2021-2022学年浙江省绍兴市柯桥区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年浙江省绍兴市柯桥区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    在实数范围内，要使代数式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    如果反比例函数的图象经过点，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    方程的解为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

4.    某中学为了提升学生的立定跳远成绩，在强化锻炼一个月后，学校对八年级全体同学进行测试，其中名男生测试成绩如表：

这名同学跳远成绩的中位数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.   把一个长方形的纸片按如甲乙图形对折两次，然后剪下图丙中的部分，为了得到一个锐角为的菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

6.   利用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设(    )

A. 四边形中至多有一个内角是钝角或直角 B. 四边形中所有内角都是锐角
C. 四边形的每一个内角都是钝角或直角 D. 四边形中所有内角都是直角

7.   如图，等腰三角形的顶点在原点固定，且始终有，当顶点在函数的图象上从上到下运动时，顶点在轴的正半轴上移动，则的面积大小变化情况是(    )

A. 先减小后增大 B. 先增大后减小 C. 一直不变 D. 先增大后不变

8.   在矩形中，将边翻折到对角线上，点落在点处，折痕交于点将边翻折到对角线上，点落在点处，折痕交于点，，则的长(    )

A.  B. 或  C.  D. 或

9.   将张宽为的小长方形按如图摆放在平行四边形中，则平行四边形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 在中，已知为直线上一点，若，，且，则与之间不可能存在的关系式是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

11. 设为正整数，且，则的值为______．
12. 一组数据：，，，，，，，，，其平均数是，则众数是___________．
13. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值是______ ，方程的另一个根是______ ．
14. 如图，矩形中，点、分别是、的中点，连接和，分别取、的中点、，连接，，，若，，则图中阴影部分的面积为______．

15. 若一个多边形的外角和比这个多边形的内角和小，则这个多边形的边数为______．
16. 已知一次函数与反比例函数中，与的对应值如下表：

则不等式的解集为______．

17. 如图，在平行四边形中，，延长到，使得，若，，则长为______．

18. 如图，平行于轴的直尺部分与反比例函数的图象交于，两点与轴交于，两点，连接，点，对应直尺上的刻度分别为，，直尺的宽度，，则点的坐标是______．

19. 如图，一个正方形内有三个相邻正方形的边长分别为、、，两端的两个正方形都有两个顶点在大正方形的边上且组成的图形为轴对称图形，则图中阴影部分的面积为______．

20. 在中，，，，以为边在外作等腰直角，连结则长为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

21. 化简：
    
    ．

四、解答题（本大题共6小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

22. 本小题分
    解下列方程：
    ；
    ．
23. 本小题分
    图，图，图，图是四张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为，，两点都在格点上，连结，请完成下列作图：
    
    以为对角线在图中作一个正方形，且正方形各顶点均在格点上．
    以为对角线在图中作一个矩形，使得矩形面积为，且矩形各顶点均在格点上．
    以为对角线在图和图中分别作出一个面积为的平行四边形不含矩形，且平行四边形顶点在格点上．
24. 本小题分
    如图，已知平行四边形的对角线、相交于点，且．
    求证：平行四边形是菱形；
    是上一点，连结交于点，且，求证：．

25. 本小题分
    年杭州要举办第届亚运会，为了迎接亚运会，某市中学生将举办射击比赛，阳光中学将从射击运动员晨晨，连连两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶次，为了比较两人的成绩，制作了如统计图表：两位选手射击成绩统计表

晨晨、连连射击成绩折线图．

参考公式：方差
请补全上述图表请直接在表中填空和补全折线图；
如果你是教练，你会推荐谁参加比赛，说明你的理由．

26. 本小题分
    为了有效预防和控制疫情，及时监测疫情发展态势，实施定期核酸检测．某社区准备搭建一个动态核酸检测点，现有米可移动的隔离带，搭围成如图的临时检测点，这是一个一面靠墙墙面为的矩形，内部分成两个区，区为登记区，区为检测区，入口通道在边上，两区通道在边上，出口通道在边上，通道宽均为米．
    若设，则可表示为______；
    问所围成矩形的面积能否达到平方米？如果能，求出的长；如果不能，说明理由；
    检测点使用一天后，发现检测点面积需要扩大，问现有的米隔离带，能否围出平方米的面积？如果能，请说明理由；如果不能，在搭围方法不变的情况下，则至少需要增加多少米隔离带，恰好能围成平方米？

27. 本小题分
    如图，在正方形中，，点为正方形的对角线上一动点，过点作交边于点．
    
    如图，当点在边上时，求证：；
    如图，在的条件下，连接交于点，若，求的长；
    如图，若点是射线上的一个动点，且始终满足，设，请直接写出的最小值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：要使代数式有意义，
则，
解得：，
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，
．
故选：．
根据给定点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出值，此题得解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征找出关于的一元一次方程是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
移项，得，
整理，得．
所以或．
所以，．
故选：．
先移项，然后对等式的左边进行因式分解，利用因式分解法解方程即可．
本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．
 

4.【答案】 

【解析】解：把这名同学跳远成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为，，故中位数是，
这组数据中出现次数最多，
所以这组数据的众数为，
故选：．
根据中位数和众数的定义，把名同学跳远成绩从小到大排列，排在第和两个数的平均数就是中位数，出现次数最多的数为众数．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．
 

5.【答案】 

【解析】解：为了得到一个锐角为的菱形，
菱形的内角度数为或，
根据菱形的对角线平分每一组对角得，或，
故选：．
根据翻折的性质和菱形的性质可得答案．
本题主要考查了剪纸问题，翻折的性质，菱形的性质等知识，熟练掌握菱形的对角线平分每一组对角是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中所有内角都是锐角．
故选：．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

7.【答案】 

【解析】解：等腰三角形的顶点在原点，顶点在轴的正半轴上，顶点在函数的图象上运动，且，设点的坐标为，
，
即的面积不变．
故选：．
根据三角形的面积是点的横坐标与纵坐标的乘积除以，和点在函数的图象上，可以解答本题．
本题考查反比例函数系数的几何意义，解题的关键是将反比例的系数与三角形的面积联系在一起．
 

8.【答案】 

【解析】解：当点在线段上时，如下图，

由折叠性质得，
，
，
；
当点点在线段上时，如下图，

由折叠性质得，
，
，
，
；
综上，或，
故选：．
分两种情况：点在线段时，点在线段上时，由折叠性质和线段和差分别求得，进而由勾股定理求得．
本题主要考查了矩形的性质，折叠性质，勾股定理，关键是由折叠性质求得的长度．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作于，过点作于，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，，
，，
四边形是矩形，
，
，
由图形可知：，，
，
平行四边形的面积，
故选：．
过点作于，过点作于，由图形可知，，则，即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：当点在线段上，

，，
，
，
，
，
，
即；
当点在线段的延长线上，

同理可得：；
当点在线段的延长线上，

同理可得：．
故选：．
分点在线段上，在延长线上，在延长线上讨论，根据外角和等于不相邻的两个内角和及三角形内角和定理可求与的等量关系式．
此题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形外角的性质．注意分类思想的应用是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了估算无理数的大小，得出是解题关键．首先得出，进而求出的取值范围，即可得出的值．
【解答】
解：，
，
，
，
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
根据平均数为求出的值，再由众数的定义可得出答案．
本题考查了众数及平均数的知识，解答本题的关键是掌握众数及平均数的定义．
【解答】
解：由题意得，，
解得：，
这组数据中出现的次数最多，则这组数据的众数为．
故答案为：．  

13.【答案】； 

【解析】解：是关于的一元二次方程的一个根，
，
，
将代入方程得，
解之得：或．
方程的另一根为，
故答案为：，．
由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出的值，然后解方程可以求出方程的另一根．
此题考查了一元二次方程的根的定义，把方程的根代入原方程就可以确定待定系数的值，然后解方程就可以求出方程的另一个根．
 

14.【答案】 

【解析】解：点、分别是、的中点，、分别为、的中点，
矩形绕中心旋转阴影部分恰好能够与空白部分重合，
阴影部分的面积等于空白部分的面积，
阴影部分的面积矩形的面积，
，，
阴影部分的面积，
故答案为：．
根据矩形的中心对称性判定阴影部分的面积等于空白部分的面积，从而得到阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的中心对称性，判断出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设这个多边形的边数为，
，
解得：．
故答案为：．
设这个多边形的边数为，根据题意列出方程，解方程即可．
本题考查了多边形的内角与外角，考查方程思想，掌握边形的内角和，外角和是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：由表可得一次函数与反比例函数图象交点坐标为和，如图，

所以当或时，一次函数的值小于反比例函数的值．
所以不等式的解集为或，
故答案为：或．
由表得出直线和双曲线的交点，画出直线和双曲线的大致图象，由知反比例函数图象在一次函数图象上方，结合图象可得答案．
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，给出相应的函数值，求自变量的取值范围应该从交点入手思考．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
在中，根据勾股定理得：，
故答案为：．
由平行四边形的性质得，，再根据勾股定理得，进而得，然后根据勾股定理即可求出的长．
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：直尺平行于轴，、对应直尺的刻度为、，且，
则的坐标为，则的坐标为
，
，
又，
，
，
，
的坐标为
故答案为：．
根据点、对应直尺上的刻度分别为、，，即可求得的坐标，的坐标，关键是根据面积列出关于的方程，求出，即可求得的坐标．
本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义；熟练运用几何图形的面积的和差计算不规则的图形的面积．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，

正方形内有三个相邻正方形的边长分别为、、，
，，，
根据题意得：，，
，，
，
正方形的面积，
图中阴影部分的面积；
故答案为：．
连接，由轴对称图形的性质得出，，得出，，求出的长，得出正方形的面积，由大正方形的面积减去三个小正方形的面积即可得出图中阴影部分的面积．
本题考查了正方形的性质、轴对称图形的性质、等腰直角三角形的性质、正方形面积的计算方法；熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线求出对角线是解决问题的关键．
 

20.【答案】或或 

【解析】解：如图，，
延长，过点作于点，

，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
根据勾股定理得：；
如图，，过点作，垂足为点．

，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
根据勾股定理得：；
如图，，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点．

，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
．
综合以上可得的长为或或．
故答案为：或或．
分三种情况画出图形，由全等三角形的性质及勾股定理可得出答案．
此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
 

21.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先利用二次根式的性质化简，然后进行有理数的加减运算；
利用平方差公式和完全平方公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

22.【答案】解：，
，
，
，
或，
，；
，
，
或，
，． 

【解析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图所示的正方形即为所求．

如图所示的矩形即为所求．

如图所示的平行四边形即为所求．
 

【解析】根据正方形的判定与性质，结合网格特点作图即可．
根据矩形的判定与性质，结合网格特点作图即可．
根据平行四边形的判定与性质，结合网格特点作图即可．
本题考查作图应用与设计作图、平行四边形的判定与性质、正方形的判定与性质、矩形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形、矩形、平行四边形的判定与性质．
 

24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形；
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
． 

【解析】由平行四边形的性质可得，，，由平行线的性质可得，可得，可得结论；
先证，由平行四边形的性质可得，可得结论．
本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

25.【答案】     

【解析】解：根据折线统计图得：
连连的射击成绩为：，，，，，，，，，，
则平均数为环，
方差为；
晨晨的射击成绩为，，，，，，，？，，，平均数为环，
则晨晨第八环成绩为环，
所以晨晨的次成绩为：，，，，，，，，，．
中位数为环，
方差为．
补全表格如下：
晨晨、连连射击成绩统计表

晨晨、连连射击成绩折线图


由晨晨的方差小于连连的方差，晨晨比较稳定，故选晨晨；
根据折线统计图列举出连连的成绩，计算出晨晨的中位数，方差，以及连连平均数，中位数及方差，补全即可；
计算出两人的方差，比较大小即可做出判断；
此题考查了折线统计图，中位数，方差，平均数，以及统计表，弄清题意是解本题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
，
米，
则可表示为：，
故答案为：；
根据题意得：，
，
，
或，
长为米或米；
根据题意得：矩形的面积，
当时，矩形的面积有最大值，最大值，
不可能围出的面积；
当米，米时，矩形的面积平方米，
只需隔离带米，
需增加隔离带米．
答：不可能围出的面积；至少需增加隔离带米，恰好能围成平方米．
根据各边之间的关系，即可用含的代数式表示出的长；
利用矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值；
根据二次函数的性质求出面积的最大值，进而可以解决问题．
本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，矩形的性质，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

27.【答案】证明：连接，如图所示：
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：过点作于，过点作于，于，如图所示：
四边形是正方形，
，，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
平分，，，
，
，
，
，
；
解：过点作，使，连接、，过点作，交延长线于，如图所示：
四边形是正方形，
，
，
，，
是等腰直角三角形，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
、、三点共线时，最短，即最短，
此时，，
在中，由勾股定理得：，
的最小值为． 

【解析】连接，证≌，得，，再证，则，即可得出结论；
过点作于，过点作于，于，证是等腰直角三角形，则，再由角平分线的性质得，然后由三角形面积关系得，即可解决问题；
过点作，使，连接、，过点作，交延长线于，证是等腰直角三角形，得，再证≌，得，则、、三点共线时，最短，即最短，然后由勾股定理即可得出结论．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．