福建省福州杨桥中学2022-2023学年九年级下学期期中考数学试卷

这是一份福建省福州杨桥中学2022-2023学年九年级下学期期中考数学试卷，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

福建省福州杨桥中学2022-2023学年九年级下学期期中考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列各数中比小的数是（  ）
A． B． C． D．
2．长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心将神舟十三号送入近地点高度200000m，远地点高度356000m的近地轨道．其中数字356000用科学记数法表示为（    ）
A．35.6×104 B．3.56×105 C．3.56×106 D．0.356×106
3．下列四个几何体中，主视图是三角形的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算结果正确的是（    ）
A． B．
C． D．
5．下列说法正确的是（    ）
A．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式
B．某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖
C．从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是
D．某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人
6．实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（    ）

A．2 B．-1 C．-2 D．-3
7．如图，已知，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（    ）

A．10° B．20° C．30° D．40°
8．如图，为直径，点A，D在上，，若，则的半径长度为（    ）

A．6 B．4 C．2 D．1
9．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（    ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是，，点是边的中点，连接，，．则下列结论错误的是（    ）

A． B．，
C． D．

二、填空题
11．不等式的解集为________．
12．若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为________．
13．圆锥的底面半径为4，母线长为5．则这个圆锥的侧面积为______．
14．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，则的值为_______．
15．如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则的度数为______°．

16．在平面直角坐标系中，已知点P，Q的坐标分别为，，抛物线也在该平面直角坐标系中．若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是______．

三、解答题
17．计算：
18．已知：如图，点A，F，C，D在同一直线上，，，，
求证：．

19．先化简，再求值：，其中．
20．某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？

21．如图，已知四边形是矩形，为对角线．

(1)把绕点C顺时针旋转一定角度得到，点A的对应点为E，且在的延长线上，点B的对应点为F，请你在图中作出．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，求旋转角的大小．
22．小李是社区宣传干事，为宣传节约用水，他随机调查了某小区部分家庭6月份的用水情况，并将收集的数据整理成如下的统计图．

(1)小李调查了______户家庭；
(2)所调查家庭6月份用水量的众数为______吨，中位数为______吨；
(3)若该小区有300户居民，请根据抽样调查的样本平均数估计出这个小区6月份的用水量是多少吨？
23．如图，为⊙O的直径，过点的切线与弦的延长线交于点，为半径，于点，连接．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
24．（1）如图1，在中，，平分，交于点，，交于点．
①求证：；
②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（2）如图2，和是的2个外角，，平分，交
的延长线于点D，，交的延长线于点E．记的面积为，的面积为，的面积为．若，求的值．

25．已知：经过点，．
(1)求函数解析式；
(2)平移抛物线使得新顶点为（m＞0）．
①倘若，且在的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围；
②在原抛物线上，新抛物线与轴交于，时，求点坐标．

参考答案：
1．A
【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比-2小的数是-3．
【详解】∵|-3|=3，|-1|=1，
又0＜1＜2＜3，
∴-3＜-2，
所以，所给出的四个数中比-2小的数是-3，
故选：A
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．
2．B
【分析】根据科学记数法的定义，计算求值即可；
【详解】解：356000=3．56×105，
故选： B．
【点睛】本题考查了科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．
3．C
【分析】直接根据三视图中主视图的定义即可判断．
【详解】根据几何体三视图中主视图的定义；
正方体的主视图是矩形，不符合题意；
圆柱体的主视图是矩形，不符合题意；
圆锥的主视图是三角形，符合题意；
B、球的主视图是圆，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了几何体的三视图的主视图，解题的关键是：掌握三视图中主视图的定义，是由正面往后看．
4．C
【分析】逐一分析各选项，利用对应法则进行计算即可判断出正确选项．
【详解】解：A选项中：，因此错误；
B选项中：，因此错误;
C选项中：，因此正确；
D选项中：，因此错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、平方差公式、乘方的运算性质等内容，解决本题的关键是牢记相关运算法则和公式即可．
5．D
【分析】根据普查的特点，得出了解我国中学生课外阅读情况应采取抽样调查；由于中奖的概率是等可能的，则买100张可能会中奖，可能不会中奖；共有7个小球，其中3个红球，抽到红球的概率为；根据计算公式列出算式，即可求出答案．
【详解】解：A、根据普查的特点，普查适合人数较少，调查范围较小的情况，而了解我国中学生课外阅读情况，人数较多，范围较广，应采取抽样调查，选项说法错误，不符合题意；
B、由于中奖的概率是等可能的，则买100张可能会中奖，可能不会中奖，选项说法错误，不符合题意；
C、共有7个小球，其中3个红球，抽到红球的概率为，选项说法错误，不符合题意；
D、根据计算公式该项人数等于该项所占百分比乘以总人数，列出算式，求出结果为1360人，选项说法正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了普查与抽样调查的区别、概率发生的可能性、求随机事件的概率与求某项的人数，关键在于熟悉普查的适用范围是调查对象的个体数很少，没有破坏性，要求结果准确，同时会根据等可能事件的概率公式求解，进行判断．
6．B
【分析】先根据数轴的定义得出a的取值范围，从而可得出b的取值范围，由此即可得．
【详解】解：由数轴的定义得：


又
到原点的距离一定小于2
观察四个选项，只有选项B符合
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴的定义，熟记并灵活运用数轴的定义是解题关键．
7．C
【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可；
【详解】解：∵∠C+∠D＝∠AEC，
∴∠D=∠AEC-∠C＝50°-20°=30°，
∵，
∴∠A＝∠D=30°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
8．C
【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，即可得出为等边三角形，从而求得的半径长度为2．
【详解】解：如图，连接，

∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了圆周角定理，圆的内接四边形，熟记圆周角定理是解题的关键．
9．B
【分析】根据题意，先令在相同时间内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度，走路慢的人的速度，再根据题意设未知数，列方程即可
【详解】解：令在相同时间内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度，走路慢的人的速度，
设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可得，
根据题意可列出的方程是，
故选：B．
【点睛】本题考查应用一元一次方程解决数学史问题，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键．
10．D
【分析】根据旋转的性质可判断A；根据直角三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的判定方法可判断B；根据平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质可判断C；利用等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质可判断D．
【详解】A．∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE=BC，故A正确；
B．∵点F是边AC中点，
∴CF=BF=AF=AC，
∵∠BCA=30°，
∴BA=AC，
∴BF=AB=AF=CF，
∴∠FCB=∠FBC=30°，
延长BF交CE于点H，则∠BHE=∠HBC+∠BCH=90°，

∴∠BHE=∠DEC=90°，
∴BF//ED，
∵AB=DE，
∴BF=DE，故B正确．
C．∵BF∥ED，BF=DE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BC=BE=DF，
∵AB=CF， BC=DF，AC=CD，
∴△ABC≌△CFD，
∴，故C正确；
D．∵∠ACB=30°， ∠BCE=60°，
∴∠FCG=30°，
∴FG=CG，
∴CG=2FG．
∵∠DCE=∠CDG=30°，
∴DG=CG，
∴DG=2FG．故D错误．
故选D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角边等于斜边的一半，以及平行四边形的判定与性质等知识，综合性较强，正确理解旋转性质是解题的关键．
11．
【分析】移项合并、化系数为1即可求出不等式的解集．
【详解】解：，
移项合并得：，
化系数为1得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
12．
【分析】利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：从甲、乙、丙3位同学中随机选取1人进行在线辅导功课共有3种等可能结果，其中甲被选中的只有1种可能，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
13．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【详解】解：该圆锥的侧面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算．掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，是解题的关键．
14．0
【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.
【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称，
∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，
∴，
故答案为：0.
【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题.
15．144
【分析】依据正五边形以及正方形的内角的度数进行计算，即可得出结论．
【详解】解：由题意可得：
正五边形的每个内角为：，正方形的内角为，
即：，，
则，

同理可得：，
∴，即：的度数为，
故答案为：144．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角，关键是掌握正五边形以及正方形的内角的度数．
16．
【分析】首先利用待定系数法求得直线的解析式，再与抛物线联立方程，判断时，求得，当时，抛物线对称轴为，画出草图，抛物线过定点，当经过点时，代入点得，解得，由于越大，开口越小，可得的取值范围为．
【详解】解：设直线为，
将点，代入得，解得，
∴直线：，
抛物线与直线有两个交点，即方程有两个不同的解，
化简得：，
∴，
解得，
当时，抛物线对称轴为，如图，

当，，即：抛物线过定点，
当经过点时，
代入点得，
解得，
由于越大，开口越小，
故的取值范围．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，解题关键是利用待定系数法联立方程，判断进而得出的取值范围，解题关键是数形结合．
17．5
【分析】分别计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，再合并即可得到答案．
【详解】解：原式=


【点睛】本题考查的是负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，以及合并同类二次根式，掌握以上的知识是解题的关键．
18．见解析
【分析】由全等三角形的性质判定，则对应角，故证得结论．
【详解】解：证明：，
，
，则，
．
在与中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
19．，
【分析】先计算括号内的，再计算除法，然后把代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：原式

，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．（1）；（2）这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．
【分析】（1）分段函数，利用待定系数法解答即可；
（2）利用（1）的结论，把y＝80代入求出x的值即可解答．
【详解】解：（1）当0≤x≤15时，设y＝kx（k≠0），
∵y＝kx（k≠0）的图象过（15，20），
则：20＝15k，
解得k＝，
∴y＝；
当15＜x≤60时，设y＝k′x+b（k≠0），
∵y＝k′x+b（k≠0）的图象过（15，20），（60，170），
则：，
解得，
∴y＝，
∴；
（2）当y＝80时，80＝，解得x＝33，
33﹣15＝18（天），
∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量的值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用等腰三角形的三线合一的性质证明，再利用平行线的性质求出，可得结论．
【详解】（1）如图，即为所求；

（2）∵四边形是矩形，
∴，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，矩形的性质，等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22．(1)20
(2)4，4

(3)1350吨

【分析】（1）将不同用水量的户数相加即可求解；
（2）利用众数、中位数的定义求解；
（3）求出被调查用户的平均用水量，再乘以总户数即可求解．
【详解】（1）解：调查户数为：，
故答案为：20；
（2）解：观察统图可知，月用水量为4吨的用户最多，因此6月份用水量的众数为4吨，
按从小到大对20户家庭用水量排序，第10和第11位都是4吨，因此中位数是4吨，
故答案为：4，4；
（3）解：被调查用户的平均用水量为：（吨），
估计这个小区6月份的用水量为：（吨）．
【点睛】本题考查调查统计中样本数量、中位数、众数、平均数以及利用样本估计总体等，熟练掌握样本数量、中位数、众数、平均数等定义是解题的关键．
23．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）连接AE，根据圆周角定理得到∠AEC＝90°，根据切线的性质得到∠ACD＝90°，进而得到∠DCE＝∠CAE，根据圆周角定理得到∠COE＝2∠CAE，等量代换证明结论；
（2）根据垂径定理求出AH，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】（1）证明：连接AE，

∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，
∵CD为⊙O的切线，
∴∠ACD＝90°，
∴∠DCE+∠ACE＝90°，
∴∠DCE＝∠CAE，
∵∠COE＝2∠CAE，
∴∠COE＝2∠DCE；
（2）解：设圆的半径为r，则OH＝r﹣2，
∵OE⊥AB，AB＝8，
∴AH＝AB＝4，
在Rt△OAH中，OA2＝OH2+AH2，即r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
在Rt△AHE中，AE＝＝＝2，
∴CE＝＝＝4．
【点睛】本题考查的是切线的性质、垂径定理、勾股定理、圆周角定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）①根据角平分线的定义得到角相等即可得到解答；②由平行线分线段定理得到比例关系，再利用平行和角平分线即可得到是定值；
（2）根据比例关系，再利用相似三角形的判定与性质即可得到的值．
【详解】解：①∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
②是定值，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是定值，定值为．
（2）过点作于点，点作于点，过点作于点，
∴，，
∵的面积为，的面积为，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵的面积为，的面积为，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．

【点睛】本题考查了考查了角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，锐角三角形函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
25．(1)
(2)①k≥2
②P的坐标为（2，3）

【分析】（1）把，代入，求解即可；
（2）①由，得顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，由平移得抛物线向右平移了m个单位，根据，求得m=2，在的右侧，两抛物线都上升，根据抛物线的性质即可求出k取值范围；
②把P（m，n）代入，得n=，则P（m， ），从而求得新抛物线解析式为：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3，则Q(0，m2-3)，从而可求得BQ=m2，BP2=，PQ2=，即可得出BP=PQ，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，根据等腰三角形的性质可得BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°，再根据tan∠BPC= tan 60°=，即可求出m值，从而求出点P坐标．
【详解】（1）解：把，代入，得
，解得：，
∴函数解析式为：；
（2）解：①∵，
∴顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，
∵平移抛物线使得新顶点为（m＞0）．
∴抛物线向右平移了m个单位，
∴，
∴m=2，
∴平移抛物线对称轴为直线x=2，开口向上，
∵在的右侧，两抛物线都上升，
又∵原抛物线对称轴为y 轴，开口向上，
∴k≥2，
②把P（m，n）代入，得n=，
∴P（m， ）
根据题意，得新抛物线解析式为：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3，
∴Q(0，m2-3)，
∵B（0，-3），
∴BQ=m2，BP2=，
PQ2=，
∴BP=PQ，
如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，

∵BP=PQ，PC⊥BQ，
∴BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°，
∴tan∠BPC= tan 60°=，
解得：m=±2（舍去负数），
∴n==3，
故P的坐标为（2，3）.
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考常考试题目，难度一般．