福建省连城县第一中学2023届高三数学上学期月考二试卷（Word版附答案）

连城一中2022-2023学年上期高三年级月考2数学试卷

满分：150分  考试时间：120分钟 

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2.已知（为虚数单位），则的虚部为（    ）

A.     B.             C.            D.

3. 如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则的值为（  ）

A． B． C．1 D．2

4. 古代将圆台称为“圆亭”，九章算术中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何”即一圆台形建筑物，下底周长丈，上底周长丈，高丈，则它的体积为（  ）

A．立方丈 B．立方丈 C．立方丈 D．立方丈

5. 函数的图像大致为（    ）

A．B．

C．D．

6. 已知，且，则（  ）

A．                B．            C．     D．

7. 设，则（  ）

A．      B．       C．    D．

8．已知菱形的各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为（  ）

A． B． C． D．

二、多选题： 本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

9.如图，已知正方体，分别是，的中点，则下列结论正确的是（  ）

A． B． 

C．平面 D．平面

10．若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的可能取值是（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

11. 已知，下面结论正确的是（    ）

A．若f(x1)=1，f(x2)=，且的最小值为π，则ω=2

B．存在ω∈(1，3)，使得f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称

C．若f(x)在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围是

D．若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围是(0，]

12. 已知函数，若存在，使得成立，则（  ）

A．当时， B．当时，

C．当时， D．当时，的最小值为

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知向量，若，则__________.

14. 已知在处取得极值，则的最小值为__________.

15. 函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则__________.

16.记为等差数列的前项和，若，数列满足，当最大时，的值为__________.

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本题10分） 已知函数。

（1）求的对称中心

（2）若锐角中角所对的边分别为，且，求的取值范围

18．（本题12分）已知正项数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，求的取值范围.

19. （本题12分）设的内角A，B，C所对的边分别为，，，.

(1)求C；     (2)若，，求的面积.

20. （本题12分）2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划．强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拨尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率匀为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次，，其中．

（1）若，求该考生报考乙大学在笔试环节恰好通过两门科目的概率；

（2）“强基计划”规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为决策依据，则当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求m的取值范围．

21. （本题12分）如图，四棱锥的底面为矩形，平面平面，是边长为2等边三角形，，点为的中点，点为上一点（与点不重合）．

(1)证明：；

(2)当为何值时，直线与平面所成的角最大？

22. （本题12分） 已知函数．

（1）证明：当；

（2）若

连城一中2022-2023学年上期高三年级月考2数学参考答案

一、单选题：1-8:  BDCBCACD

二、多选题：9.  AC   10.  ABC  11.  BCD  12.ACD

三、填空题：

13.   -4   14. 3   15.  621     16.3

17. 解析：（1）          ----------------------3分

令对称中心为：              （）----------------------5分

（2）由已知可得：

（舍）或----------------------7分

----------------------8分

因为为锐角三角形

  ----------------------9分

      ----------------------10分

18. （1）当时，由，得，得，------------------------1分

由，得，------------------------2分

两式相减，得，

即，

即

因为数列各项均为正数，所以，所以----------------------5分

所以数列是以为首项，为公差的等差数列.

因此，，即数列的通项公式为.------------------------6分

（2）由（1）知，所以，--------------------------7分

所以，-------------------------8分

所以，

，

，   ------------------------10分

 令，则，

所以是单调递增数列，数列递增，

所以，又，所以的取值范围为.-----------------------12分

19.(1)由得，即，------------------------2分

所以------------------------4分

因为所以------------------------6分

（2）  由正弦定理得，-------------------------8分

所以，即-------------------10分

，，所以，

故△ABC的面积为.------------------12分

20. （1）该考生报考乙大学在笔试环节恰好通过两门科目的概率为

．（3分）

（2）甲通过的考试科目数，∴．（5分）

设乙通过的考试科目数为，则，（6分）

，（7分）

（8分

，（9分）

∴（10分）

∵该考生更希望通过乙大学的笔试，∴，∴，∴．

∴当该考生更希望通过乙大学的笔试时，的取值范围是．（12分）

21. （1）因为三角形是等边三角形，且E是中点，所以，

又因为平面，平面平面，平面平面，

所以平面，又因为面，所以，

因为，，所以，，

所以，即，

因为平面平面，所以平面，

又因为平面，所以；----------------6分

（2）设F是中点，以E为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，由已知得，

设，则、

设平面的法向量为，则，

令，有，设直线与平面所成的角，

所以，

当且仅当时取等号，当时，直线与平面所成角最大．---------------12分