福建省泉州实验中学2022-2023学年上学期九年级期末数学试卷 (含答案)

这是一份福建省泉州实验中学2022-2023学年上学期九年级期末数学试卷 (含答案)，共34页。试卷主要包含了下列说法中不正确的是，如图，已知A等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省泉州实验中学九年级第一学期期末数学试卷
一．选择题（只有一个正确答案，本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则cosA的值等于（　　）
A． B． C． D．
2．若正多边形的中心角为72°，则该正多边形的边数为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
3．下列说法中不正确的是（　　）
A．想了解某种饮料中含色素的情况，宜抽样调查
B．“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件
C．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是随机事件
D．一组数据 6，7，8，9，10 的方差是3
4．函数y＝kx2﹣4x+4的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k≤1 D．k≤1且k≠0
5．如图：在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若四边形BCED的面积是3cm2，则△ADE的面积是（　　）

A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2
6．五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（　　）
A．只有平均数 B．只有中位数
C．只有众数 D．中位数和众数
7．如图，⊙O的半径为10，若OP＝8，则经过点P的弦长可能是（　　）

A．10 B．6 C．19 D．22
8．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（　　）

A．8 B．10 C．11 D．12
9．已知A（3，n）、B（m，n+1）是抛物线y＝ax2+4ax+c（a＜0）上两点，则m的值不可能是（　　）
A．2 B．0 C．﹣6 D．﹣9
10．如图：已知点A（﹣8，0），B（2，0），点C在直线y＝﹣x+2上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣3图象的顶点坐标为 　 　．
12．若圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积是 　 　．
13．一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 　 　米．
14．如图，直角坐标系中一条圆弧经过A（0，4），B（4，4），C（6，2）三个网格点，已知点D为x轴正半轴上的一点，若直线CD与该圆弧相切，则点D的坐标为 　 　．

15．在平面直角坐标系中，点A的坐标（﹣1，0），点B的坐标（4，0）．已知：抛物线y＝x2﹣2x+n与线段AB有唯一公共点，则n可以取 　 　（写出所有正确结论的序号）．
①n＝1；
②n＝2；
③n≤﹣8；
④﹣8≤n＜﹣3；
⑤﹣8≤n≤﹣3
16．如图：⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，
（1）求∠C的度数是 　 　．
（2）求△ABC的最大面积是 　 　．

三．解答题（本大题共9小题，共86分）
17．计算：．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+4x﹣3与x轴交于A、B两点，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上第一象限内的一点，直线BP与y轴交于点C．
（1）求a的值．
（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标．
（3）连接AP，设点P的横坐标为m，△ABP的面积为S．当1＜m＜时，直接写出S的取值范围．

19．如图：现有一架长4m的梯子AB斜靠在墙面上，要想使人安全地攀上梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°．
（1）当梯子与地面夹角为60°时，求这架梯子底端A与墙角C的距离；
（2）若将梯子底端沿CA方向滑动1m到点A′处，此时能否安全使用这架梯子？如果能，请说明理由．如果不能，也请说明理由．

20．作图题：如图：在矩形ABCD中，已知AD＝10，AB＝6，
（1）用直尺和圆规在AD上找一点E，使EC平分∠BED，（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求△CDE内切圆半径r的值．

21．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，E为上一点，连接AE、BE，BE交AC于点F，且∠AFE＝∠EAB．
（1）试说明E为的中点；
（2）若点E到弦AD的距离为1，cos∠C＝，求AD的值．

22．如今很多初中生喜欢购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A．白开水，B．瓶装矿泉水，C．碳酸饮料，D．非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题

（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图；
（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如下表），则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？
饮品名称
白开水
瓶装矿泉水
碳酸饮料
非碳酸饮料
平均价格（元/瓶）
0
2
3
4
（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的5名班委干部（其中有两位班长记为A，B，其余三位记为C，D，E）中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率．
23．已知：△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．

（1）如图1，若AE＝DE，求证BD＝AD；
（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．

24．已知：四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD、AC相交于点E，AB＝AC．

（1）如图1，求证：2∠ADB+∠CDB＝180°；
（2）如图2，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，当∠DBC＝45°时，求证：CE＝CG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AO并延长交BD于点H，当AE＝CE＝3时，求CD的长．

25．已知抛物线的顶点为A，点M（m，n）为第三象限抛物线上的一点，过M点作直线MB，MC交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），MC交y轴于D点，连接BC．
（1）当B，C两点在x轴上，且△ABC为等腰直角三角形时，求c的值；
（2）当BC经过O点，MC经过OA的中点D，且OC＝2OB时，设直线BM交y轴于E点，求证：M为BE的中点；
（3）若△MBC的内心在直线x＝m上，设BC的中点为N，直线l1经过N点且垂直于x轴，直线l2经过M，A两点，记l1与l2的交点为P，求证P点在一条新抛物线上，并求这条抛物线的解析式．


参考答案
一．选择题（只有一个正确答案，本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则cosA的值等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据余弦的定义，角的邻边与斜边的比值，就可以求出．
解：cosA＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查对三角函数的定义的记忆．
2．若正多边形的中心角为72°，则该正多边形的边数为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【分析】根据正多边形的中心角＝，求出n即可．
解：由题意，＝72°，
∴n＝5，
故选：D．
【点评】本题考查正多边形的中心角知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．下列说法中不正确的是（　　）
A．想了解某种饮料中含色素的情况，宜抽样调查
B．“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件
C．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是随机事件
D．一组数据 6，7，8，9，10 的方差是3
【分析】根据事件发生的可能性大小、方差公式判断即可．
解：A、想了解某种饮料中含色素的情况，宜抽样调查，本选项说法正确，不符合题意；
B、“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，本选项说法正确，不符合题意；
C、“打开电视，正在播放《新闻联播》”是随机事件，本选项说法正确，不符合题意；
D、数据 6，7，8，9，10 的平均数＝（6+7+8+9+10）＝6，
方差S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2，本选项说法不正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．函数y＝kx2﹣4x+4的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k≤1 D．k≤1且k≠0
【分析】分为两种情况：①当k≠0时，求出Δ＝b2﹣4ac＝﹣16k+16≥0的解集即可；②当k＝0时，得到一次函数y＝﹣4x+4，与x轴有交点；即可得到答案
解：①当k≠0时，kx2﹣4x+4＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4k×4＝﹣16k+16≥0，
k≤1；
②当k＝0时，y＝﹣4x+4，与x轴有交点．
综上所述，k的取值范围是k≤1．
故选：C．
【点评】本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键．
5．如图：在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若四边形BCED的面积是3cm2，则△ADE的面积是（　　）

A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2
【分析】由于D、E是AB、AC的中点，因此DE是△ABC的中位线，由此可得△ADE和△ABC相似，且相似比为1：2；根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ADE的面积．
解：∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，AD＝AB，AE＝AC，
即＝＝＝，
∴△ADE∽△ABC，相似比为，
故S△ADE：S△ABC＝1：4，
即四边形BCED的面积＝S△ABC＝3cm2，
∴S△ABC＝4cm2，
∴△ADE的面积＝1cm2．
故选：A．
【点评】本题主要考查对相似三角形性质及三角形的中位线定理的理解．
6．五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（　　）
A．只有平均数 B．只有中位数
C．只有众数 D．中位数和众数
【分析】根据中位数和众数的概念做出判断即可．
解：根据题意知，追加前5个数据的中位数是5，众数是5，
追加后5个数据的中位数是5，众数为5，
∵数据追加后平均数会变大，
∴集中趋势相同的只有中位数和众数，
故选：D．
【点评】本题主要考查平均数、中位数和众数的知识，熟练掌握平均数、中位数和众数的基本概念是解题的关键．
7．如图，⊙O的半径为10，若OP＝8，则经过点P的弦长可能是（　　）

A．10 B．6 C．19 D．22
【分析】过点P作弦CE⊥OP，连接OC，根据勾股定理求出CP，根据垂径定理求出CE，判断即可．
解：过点P作弦CE⊥OP，连接OC，
由勾股定理得，CP＝＝6，
则CE＝2CP＝12，
∴过点P的最短的弦长为12，
∵⊙O的半径为10，
∴⊙O的直径为20，即过点P的最长的弦长为20，
∴12＜点P的弦长＜20，
故选：C．

【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
8．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（　　）

A．8 B．10 C．11 D．12
【分析】作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE＝∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE＝BF＝6，再利用勾股定理，继而求得答案．
解：作直径CF，连接BF，如图，
则∠FBC＝90°，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
而∠BAC+∠BAF＝180°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴＝，
∴DE＝BF＝6，
∴BC＝＝8．
解法二：如图，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N．

∵AM⊥BC，AN⊥DE，
∴CM＝MB，DN＝NE＝3，
∵AC＝AB＝AD＝AE，
∴∠BAC＝2∠MAC，∠EAD＝2∠DAN，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
∴2∠CAM+2∠DAN＝180°，
∴∠CAM+∠DAN＝90°，
∵∠ACM+∠CAM＝90°，
∴∠ACM＝∠DAN，
∵∠AMC＝∠AND＝90°，
∴△AMC≌△DNA（AAS），
∴AM＝DN＝3，
∴CM＝＝＝4，
∴BC＝2CM＝8．
故选：A．

【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线的性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法．
9．已知A（3，n）、B（m，n+1）是抛物线y＝ax2+4ax+c（a＜0）上两点，则m的值不可能是（　　）
A．2 B．0 C．﹣6 D．﹣9
【分析】求得抛物线的对称轴，开口向下，在对称轴左边函数y随x的增大而减小，在对称轴的右边函数y随x的增大而增大，即可判断．
解：∵y＝ax2+4ax+c（a＜0）的对称轴为x＝﹣＝﹣2，开口向下，
∴在对称轴的右边函数y随x的增大而减小，
∵3＞﹣2，
∴﹣2＜m＜3，
∵A（3，n）关于对称轴的对称点为（﹣7，n），
在对称轴的左边函数y随x的增大而增大，
∴﹣7＜m＜﹣2，
故m不可能为﹣9，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，判断函数的增减性；利用抛物线上点的横坐标大小比较纵坐标的大小．
10．如图：已知点A（﹣8，0），B（2，0），点C在直线y＝﹣x+2上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据∠A为直角，∠B为直角与∠C为直角三种情况进行分析．
解：如图，

①当∠A为直角时，过点A作垂线与直线的交点W（﹣6，4），
②当∠B为直角时，过点B作垂线与直线的交点S（2，），
③若∠C为直角，
则点C在以线段AB为直径、AB中点E（﹣2，0）为圆心、4为半径的圆与直线的交点上．
在直线中，当x＝0时y＝2，即Q（0，2），
当y＝0时x＝6，即点P（6，0），
则PQ＝＝4，
过AB中点E（﹣2，0），作EF⊥直线l于点F，
则∠EFP＝∠QOP＝90°，
∵∠EPF＝∠QPO，
∴△EFP∽△QOP，
∴＝，即＝，
解得：EF＝4，
∴以线段AB为直径、E（﹣2，0）为圆心的圆与直线恰好有一个交点．
所以直线上有一点C满足∠ACB＝90°．
综上所述，使△ABC是直角三角形的点C的个数为3，
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数综合题，在解答此题时要分三种情况进行讨论，关键是根据圆周角定理判断∠C为直角的情况是否存在．
二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣3图象的顶点坐标为 　（1，﹣3）　．
【分析】根据二次函数顶点式求解．
解：∵二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），
故答案为：（1，﹣3）．
【点评】本题考查二次函数的性质，顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h，此题考查了学生的应用能力．
12．若圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积是 　12π　．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
解：圆锥的侧面积＝2π×3×4÷2＝12π．
故答案为：12π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
13．一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 　10　米．
【分析】设上升的高度为x米，根据坡度的概念得到水平距离为7x米，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
解：设上升的高度为x米，
∵上山直道的坡度为1：7，
∴水平距离为7x米，
由勾股定理得：x2+（7x）2＝1002，
解得：x1＝10，x2＝﹣10（舍去），
故答案为：10．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
14．如图，直角坐标系中一条圆弧经过A（0，4），B（4，4），C（6，2）三个网格点，已知点D为x轴正半轴上的一点，若直线CD与该圆弧相切，则点D的坐标为 　（7，0）　．

【分析】由A、B、C三点坐标可先确定出圆弧所在圆的圆心M的坐标，设D（x，0），则可表示出MC、DC和MD的长，由勾股定理可得到关于x的方程，可求得D点坐标．
解：设圆弧所在圆的圆心为M，
作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心M（2，0），
设D（x，0），由题意可知MD2＝（x﹣2）2，MC2＝（6﹣2）2+（2﹣0）2＝20，CD2＝（x﹣6）2+22＝x2﹣12x+40，
∵CD与圆相切，
∴MC⊥CD，
∴MC2+DC2＝MD2，即20+x2﹣12x+40＝（x﹣2）2，解得x＝7，
∴D（7，0），
故答案为：（7，0）．

【点评】本题主要考查垂径定理和切线的性质，利用点的坐标确定出圆心坐标是解题的关键．
15．在平面直角坐标系中，点A的坐标（﹣1，0），点B的坐标（4，0）．已知：抛物线y＝x2﹣2x+n与线段AB有唯一公共点，则n可以取 　①④　（写出所有正确结论的序号）．
①n＝1；
②n＝2；
③n≤﹣8；
④﹣8≤n＜﹣3；
⑤﹣8≤n≤﹣3
【分析】当该抛物线与线段AB有公共点时，与x轴的交点分别介于A，B之间，于是得到结论．
解：二次函数关于直线x＝1对称，x轴上的（﹣1，0）和（3，0）关于对称轴对称．要满足一个交点的话，这个交点的横坐标只能3＜x≤4．
由题意：，
解得﹣8≤n＜﹣3．
若二次函数的顶点在AB上时，Δ＝4﹣4n＝0，
∴n＝1，
故答案为：①④．
【点评】本题考查了函数图象与系数的关系，利用图象与x轴的交点在线段AB上得出不等式组是解题关键．
16．如图：⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，
（1）求∠C的度数是 　60°　．
（2）求△ABC的最大面积是 　　．

【分析】（1）连接OA、OB，如图1，由OA＝OB＝AB＝1可判断△OAB为等边三角形，则∠AOB＝60°，根据圆周角定理得∠APB＝∠AOB＝30°，由于AC⊥AP，所以∠C＝60°；
（2）因为AB＝1，则要使△ABC的最大面积，点C到AB的距离要最大；由∠ACB＝60°，可根据圆周角定理判断点C在⊙D上，且∠ADB＝120°，如图2，于是当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，从而得到△ABC的最大面积．
解：（1）连接OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，

∵OA＝OB＝1，AB＝1，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠APB＝∠AOB＝30°，
∵AC⊥AP，
∴∠C＝60°；
（2）∵AB＝1，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，
∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，
∴∠ADB＝120°，
如图2，

当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，
∴△ABC的最大面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判断与性质；记住等边三角形的面积公式．
三．解答题（本大题共9小题，共86分）
17．计算：．
【分析】分别进行绝对值、零指数幂及负整数指数幂的运算，然后代入特殊角的三角函数值，最后合并即可．
解：原式＝﹣1+﹣1+
＝﹣1．
【点评】本题考查了实数的运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+4x﹣3与x轴交于A、B两点，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上第一象限内的一点，直线BP与y轴交于点C．
（1）求a的值．
（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标．
（3）连接AP，设点P的横坐标为m，△ABP的面积为S．当1＜m＜时，直接写出S的取值范围．

【分析】（1）把B（3，0）代入y＝ax2+4x﹣3，列方程求a的值；
（2）过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥CO，由平行线分线段成比例定理求出点D的坐标，即得到点P的横坐标，再由二次函数的关系式求出点P的纵坐标；
（3）过点P作PD⊥x轴于点D，用含m的代数式表示点P的坐标，由二次函数的关系式可以求出点A、B的坐标及线段AB的长，将△ABP的面积即S用含m的代数表示即得到S关于m的二次函数，再由二次函数的性质求出S的取值范围．
解：（1）把B（3，0）代入y＝ax2+4x﹣3，
得9a+12﹣3＝0，解得a＝﹣1．
（2）如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，
∵CO⊥OB，
∴PD∥CO．
∴．
∵P是BC的中点，
∴＝1，
∴＝1，
∴OD＝BD＝OB＝．
∴D（，0），
∴点P的横坐标为；
由（1）得，抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3，
当x＝时，，
∴点P的坐标为（）．
（3）如图3，作PD⊥x轴于点D，则P（m，﹣m2+4m﹣3），
当y＝0时，由﹣x2+4x﹣3＝0，得x1＝1，x2＝3，
∴AB＝3﹣1＝2；
∵点P在第一象限的抛物线上，
PD＝﹣m2+4m﹣3，
∵S＝S△ABP＝AB•PD，
∴S＝×2（﹣m2+4m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3，
∵S＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1，且1＜m＜，
∴当m＝2时，S最大＝1，
若m＝1，则S＝0，
∴S的取值范围是0＜S≤1．


【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、平行线分线段成比例定理、解一元二次方程等知识与方法，解第（3）题的关键是过点P作x轴的垂线，将点P的纵坐标用二次函数的关系式来表示，从而得出S关于m的函数关系式，再由二次函数的性质求出S的取值范围．
19．如图：现有一架长4m的梯子AB斜靠在墙面上，要想使人安全地攀上梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°．
（1）当梯子与地面夹角为60°时，求这架梯子底端A与墙角C的距离；
（2）若将梯子底端沿CA方向滑动1m到点A′处，此时能否安全使用这架梯子？如果能，请说明理由．如果不能，也请说明理由．

【分析】（1）根据锐角三角函数关系求出AC的长即可；
（2）利用锐角三角函数关系得出α的余弦值，进而得出α度数，即可得出答案．
解：（1）∵∠BAC＝60°，∠C＝90°，AB＝4m，
∴cos∠BAC＝，
∴AC＝AB•cos60°＝4×＝2（m），
即这架梯子底端A与墙角C的距离为2m；
（2）不能够安全地使用这个梯子，理由：
根据题意得：A'C＝1m+2m＝3m，
即梯子的底端距离墙面3m，
∴cosα＝＝0.75，
∴∠α≈41°，
∵梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°．
∴此时不能够安全地使用这个梯子．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
20．作图题：如图：在矩形ABCD中，已知AD＝10，AB＝6，
（1）用直尺和圆规在AD上找一点E，使EC平分∠BED，（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求△CDE内切圆半径r的值．

【分析】（1）以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E即可；
（2）根据勾股定理求出AE，CE的长，然后利用三角形内切圆的性质列式计算即可．
解：（1）如图，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E，点E即为所求；

（2）由（1）可得：BC＝BE＝AD＝10，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝＝8，
∴DE＝10﹣8＝2，
在△CDE中，∠D＝90°，CD＝AB＝6，DE＝2，
∴CE＝＝2，
∵△CDE内切圆半径为r，
∴2﹣r+6﹣r＝2，
∴r＝4﹣．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质．
21．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，E为上一点，连接AE、BE，BE交AC于点F，且∠AFE＝∠EAB．
（1）试说明E为的中点；
（2）若点E到弦AD的距离为1，cos∠C＝，求AD的值．

【分析】（1）根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，根据直角三角形的性质得到∠ABE＝∠EAD，＝，证明结论；
（2）连接OE交AD于H，根据垂径定理得到AH＝DH＝AD，根据余弦的定义求出OA、OH，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB+∠ABE＝90°，∠AFE+∠EAD＝90°，
∵∠AFE＝∠EAB，
∴∠ABE＝∠EAD，
∴＝，
∴点E是的中点；
（2）解：如图，连接OE交AD于H，
∵点E是的中点，
∴OH⊥AD，
∴AH＝DH＝AD，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∴∠AOH＝∠C，
∴cos∠AOH＝＝，
设⊙O的半径为x，则OH＝x﹣1，
∴＝，
解得：x＝，
∴OH＝﹣1＝，
∴AH＝＝＝2，
∴AD＝2AH＝4．

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
22．如今很多初中生喜欢购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A．白开水，B．瓶装矿泉水，C．碳酸饮料，D．非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题

（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图；
（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如下表），则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？
饮品名称
白开水
瓶装矿泉水
碳酸饮料
非碳酸饮料
平均价格（元/瓶）
0
2
3
4
（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的5名班委干部（其中有两位班长记为A，B，其余三位记为C，D，E）中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率．
【分析】（1）由B饮品的人数及其所占百分比可得总人数，再根据各饮品的人数之和等于总人数求出C的人数即可补全图形；
（2）根据加权平均数的定义计算可得；
（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式计算可得．
解：（1）这个班级的学生人数为15÷30%＝50（人），
选择C饮品的人数为50﹣（10+15+5）＝20（人），
补全图形如下：


（2）＝2.2（元），
答：该班同学每天用于饮品的人均花费是2.2元；

（3）画树状图如下：

由树状图知共有20种等可能结果，其中恰好抽到2名班长的有2种结果，
所以恰好抽到2名班长的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．已知：△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．

（1）如图1，若AE＝DE，求证BD＝AD；
（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．

【分析】（1）证明∠ACD＝∠CAE＝22.5°，如图1中，过点D作DT⊥BC于T．证明DA＝DT，BD＝DT即可解决问题；
（2）如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．证明△ABE≌△CAT（AAS）可得结论．
解：（1）∵AE＝DE，
∴∠ADE＝∠DAE，
∵∠CAD＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠ACD，
∴EA＝EC，
∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，
∴∠ACD＝22.5°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACD＝22.5°，
∴CD平分∠ACB，
如图1中，过点D作DT⊥BC于T．

∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，
∴DA＝DT，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝45°，
∴BD＝DT＝AD；
（2）如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．

∵AE⊥BE，CT⊥AT，
∴∠AEB＝∠T＝∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，
∴∠ABE＝∠CAT，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△CAT（AAS），
∴AE＝CT，BE＝AT，
∵∠AED＝∠CET＝45°，∠T＝90°，
∴ET＝CT＝AE，
∴BE＝2AE，
∴tan∠ABE＝＝．
【点评】本题考查解直角三角形，角平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
24．已知：四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD、AC相交于点E，AB＝AC．

（1）如图1，求证：2∠ADB+∠CDB＝180°；
（2）如图2，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，当∠DBC＝45°时，求证：CE＝CG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AO并延长交BD于点H，当AE＝CE＝3时，求CD的长．

【分析】（1）根据圆周角定理，将2∠ADB+∠CDB转化为△ABC的内角和即可；
（2）过点C作CN⊥DB交BD于点N，交⊙O于点M，利用ASA证明△CEN≌△CGN，从而证明结论；
（3）连接AP，OE，CH，延长AO交BC于Q，过O作OM⊥AB于M，先证AQ⊥BC，再证EH＝GH，在DE上取EP＝EH，则四边形APCH为▱APCH，求得PE＝HE＝3，由△CDE∽△BAE，即可求得CD的值．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ADB＝∠ABC，
∵∠ADC＝∠CDB+∠ADB，
∴∠ADC+∠ABC＝∠CDB+∠ADB+∠ADB＝∠CDB+2∠ADB＝180°，
∴2∠ADB+∠CDB＝180°；
（2）证明：过点C作CN⊥DB交BD于点N，交⊙O于点M，

∵∠DBC＝45°，
∴∠MCB＝180°﹣∠CNB﹣∠DBC＝45°，
∴∠MCB＝∠DBC＝45°，
∴，
∵AB＝AC，
∴，
∴，
∴∠ACM＝∠DBA，
∵∠CNG＝∠GFB，∠NGC＝∠FGB，
∴∠NCG＝180°﹣∠CNG﹣∠NGC＝180°﹣∠GFB﹣∠FGB＝∠GBF＝∠ECN，
在△CEN与△CGN中，
，
∴△CEN≌△CGN（ASA），
∴CE＝CG；
（3）解：如图，连接AP，OE，CH，延长AO交BC于Q，过O作OM⊥AB于M，

∵E为AC的中点，
∴OE⊥AC，
∵AB＝AC，
∴OE＝OM，
∴AQ平分∠CAB，
∴AQ⊥BC，
∵CQ＝BQ，点H在AQ上，
∴CH＝BH，
∵∠DBC＝45°，
∴∠HCB＝∠DBC＝45°，
∴∠CHB＝180°﹣∠HCB﹣∠DBC＝90°，
∴CH⊥BD，
∵CE＝CG，
∴EH＝GH，
在DE上取EP＝EH，
则四边形APCH为▱APCH，
∴AP∥CH，AP＝CH，∠APH＝90°，
∵∠AHP＝∠BHQ＝45°，
∴AP＝PH＝2PE＝2x，AH＝PH＝2x，
∵AH2﹣PH2＝AE2﹣PE2，
∴8x2﹣4x2＝（3）2﹣x2，
解得：x＝3，
∴PE＝HE＝3，
∴AP＝PH＝CH＝BH＝6，BE＝9，
在Rt△ABQ中，
∵BQ＝3，AQ＝6+3＝9，
∴AB＝6，
∵弦AC与BD相交于E，
∴△CDE∽△BAE，
∴＝，
∴CD＝＝＝10．
【点评】本题考查圆的综合应用，掌握圆的相关性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
25．已知抛物线的顶点为A，点M（m，n）为第三象限抛物线上的一点，过M点作直线MB，MC交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），MC交y轴于D点，连接BC．
（1）当B，C两点在x轴上，且△ABC为等腰直角三角形时，求c的值；
（2）当BC经过O点，MC经过OA的中点D，且OC＝2OB时，设直线BM交y轴于E点，求证：M为BE的中点；
（3）若△MBC的内心在直线x＝m上，设BC的中点为N，直线l1经过N点且垂直于x轴，直线l2经过M，A两点，记l1与l2的交点为P，求证P点在一条新抛物线上，并求这条抛物线的解析式．
【分析】（1）令得，再由△ABC为等腰直角三角形得．解出c即可；
（2）设B点坐标为，由OC＝2OB得直线BC的解析式．再由得，，再由D为OA的中点得直线MC的解析式为，再和抛物线联立即可求得或，即可证得M为BE的中点；
（3）过点B作BG⊥直线x＝m于点G，过点C作CH⊥直线x＝m于点H，设，，由△MBC的内心在直线x＝m上可证△BMG∽△CMH，．由此可得得x1+x2＝﹣2m，从而直线l1的解析式为x＝﹣m．再求直线MA的解析式，将x＝﹣m代入直线MA的解析式，得，即可证得证P点在一条新抛物线上．
【解答】（1）解：令，解得．
∴．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OB＝OC＝OA＝c，
∴．
解得c1＝0（舍去），c2＝2，
∴c＝2；

（2）证明：如图，设B点坐标为，

∵OC＝2OB，
∴，
设直线BC的解析式为y＝kx，将点B代入，得，
∴
∴．
将点代入，
得，
整理得，
∴（正值已舍），
∴，．
∵D为OA的中点，
∴D点坐标为，
则直线MC的解析式可设为，
将点代入，解得，
∴直线MC的解析式为，
由，得，
解得或，
∴，
即M为BE的中点；

（3）证明：如图，过点B作BG⊥直线x＝m于点G，过点C作CH⊥直线x＝m于点H，

设，，
∵△MBC的内心在直线x＝m上，
∴∠BMG＝∠CMH，
∴△BMG∽△CMH．
∴，
则有，
得x1+x2＝﹣2m，
∴直线l1的解析式为x＝﹣m．
设直线MA的解析式为y＝k2x﹣c，
将代入，得，
解得，
∴直线MA的解析式为．
将x＝﹣m代入直线MA的解析式，得，
∴P点在新抛物线上．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、待定系数法、求两函数交点坐标、内心的概念、相似三角形的判定与性质，解决此题的关键是求得或以及过点B作BG⊥直线x＝m于点G，过点C作CH⊥直线x＝m于点H，构造△BMG∽△CMH．