浙江省绍兴市柯桥区八年级上学期期末数学试卷含解析

 八年级上学期期末数学试卷

一、单选题

1．下列图案中，属于轴对称图形的是（　　） 

A． B．

C． D．

2．若 ，则下列各式中，一定成立的是（　　）

A． B．

C． D．

3．如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（　　）

A．稳定性 B．灵活性 C．对称性 D．全等性

4．在平面直角坐标系中，将点 向左平移3个单位后得到的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．不等式 的解在数轴上表示为（　　）

A． B．

C． D．

6．如图，已知AB=AD，AC=AE，若要判定△ABC≌△ADE，则下列添加的条件中正确的是（　　）

A．∠1=∠DAC B．∠B=∠D C．∠1=∠2 D．∠C=∠E

7．已知点 ， 在一次函数 的图象上，则 ， 的大小关系是（　　）

A． B． C． D．以上都不对

8．如图是某蓄水池的横断面的示意图，分深水区和浅水区，如果向这个蓄水池中以固定的水流量（单位时间注水的体积）注水（注满水后停止注水），那么下列图中能大致表示水的深度 h 与注水时间 t 之间关系的图象的是（　　） 

A． B．

C． D．

9．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点 ，第二次运动到点 ，第三次运动到 ，…，按这样的运动规律，第2022次运动后，动点 的坐标是（　　） 

A． B． C． D．

10．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连结AD，把 沿着AD翻折，得到 ，DE与AC交于点F.若点F是DE的中点， ， ， 的面积为9，则点F到BC的距离为（　　）

A．1.4 B．2.4 C．3.6 D．4.8

二、填空题

11．为说明命题“如果 ，那么 ”是假命题，你举出的一个反例是　                           　.

12．在平面直角坐标系中，点 到y轴的距离是　     　.

13．三角形的三边长分别为3，4，5，则最长边上的高为 　     　.

14．一副直角三角板，按如图方式叠放在一起，其中 ， ，若 ，则 等于　     　度.

15．《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺.如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深　     　尺.

16．如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3）．则关于x的不等式x+2≥ax+c的不等式的解为　     　．

17．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E分别是边BC，AC的中点， 于点F，连结EF，则EF的长为　     　.

18．新定义：[a，b]为一次函数 (a≠0，,a、b为实数)的“关联数”．若“关联数”为[3，m-2] 的一次函数是正比例函数，则点(1-m，1+m)在第　     　象限．  

19．定义：在平面直角坐标系中，把从点P出发沿横或纵方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”.如图，若 ， ，则P，Q的“实际距离”为5，即 或 .环保低碳的公共自行车，逐渐成为市民出行喜欢的交通工具.设A，B，C三个小区的坐标分别为 ， ， ，若点M表示公共自行车停放点，且满足M到A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标是　     　.

20．如图，AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于点E，F，G分别是线段AB和线段AC上的动点，且AF=CG，若DE=1，AB=2，则DF+DG的最小值为　     　.

三、解答题

21．解下列不等式组：

（1）2（x+1）＞3x﹣4

（2）

22．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系后，点A，B，C的坐标分别为（1，1），（4，2），（2，3）.

（1）画出△ABC向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的△A1B1C1；

（2）画出△ABC向关于x轴对称的△A2B2C2；

（3）以点A、A1、A2为顶点的三角形的面积为　     　.

23．为了倡导居民节约用水，生活用水按阶梯式水价计费，如图是居民每户每月的水费y（元）与所用的水量x（吨）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题：

（1）当用水量不超过10吨时，每吨水收费　     　元.

（2）当用水量超过10吨且不超过30吨时，求y与x之间的函数表达式；

（3）某户居民四、五月份水费共85元，五月份用水比四月份多5吨，求这户居民四月份用水多少吨.

24．如图，在 中， ， ， ，CD与BE相交于点F.

（1）求证： ；

（2）若 ， ，求 的面积.

25．为了做好“新冠肺炎”疫情防控工作，柯桥区某校准备购买一批消毒液.已知A型消毒液和B型消毒液的单价分别是12元和8元.需购买这两种消毒液共300瓶，并且购买A型消毒液的数量要少于B型消毒液数量的 ，但又不少于B型消毒液数量的 .设买A型消毒液x瓶，买两种消毒液的总费用为y元.

（1）写出y（元）关于x（瓶）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.

（2）购买这两种消毒液各多少瓶时，费用最少？最少的费用是多少元？

26．

（1） 是边长为6的等边三角形，E是边AC上的一点，且 ，小明以BE为边作等边三角形BEF，如图①，求CF的长；

（2） 是边长为6的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小明以BE为边作等边三角形BEF，如图②，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；

（3） 是边长为6的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小明以BM为边作等边三角形BMN，如图③，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长.

答案解析部分

【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

C、是轴对称图形，故本选项符合题意；

D、不是轴对称图形，故本选项不合题意.

故答案为：C.

【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.

【解析】【解答】解： ，

故A符合题意；B，C，D不符合题意；

故答案为：A.

【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，据此判断即可.

【解析】【解答】这是利用了三角形的稳定性．故选A．

【分析】三角形的特性之一就是具有稳定性．

【解析】【解答】解：将点 向左平移3个单位后得到的点为 ，

∴平移后的点在第二象限.

故答案为：B.

【分析】若A（m，n），当m>0，n>0时，点A在第一象限；当m<0，n>0时，点A在第二象限；当m<0，n<0时，点A在第三象限；当m>0，n<0时，点A在第四象限；点（m，n）向左平移a个单位长度为（m-a，n），向右平移a个单位长度可得（m+a，n）.

【解析】【解答】解：不等式 的解集为： .

故答案为：D.

【分析】解不等式可得x<1，则解集内不包括1对应的点，故在1对应的点处应为空心，线的方向向左.

【解析】【解答】解： ， ，

则可通过 ，得到 ，

利用SAS证明△ABC≌△ADE.

故答案为：C.

【分析】根据角的和差关系可得∠BAC=∠DAE，然后根据全等三角形的判定定理进行解答.

【解析】【解答】解：∵k＝−2＜0，

∴函数值y随x的增大而减小，

∵－2＜3，

∴y1＞y2.

故答案为：A.

【分析】根据一次函数的解析式可知y随x的增大而减小，据此进行比较.

【解析】【解答】解：∵在底面积不变的情况下，水的深度 h 与注水时间 t 之间是成正比例的，

∴在底面积不变的情况下，水的深度 h 与注水时间 t 之间是一次函数关系，

∴在底面积不变的情况下，水的深度 h 与注水时间 t 之间的图象是射线或线段，

∵深水区的底面积小于整个水池的底面积，

∴第一根线比第二根线要陡，并且两根线不会与坐标轴平行，

∴C图象是正确的，其他都是错误的，

故答案为：C．

【分析】根据题意可知：当底面积较小时，h随t的变化较快，当底面积较大时，h随t的变化较慢，即可得出答案。

【解析】【解答】解：观察图象，结合动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），第四次运动到P4（4，0），第五运动到P5（5，2），第六次运动到P6（6，0），…，结合运动后的点的坐标特点，

可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，﹣2，0，2，0；

∵2022÷6＝337，

∴经过第2022次运动后，动点P的纵坐标是0，

故答案为：D．

【分析】观察图象，结合第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2）……，运动后的点的坐标特点，分别得出动点P的纵坐标和横坐标规律，再根据循环规律可得答案。

【解析】【解答】解：如图，连接BE，交AD于点O.过点E作 于点H，点F作 于点G，

由翻折可知AB=AE， ，BD=DE，

又∵AO=AO，

∴ ，

∴BO=EO， ，

∴ .

∵点F是DE的中点，EF=2.5，

∴DF=EF=2.5，BD=DE=5，

∴ 和 等底同高，

∴ .

∵ ，

∴ ，

解得： .

∴在 中， ，

∵ .

∴ .

又∵ ，

∴ ，

解得： .

∵点F是DE的中点， ， ，

∴FG为 中位线，

∴ .

故答案为：B.

【分析】连接BE，交AD于点O.过点E作EH⊥BC于点H，点F作FG⊥BC于点G，由翻折可知AB=AE， ∠BAO=∠EAO，BD=DE，证明△BAO≌△EAO，得到BO=EO，∠BOA=∠EOA，易得DF=EF=2.5，BD=DE=5，S△ADE=18，根据三角形的面积公式可得OE，由勾股定理求出OD，然后利用三角形的面积公式求出S△BDE，进而求出EH，推出FG为△DEH的中位线，据此计算.

【解析】【解答】解：∵ ，

∴ 或 ，

例如： ， 时， ，

∴命题“如果 ，那么 ”是假命题，

故答案为： ， （答案不唯一）.

【分析】举出的反例需满足|a|=|b|，但不满足a=b，取a、b互为相反数即可.

【解析】【解答】解：点 到y轴的距离是： ，

故答案为：2.

【分析】点A（m，n）到y轴的距离为|m|，据此解答.

【解析】【解答】解：∵32+42=52，

∴此三角形是直角三角形，斜边为5.

设斜边上高为h，根据三角形的面积公式得： ×3×4= ×5×h，

解得：h=2.4.

故答案为： .

【分析】根据勾股定理逆定理可知该三角形为直角三角形，斜边为5，设斜边上高为h，然后根据三角形的面积公式进行计算.

【解析】【解答】解：∵ 和 均是直角三角形，其中 ， ，

∴ ， ，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

故答案为：75.

【分析】易得∠B=45°，∠DFE=60°，根据平行线的性质可得∠FEC=∠DFE=60°，则∠GEB=30°，根据外角的性质可得∠GEB+∠B=∠AGE，据此计算.

【解析】【解答】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB'＝x尺，则水深AC＝（x−1）尺，

因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺

在Rt△AB'C中，52＋（x−1）2＝x2，

解得：x＝13，

即水深12尺，

故答案为：12

【分析】将实际问题转化为数学问题，设芦苇长AB＝AB'＝x尺，可表示出AC的长；再利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值.

【解析】【解答】解：当y=3时，x+2=3
解之：x=1
∴点P（1，3），
由图象可知： 不等式x+2≥ax+c 的解集为：x≥1.
故答案为：x≥1.
【分析】将y=3代入函数解析式求出对应的x的值，可得到点P的横坐标，再观察函数图象，可求出不等式x+2≥ax+c 的解集.

【解析】【解答】解： D，E分别是边BC，AC的中点，等边三角形ABC的边长为4，

为等边三角形，

  则

故答案为：

【分析】根据等边三角形的性质以及中点的概念可得AB=BC=AC=4，∠B=∠C=60°，AE=CE=2，BD=CD=2，推出△DEC为等边三角形，得到DE=2，∠EDC=60°，∠BDF=30°，根据三角函数的概念求出DF，根据平角的概念可得∠FDE=90°，然后利用勾股定理进行计算.

【解析】【解答】解：∵“关联数”为[3，m﹣2]的一次函数是正比例函数，

∴y＝3x+m﹣2是正比例函数，

∴m﹣2＝0，

解得：m＝2，

则1﹣m＝﹣1，1+m＝3，

故点（1﹣m，1+m）在第二象限．

故答案为：二．

【分析】根据新定义列出一次函数解析式，再根据正比例函数的定义确定m的值，进而确定坐标、确定象限.

【解析】【解答】解：设M（x，y），

∵M到A，B，C的“实际距离”相等， ， ， ，

∴AC实际距离为|1+3|+|5+1|=4+6=10，BC实际距离为|1+5|+|3-1|=6+2=8，

AB实际距离为|-5+3|+|3+1|=2+4=6，

∵62+82=102，

∴△ABC三边的实际距离构成直角三角形，

∴M（x，y）为AC中点，

∴x= ，y= ，

∴CM=|1+1|+|5-2|=2+3=5，BK=|-1+5|+|3-2|=4+1=5，MA=|-1+3|+|2+1|=2+3=5，

∴M（-1，2）.

故答案为：（-1，2）.

【分析】设M（x，y），则AC=10，BC=8，AB=6，根据勾股定理逆定理可知△ABC为直角三角形，利用中点坐标公式可得点M的坐标，然后求出CM、BK、MA.

【解析】【解答】解：连接BC，

∵AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AB∥CD，

∴∠DAC=∠BAC，∠ADB=∠CDB，∠AED=180°-180°÷2=90°，

∵AB∥CD，

∴∠DCA=∠BAC，

∴∠DCA=∠DAC，

∴DA=DC，

同理：DA=BA，

∴DC=AB，

∵AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵DA=DC，

∴四边形ABCD是菱形.

如图.在AC上取点B'，使AB'=AB，连接FB'，作点D关于AB的对称点D'，连接D'F、DD'.

作B'H⊥CD于点H，作B'M⊥DD'于点M.

∴DF=D'F，

∵AF=CG，∠B'AF=∠DCG，AB'=AB=CD，

∴△B'AF≌DCG（SAS），

∴B'F=DG，

∴DF+DG=D'F+B'F，

∴当B'、F、D'三点在同一直线上时，DF+DG=D'F+B'F取最小值为B'D'.

∵DE=1，AD=AB=2，

∴∠DAE=30°，∠ADE=60°，

∴AC= AD=2 ，CB'=2 -2，

∴B'H= B'C= -1，CH= B'H=3- ，

∴DH=DC-CH=2-（3- ）= −1，

∵四边形DHB′M是矩形

∴DM=B'H= -1，MB′=DH= ，

∴D'M=DD'-DM= AD-DM=2 -（ -1）= +1，

∴D'B'= .

即DF+DG的最小值为2 .

故答案为： .

【分析】连接BC，根据角平分线的概念可得∠DAC=∠BAC，∠ADB=∠CDB，根据平行线的性质可得∠DCA=∠BAC，推出DA=DC，同理可得DA=BA，进而推出四边形ABCD是菱形，在AC上取点B'，使AB'=AB，连接FB'，作点D关于AB的对称点D'，连接D'F、DD'，作B'H⊥CD于点H，作B'M⊥DD'于点M，证明△B'AF≌△DCG，得到B'F=DG，则DF+DG=D'F+B'F取最小值为B'D'，利用三角函数的概念可得AC，进而求出CB'、B′H、CH、DH，根据矩形的性质可得DM=B'H=-1，MB′=DH=，则D'M=DD'-DM=+1，然后利用勾股定理求出D'B'即可.

【解析】【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解；
（2）首先分别求出两个不等式的解集，然后取其公共部分即为不等式组的解集.

【解析】【解答】（3）解：以点A、A1、A2为顶点的三角形的面积为： ×2×4=4.

故答案为：4.

【分析】（1）分别将点A、B、C向左平移4个单位，再向上平移1个单位 得到点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；
（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征找出点A、B、C关于x轴的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接；
（3）直接根据三角形的面积公式计算即可.

【解析】【解答】解：（1）如图所示，用水量不超过10吨时每吨水收费为：20÷10＝2（元/吨）.

答：用水量不超过10吨时，水费为2元/吨；

【分析】（1）根据图象可知：10吨水的水费为20元，据此可得每吨水的水费；
（2）当10≤x≤30时，设y=ax+b，将（10，20）、（30，80）代入求出a、b的值，进而可得y与x之间的函数表达式；
（3）设这户居民四月份用水x吨，则五月份用水（x+5）吨，由题意可得四月份的水费为3x-10，五月份的水费为3(x+5)-10，结合四、五月份水费共85元列出方程，求解即可.

【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠ADC=∠FDB=90°，根据同角的余角相等可得∠DBF=∠ACD，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得AD=DF=3，利用勾股定理求出BD，然后求出AB，接下来根据三角形的面积公式进行计算.

【解析】【分析】（1）由题意可得B型消毒液的数量为（300-x）瓶，根据单价×数量=总价可得y与x的关系式，根据购买A型消毒液的数量要少于B型消毒液数量的，但又不少于B型消毒液数量的列出关于x的不等式组，求出x的范围，据此解答；
（2）根据一次函数的性质进行解答即可.

【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°，根据角的和差关系可得∠ABE=∠CBF，证明△ABE≌△CBF，得到CF=AE，根据AE=AC-CE可得AE，进而可得CF；
（2）连结CF，根据全等三角形的性质可得CF=AE，∠BCF=∠BAE=60°，推出CF∥AB，当点E在点C处时，CF=AC；当点E在A处时，点F与点C重合，据此可得AC；
（3）取BC的中点H，连结NH，则BH=BD，根据等边三角形的性质可得BM=BN，∠ABC=∠MBN=60°，根据角的和差关系可得∠DBM=∠HBN，证明△DBM≌△HBN，得到HN=DM，∠BHM=∠BDM=90°，利用勾股定理求出HN，当点M在D处时，点N与点H重合，据此可得CD的长.