是解题的关键．
20．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据一元二次方程的两个不相等的实数根，得，即可列式作答；
（2）结合一元二次方程根与系数的关系，得和，因为，所以，解得，，结合，即可作答；
（3）因为，结合和，得，则，又因为，即可证明．
【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根
∴，
即；
（2）解：∵，且，
∴
整理得，
解得：，
∵由（1）知，
∴
检验：当时，，即；
（3）证明：因为，
把和代入上式，
得，
∵，
∴
∴
∵，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及根据一元二次方程根的情况求参数等内容，正确掌握，是解题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）过点F作轴于G，设、交点为M，根据正方形和平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质证明得到，，再根据点在反比例函数的图象上的点的坐标特征求得，，进而求得，求得即可求解；
（2）过F作轴于H，先证明得到，，再证明得到，
设，则，，则，代入中求解a值即可
．
【详解】（1）解：过点F作轴于G，设、交点为M，如图，则
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点的坐标是，
∴，
∵点B在反比例函数的图象上，四边形是正方形，
∴，则，
∴，，
∴点F的纵坐标为，
∵点F在反比例函数的图象上，
∴当时，，则，
∴，则，
∴；
（2）解：过F作轴于H，如图，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，，即，
∴，
∴，又，，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∴，则，
∵点F在反比例函数的图象上，
∴，解得（负值舍去），
∴．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、反比例函数比例系数k的几何意义、正方形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造全等和数形结合思想是解答的关键．
22．(1)证明见解析
(2)①点E在运动过程中，能是等腰三角形，的值是；②
【分析】（1）由正方形得，，再由同角的余角相等得出，即可利用角边角证明；
（2）①先求出，得出点E在运动过程中，能是等腰三角形，只能，设，在中，由勾股定理得出方程，求解方程即可得出的值；②先在中表示出，然后证明，得出，即，求解方程即可．
【详解】（1）∵四边形是正方形，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∵，
∴．
（2）①点E在运动过程中，能是等腰三角形，
由（1）知，
∴．
∴．
∴，
∴只能．
设，则，
在中，由勾股定理，得：，
即，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴的值是．
②在中，，设，
则，，
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴，即．
整理得，．
解得：，（不合题意，舍去）
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，以及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23．(1)
(2)①5或；②的最小值为
【分析】（1）先根据圆周角定理得到，再利用勾股定理求解即可；
（2）①分当时和当时两种情况，根据等腰直角三角形的判定与性质，结合勾股定理求解即可；
②连接，，取、的中点，连接，，根据三角形的中位线性质和直角三角形的性质求得，，由三角形的三边关系得到，当点B、E、F共线时取等号，进而可求得的最小值．
【详解】（1）解：∵为的直径，
∴，又，，
∴；
（2）解：①∵，弦平分，
∴，
当时，如图，连接，则,
∵，
∴，
∴点E和O重合，即为等腰直角三角形，则；
当时，如图，
∵，
∴，
则为等腰直角三角形，且，
∴，
∵，，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
解得（负值舍去），
综上，满足题意的的长为5或；
②连接，，分别取、的中点F、H，连接，，如图，
则，，，，
∴，，，
∴，
∵，F为的中点，
∴，
∵，当点B、E、F共线时取等号，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、直角三角形斜边中线性质、三角形的三边关系等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线和分类讨论是解答的关键．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）待定系数法求得直线的解析式为，设，过点作交的延长线于点，则，则的坐标为，得出是等腰直角三角形，设，则，证明，相似三角形的性质得出，则，可得，当面积是面积的3倍时，即，即，在中，，解方程即可求解；
（3）根据三角形外角的性质，结合已知条件得出，证明，则，设交轴于点，过点作轴于点，求得直线的解析式为，联立，得出，勾股定理求得的长，根据相似三角形的性质得出关于的二次函数关系式，进而根据二次函数的性质求得最值，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点和点，
∴
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，则，
∵，
∴，，
∵点是的中点，则，
∴，
设直线的解析式为，
∵点和点，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
设，
如图所示，过点作交的延长线于点，则，则的坐标为，

∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∴
即
∵
∴
即，
∴，
∴
∴，
又，
∴是等腰直角三角形，
∴的面积为，
∵的面积为
当面积是面积的3倍时
即
即
在中，
∴
∴
解得：或（舍去）
∴；
（3）∵，
又，
∴，
∴，
∴，
设交轴于点，过点作轴于点，

∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
∴，
∵，
设，则，
∴，
整理得：，
∵在线段上（与点不重合），
∴,
∴，
∴当时，取得的最大值为，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，面积问题，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
分数段
频数
频率
30
0.1
90
0.4
60
0.2