江苏省南通市启东市2021-2022学年九年级上期中质量检测数学试题(含解析)

这是一份江苏省南通市启东市2021-2022学年九年级上期中质量检测数学试题(含解析)，共27页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

江苏省南通市启东市2021-2022学年九年级上期中质量检测数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项序号填涂在答题纸上。
1．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．明天一定要下雨
B．一个不透明的袋子中只有7个红球，摸出一个白球
C．任意三条线段可以组成一个三角形
D．过平面内的一点作已知直线的垂线，只能作一条
2．抛物线y＝x2﹣2x+4的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣1，3）
3．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝65°，∠C＝75°，则∠EDF的度数是（　　）

A．65° B．140° C．55° D．70°
5．已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＝y2＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y2＝y3 D．y3＜y1＝y2
6．小丽准备通过爱心热线捐款，她只记得号码的前5位，后三位由5，2，0这三个数字组成，但具体顺序忘记了，她第一次就拨对电话的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．如下表是二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值，由此可以判断该二次函数的图象与x轴（　　）
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
4
﹣0.5
﹣2
﹣0.5
…
A．只有一个公共点
B．有两个公共点，分别位于y轴的两侧
C．有两个公共点，都位于y轴同侧
D．没有公共点
8．德国数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件．下面是高斯正十七边形作法的一部分：已知AB是⊙O的直径，分别以A，B为圆心、AB长为半径作弧，两弧交于点C，D两点，…若设AB长为2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣
9．如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，AD∥OC，若CD＝4，AC＝2，则⊙O的半径为（　　）

A．10 B．2 C． D．5
10．我们约定：在平面直角坐标系中，存在横、纵坐标互为相反数的点为“反量点”，顶点是“反量点”的二次函数为“反量函数”，若“反量函数”y＝x2﹣2x+c与正方形ABCD的边有公共点，其中点A（t，0），B（t+3，0），C，D两点在x轴上方，则t的取值范围为（　　）
A．﹣1≤t≤3 B．﹣4≤t≤6 C．﹣4≤t≤3 D．﹣1≤t≤6
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）。
11．二次函数y＝x2﹣3x+5的对称轴为 　 　．
12．我国太空空间站—天宫上的机械臂是我国目前智能程度最高、规模与技术难度最大，系统最复杂的空间智能制造系统，它展开长度为10.2米，最大作业半径为9.5米．某次天宫机械臂作业时，一端A固定在天宫上，另一端B以最大作业半径在某平面绕点A旋转72°，则点B的运动路径长为 　 　（结果保留π）．

13．一个正多边形的中心角是30°，则这个多边形是正　 　边形．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于 　 　．

15．有两组扑克牌各三张，牌面数字分别都是1，2，3，随意从每组中个抽出一张．数字和是偶数的概率是　 　．
16．如图，在平面直角坐标系中，以M（2，3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是 　 　．

17．某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 　 　元时，才能使每天所获销售利润最大．
18．如图，点D是等腰直角△ABC斜边AB上一点，点E是BC上一点，AB＝2，DA＝DE，则AD的取值范围是 　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下：
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
16
14
25
20
12
13
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；
（2）小亮说：“根据这次投掷实验，3点朝上的频率大于5点朝上的频率，所以3点朝上的概率大于5点朝上的概率．”小亮的说法正确吗？如果你认为正确，请说明理由；如果你认为不正确，请求出“3点朝上”的概率和“5点朝上”的概率，并比较大小．
20．（10分）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，且C是的中点．以B为圆心，BC的长为半径画圆弧交AB于点D．
（1）求∠ABC的度数；
（2）若AB＝4，求阴影部分的面积．

21．（12分）为有效防范疫情风险，保障广大市民身体健康和生命安全，我市在8月7日～11日进行了全员核酸检测实战演练．某检测点从早上7：30开始等待检测，检测人数y（人）与时间x（分钟）的关系如图所示．（图象ABC段是抛物线，CD段在x轴上）
（1）请观察图象，7：30时等待检测的居民有 　 　人；
（2）当0≤x≤30时，求y与x的函数关系式；
（3）何时开始，居民可以随到随测？

22．（10分）为庆祝建党100周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同）背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取1张，按照卡片上的曲目演唱．
（1）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，抽到C卡片的概率为 　 　；
（2）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率．

23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接BC．
（1）若∠CAD＝35°，求∠B的度数；
（2）若CD＝5，DE＝2，求⊙O的半径．

24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC，BC，抛物线上是否存在一点E，使得S△ABE＝S△ABC？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（13分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a≠0）的顶点为A，与x轴相交于B，C两点．
（1）求点A的坐标；
（2）若BC＝4，求抛物线的解析式；
（3）对于抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a≠0）上的任意一点M（x1，y1）（x1＜0），在函数y＝x+2a﹣5的图象上总能找到一点N（x2，y2）（x2＞0）使得y1＝y2，请结合函数图象，求出a的取值范围．
26．（13分）如图，平面上存在点P、点M与线段AB．若线段AB上存在一点Q，使得点M在以PQ为直径的圆上，则称点M为点P与线段AB的共圆点．
已知点P（0，1），点A（﹣2，﹣1），点B（2，﹣1）．
（1）在点O（0，0），C（﹣2，1），D（3，0）中，可以成为点P与线段AB的共圆点的是 　 　；
（2）点K为x轴上一点，若点K为点P与线段AB的共圆点，请求出点K横坐标xK的取值范围；
（3）已知点M（m，﹣1），若直线y＝x+3上存在点P与线段AM的共圆点，请直接写出m的取值范围．




参考答案
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项序号填涂在答题纸上。
1．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．明天一定要下雨
B．一个不透明的袋子中只有7个红球，摸出一个白球
C．任意三条线段可以组成一个三角形
D．过平面内的一点作已知直线的垂线，只能作一条
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、明天一定要下雨，是随机事件，不符合题意；
B、一个不透明的袋子中只有7个红球，摸出一个白球，是不可能事件，不符合题意；
C、任意三条线段可以组成一个三角形，是随机事件，不符合题意；
D、过平面内的一点作已知直线的垂线，只能作一条，是必然事件，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．抛物线y＝x2﹣2x+4的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣1，3）
【分析】将抛物线解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，3），
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会将抛物线的解析式化为顶点式．
3．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意和垂径定理，可以得到OC⊥AB且平分AB，然后根据勾股定理即可得到OC的长．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C是AB的中点，
∴OC⊥AB，AC＝BC＝4，OA＝5，
∴OC＝＝＝3，
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是明确垂径定理的内容，求出AC的长，利用数形结合的思想解答．
4．如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝65°，∠C＝75°，则∠EDF的度数是（　　）

A．65° B．140° C．55° D．70°
【分析】连接IE、IF，如图，根据切线的性质得到∠AEI＝∠AFI＝90°，利用四边形的内角和得到∠A＝180°﹣∠EIF，再利用圆周角定理得到∠EDF＝90°﹣∠A，然后根据三角形内角和求出∠A，从而可计算出∠EDF．
【解答】解：连接IE、IF，如图，
∵内切圆I和边AC、AB分别相切于点E、F，
∴OE⊥AC，OF⊥AB，
∴∠AEI＝∠AFI＝90°，
∴∠A＝180°﹣∠EIF，
∵∠EDF＝∠EIF，
∴∠EDF＝90°﹣∠A，
∵∠B＝65°，∠C＝75°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，
∴∠EDF＝90°﹣×40°＝70°．
故选：D．

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线的性质．
5．已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＝y2＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y2＝y3 D．y3＜y1＝y2
【分析】将x值代入函数关系式计算y1，y2，y3，再比较大小可求解．
【解答】解：当x＝0时，y1＝1+h，
当x＝2时，y2＝1+h，
当x＝3时，y3＝4+h，
∵1+h＝1+h＜4+h，
∴y1＝y2＜y3，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．
6．小丽准备通过爱心热线捐款，她只记得号码的前5位，后三位由5，2，0这三个数字组成，但具体顺序忘记了，她第一次就拨对电话的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意可得：可能的结果有：502，520，052，025，250，210，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵她只记得号码的前5位，后三位由5，0，2这三个数字组成，
∴可能的结果有：502，520，052，025，250，205，
∴他第一次就拨通电话的概率是：．
故选：D．
【点评】此题考查了列举法求概率的知识．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．如下表是二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值，由此可以判断该二次函数的图象与x轴（　　）
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
4
﹣0.5
﹣2
﹣0.5
…
A．只有一个公共点
B．有两个公共点，分别位于y轴的两侧
C．有两个公共点，都位于y轴同侧
D．没有公共点
【分析】利用二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，判断出顶点坐标，开口方向即可解决问题．
【解答】解：根据表中的二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可以发现当x＝0，x＝2时，y的值都等于﹣0.5＜0，
根据二次函数的图象对称性可得：x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴，此时y有最小值﹣2，
因此判断该二次函数的图象的开口向上，与x轴有两个交点，分别位于y轴的两侧，
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，根据点的坐标确定函数的性质是关键．
8．德国数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件．下面是高斯正十七边形作法的一部分：已知AB是⊙O的直径，分别以A，B为圆心、AB长为半径作弧，两弧交于点C，D两点，…若设AB长为2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣
【分析】连接AC、BC，如图，先判断△ACB为等边三角形，则∠BAC＝60°，由于S弓形BC＝S扇形BAC﹣S△ABC，所以图中阴影部分的面积＝4S弓形BC+2S△ABC﹣S⊙O，然后利用扇形的面积公式、等边三角形的面积公式和圆的面积公式计算．
【解答】解：连接AC、BC，如图，
由作得AC＝BC＝AB＝2，
∴△ACB为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴S弓形BC＝S扇形BAC﹣S△ABC，
∴图中阴影部分的面积＝4S弓形BC+2S△ABC﹣S⊙O
＝4（S扇形BAC﹣S△ABC）+2S△ABC﹣S⊙O
＝4S扇形BAC﹣2S△ABC﹣S⊙O
＝4×﹣2××22﹣π×12
＝π﹣2．
故选：A．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了扇形的面积公式．
9．如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，AD∥OC，若CD＝4，AC＝2，则⊙O的半径为（　　）

A．10 B．2 C． D．5
【分析】作直径DT，连接CT．证明∠DCT＝90°，AC＝CT＝2，利用勾股定理求出DT即可．
【解答】解：作直径DT，连接CT．

∵DT是直径，
∴∠DCT＝90°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵AD∥OC，
∴∠ADC＝∠OCD，
∴∠ADC＝∠CDT，
∴＝，
∴AC＝CT＝2，
∵CD＝4，
∴DT＝＝＝10，
∴⊙O的半径为5，
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理．平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
10．我们约定：在平面直角坐标系中，存在横、纵坐标互为相反数的点为“反量点”，顶点是“反量点”的二次函数为“反量函数”，若“反量函数”y＝x2﹣2x+c与正方形ABCD的边有公共点，其中点A（t，0），B（t+3，0），C，D两点在x轴上方，则t的取值范围为（　　）
A．﹣1≤t≤3 B．﹣4≤t≤6 C．﹣4≤t≤3 D．﹣1≤t≤6
【分析】现根据二次函数是“反量函数”，求出函数解析式，再根据正方形的边长为3，利用数形结合找到t的取值范围．
【解答】解：y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2﹣1+c，
顶点坐标为（1，c﹣1），
∵二次函数y＝x2﹣2x+c是“反量函数”，
∴c﹣1＝﹣1，
∴c＝0，
∴二次函数为y＝x2﹣2x，
∵四边形ABCD是正方形，且A（t，0），B（t+3，0），
∴AB＝AD＝3，
∵y＝x2﹣2x+c与正方形ABCD的边有公共点，
如图所示：

令•y＝3，则x2﹣2x＝3，
解得：x＝3或x＝﹣1，
∴A（3，0），B′（﹣1，0），A′（﹣4，0），
∴﹣4≤t≤3，
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，正方形的性质等知识，关键是利用数形结合找到t的取值范围．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）。
11．二次函数y＝x2﹣3x+5的对称轴为 　x＝　．
【分析】根据二次函数对称轴计算公式x＝﹣计算即可．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣3x+5的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝，
故答案为：x＝．
【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴计算公式x＝﹣是解题关键．
12．我国太空空间站—天宫上的机械臂是我国目前智能程度最高、规模与技术难度最大，系统最复杂的空间智能制造系统，它展开长度为10.2米，最大作业半径为9.5米．某次天宫机械臂作业时，一端A固定在天宫上，另一端B以最大作业半径在某平面绕点A旋转72°，则点B的运动路径长为 　米　（结果保留π）．

【分析】根据题意点B的运动路径长即为以点A为圆心，AB长为半径的弧长．
【解答】解：根据题意，得
点B的运动路径长为：＝（米）．
故答案为：米．
【点评】本题考查了轨迹，解决本题的关键是理解轨迹定义．
13．（4分）一个正多边形的中心角是30°，则这个多边形是正　十二　边形．
【分析】根据正多边形的边数＝周角÷中心角，计算即可得解．
【解答】解：∵一个正多边形的中心角是30°，
∴这个多边形是：360°÷30°＝12，即正十二边形．
故答案为：十二．
【点评】本题考查了正多边形的性质，熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键．
14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于 　15π　．

【分析】易得圆锥的底面半径长和母线长，那么圆锥的侧面积＝×2π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：∵AB＝3，
∴底面的周长是：6π
∴圆锥的侧面积等×6π×5＝15π，
故答案为：15π．
【点评】本题考查圆锥侧面积的求法．注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．
15．（4分）有两组扑克牌各三张，牌面数字分别都是1，2，3，随意从每组中个抽出一张．数字和是偶数的概率是　　．
【分析】列举出所有情况，让数字和是偶数的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【解答】解：列表得：

1
2
3
1
1+1＝2
2+1＝3
3+1＝4
2
1+2＝3
2+2＝4
3+2＝5
3
1+3＝4
2+3＝5
3+3＝6
∴一共有9种情况，和为偶数的有5种情况；
∴数字和是偶数的概率是．
【点评】列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，以M（2，3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是 　（4，3﹣）　．

【分析】连接MD，BC，根据切线的性质得到MD⊥x轴，根据圆周角定理得到AC⊥BC，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理求出ME，进而求出DE，根据坐标与图形性质解答即可．
【解答】解：设以AB为直径的圆与x轴相切于点D，连接MD，BC，
则MD⊥x轴，
∵点M的坐标为（2，3），
∴CE＝BE＝2，BM＝DM＝3，
∵AB为圆的直径，
∴AC⊥BC，
∴BC∥x轴，
∴MD⊥BC，
∴BC＝2CE＝4，CE＝BE＝2，
在Rt△BME中，由勾股定理得：ME＝＝＝，
∴DE＝MD﹣ME＝3﹣，
∴点B的坐标为（4，3﹣），
故答案为：（4，3﹣）．

【点评】本题考查的是切线的性质、垂径定理、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
17．（4分）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 　11　元时，才能使每天所获销售利润最大．
【分析】根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：设销售单价定为x元（x≥9），每天所获利润为y元，
则y＝[20﹣4（x﹣9）]•（x﹣8）
＝﹣4x2+88x﹣448
＝﹣4（x﹣11）2+36，
所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，
故答案为11．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
18．（4分）如图，点D是等腰直角△ABC斜边AB上一点，点E是BC上一点，AB＝2，DA＝DE，则AD的取值范围是 　2﹣2≤AD≤1　．

【分析】以D为圆心，AD的长为半径画圆，当圆与BC相切时，AD最小，与线段BC相交且交点为B或C时，AD最大，分别求出即可得到范围．
【解答】解：以D为圆心，AD的长为半径画圆
①如图，当圆与BC相切时，DE⊥BC时，

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴BD＝DE，
∵AB＝2，DA＝DE，
∴AD+AD＝2，
∴AD＝2﹣2；
②如图，当圆与BC相交时，若交点为B或C，则AD＝AB＝1，

∴AD的取值范围是2﹣2≤AD≤1．
故答案为：2﹣2≤AD≤1．
【点评】此题考查了点与圆的位置关系以及等腰三角形的性质．注意根据题意画出图形，利用边BC与圆的位置关系解答，分清AD最小和最大的两种情况是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下：
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
16
14
25
20
12
13
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；
（2）小亮说：“根据这次投掷实验，3点朝上的频率大于5点朝上的频率，所以3点朝上的概率大于5点朝上的概率．”小亮的说法正确吗？如果你认为正确，请说明理由；如果你认为不正确，请求出“3点朝上”的概率和“5点朝上”的概率，并比较大小．
【分析】（1）由共做了100次试验，“1点朝上”和“6点朝上”的次数分别为16，13，即可求得“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率．
（2）由于任意投掷一枚骰子，一共有6种等可能结果，故“3点朝上”的概率和“5点朝上”的概率都是．
【解答】解：（1）“3点朝上”的频率为：＝0.25；
“5点朝上”的频率为＝0.12；
（2）小亮的判断是错误的；
任意投掷一枚骰子，一共有6种等可能结果，
∴P（3点朝上）＝，
P（5点朝上）＝，
∴“3点朝上”的概率和“5点朝上”的概率相等．
【点评】本题主要考查了用频率估计概率，掌握试验中的概率等于所求情况数与总情况数之比是解决问题的关键．
20．（10分）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，且C是的中点．以B为圆心，BC的长为半径画圆弧交AB于点D．
（1）求∠ABC的度数；
（2）若AB＝4，求阴影部分的面积．

【分析】（1）证明△ACB是等腰直角三角形即可解决问题．
（2）根据阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形BCD计算即可解决问题．
【解答】解：（1）∵AB为半圆⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵C是的中点，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝45°．
（2）∵∠ACB＝90°，AB＝4，
∴AC＝BC＝2，
∴阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形BCD＝×2×2﹣＝4﹣π．
【点评】本题考查扇形的面积，圆周角定理等知识，解题的关键是学会用分割法取阴影部分面积，属于中考常考题型．
21．（12分）为有效防范疫情风险，保障广大市民身体健康和生命安全，我市在8月7日～11日进行了全员核酸检测实战演练．某检测点从早上7：30开始等待检测，检测人数y（人）与时间x（分钟）的关系如图所示．（图象ABC段是抛物线，CD段在x轴上）
（1）请观察图象，7：30时等待检测的居民有 　65　人；
（2）当0≤x≤30时，求y与x的函数关系式；
（3）何时开始，居民可以随到随测？

【分析】（1）根据图象信息交流得到结论；
（2）设y与x的函数关系式为y＝a（x﹣30）2+245，把（0，65）代入得到方程，解方程即可得到结论；
（3）由（2）知，抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣30）2+245；当y＝0时，即0＝﹣（x﹣30）2+245，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）观察图象得，7：30时等待检测的居民有65人，
故答案为：65；
（2）∵抛物线的顶点坐标为（30，245），
∴设y与x的函数关系式为y＝a（x﹣30）2+245，
把（0，65）代入得，65＝a（0﹣30）2+245，
解得：a＝﹣，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣（x﹣30）2+245；
（3）由（2）知，抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣30）2+245；
当y＝0时，即0＝﹣（x﹣30）2+245，
解得：x1＝65，x2＝﹣5（不合题意舍去），
∴从8：35时，居民可以随到随测．
【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质是解题的关键．
22．（10分）为庆祝建党100周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同）背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取1张，按照卡片上的曲目演唱．
（1）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，抽到C卡片的概率为 　　；
（2）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率．

【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为C的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有9种等可能的结果数，其中两个班级恰好选择一首歌曲的有3种结果，
所以两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率为＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接BC．
（1）若∠CAD＝35°，求∠B的度数；
（2）若CD＝5，DE＝2，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OC⊥PE，则判断OC∥AE，所以∠DAC＝∠OCA，然后利用∠OCA＝∠OAC得到∠DAC＝∠OAC；
（2）过O点作OH⊥AD于H，如图，设⊙O的半径为r，利用垂径定理得到AH＝EH，再证明四边形OHDC为矩形得到DH＝OC＝r，OH＝CD＝5，则AH＝HE＝r﹣2，接着利用勾股定理得到（r﹣2）2+52＝r2，然后解方程即可．
【解答】解：（1）连接OC，如图，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠CAD＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠CAD＝∠OAC＝35°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OAC+∠B＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠OAC＝90°﹣35°＝55°；
（2）过O点作OH⊥AD于H，如图，设⊙O的半径为r，
∵OH⊥AE，
∴AH＝EH，
∵∠OHD＝∠ADC＝∠OCD＝90°，
∴四边形OHDC为矩形，
∴DH＝OC＝r，OH＝CD＝5，
∵DH＝HE+DE＝HE+2，
∴HE+2＝r，即HE＝r﹣2，
∴AH＝r﹣2，
在Rt△OAH中，（r﹣2）2+52＝r2，
解得r＝，
即⊙O的半径为．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC，BC，抛物线上是否存在一点E，使得S△ABE＝S△ABC？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a＝3，易得答案；
（2）由S△ABE＝S△ABC得到方程，利用方程求解即可．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
故﹣3a＝3，
解得a＝﹣1，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）当x＝0时，y＝3，则C（0，3）．
∴S△ABC＝•AB•OC＝＝6．
∴S△ABE＝S△ABC＝6×＝4．
∵S△ABE＝•AB•|yE|＝4．
∴|yE|＝2．
把y＝2代入抛物线解析式y＝﹣x2+2x+3，得2＝﹣x2+2x+3．
解得x＝1．
把y＝﹣2代入抛物线解析式y＝﹣x2+2x+3，得﹣2＝﹣x2+2x+3．
解得x＝1．
综上所述，点E的坐标是（1+，2）或（1﹣，2）或（1+，﹣2）或（1﹣，﹣2）．
【点评】本题主要考查了待定系数法确定函数关系式，抛物线与x轴的交点，以及二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解答（2）题时，注意点E的纵坐标有两种情况．
25．（13分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a≠0）的顶点为A，与x轴相交于B，C两点．
（1）求点A的坐标；
（2）若BC＝4，求抛物线的解析式；
（3）对于抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a≠0）上的任意一点M（x1，y1）（x1＜0），在函数y＝x+2a﹣5的图象上总能找到一点N（x2，y2）（x2＞0）使得y1＝y2，请结合函数图象，求出a的取值范围．
【分析】（1）配方得到y＝ax2﹣2ax+a﹣4＝a（x﹣1）2﹣4，于是得到结论；
（2）根据题意求得B、C的坐标，把B或C的坐标代入y＝ax2﹣2ax+a﹣4，即可求得a的值；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+a﹣4＝a（x﹣1）2﹣4，
∴点A（1，﹣4）．

（2）∵顶点坐标为（1，﹣4），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∵BC＝4，
∴B（﹣1，0），C（3，0），
把B的坐标代入y＝ax2﹣2ax+a﹣4时，则a+2a+a﹣4＝0，
解得a＝1
∴抛物线的解析式为y＝x2+4x．

（3）当a＞0时，如图，当2a﹣5≤a﹣4时符合题意，
∴0＜a≤1；
当a＜0时，不合题意，
故a的取值范围是0＜a≤1．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，数形结合是解题的关键．
26．（13分）如图，平面上存在点P、点M与线段AB．若线段AB上存在一点Q，使得点M在以PQ为直径的圆上，则称点M为点P与线段AB的共圆点．
已知点P（0，1），点A（﹣2，﹣1），点B（2，﹣1）．
（1）在点O（0，0），C（﹣2，1），D（3，0）中，可以成为点P与线段AB的共圆点的是 　C　；
（2）点K为x轴上一点，若点K为点P与线段AB的共圆点，请求出点K横坐标xK的取值范围；
（3）已知点M（m，﹣1），若直线y＝x+3上存在点P与线段AM的共圆点，请直接写出m的取值范围．

【分析】（1）当Q与A重合时，点C在以AP为直径的圆上，所以可以成为点P与线段AB的共圆点的是C；
（2）由两点的距离公式可得AP＝BP＝2，分别画以AP和BP为直径的圆交x轴于4个点：K1、K2、K3、K4，结合图形2可得4个点的坐标，从而得结论；
（3）先根据直线y＝x+3，当x＝0和y＝0计算与x轴和y轴的交点坐标，分两种情况：M在A的左侧和右侧，先计算圆E与直线y＝x+3相切时m的值，从而根据图形可得结论．
【解答】解：（1）如图1，可以成为点P与线段AB的共圆点的是C，

故答案为：C；
（2）∵P（0，1），点A（﹣2，﹣1），点B（2，﹣1）．
∴AP＝BP＝＝2，
如图2，分别以PA、PB为直径作圆，交x轴于点K1、K2、K3、K4，

∵OP＝OG＝1，OE∥AB，
∴PE＝AE＝，
∴OE＝AG＝1，
∴K1（﹣1﹣，0），k2（1﹣，0），k3（﹣1，0），k4（1+，0），
∵点K为点P与线段AB的共圆点，
∴﹣1﹣≤xk≤1﹣或﹣1≤xk≤1+；
（3）分两种情况：
①如图3，当M在点A的左侧时，Q为线段AM上一动点，以PQ为直径的圆E与直线y＝x+3相切于点F，连接EF，则EF⊥FH，

当x＝0时，y＝3，当y＝0时，y＝x+3＝0，x＝﹣6，
∴ON＝3，OH＝6，
∵tan∠EHF＝＝＝，
设EF＝a，则FH＝2a，EH＝a，
∴OE＝6﹣a，
Rt△OEP中，OP＝1，EP＝a，
由勾股定理得：EP2＝OP2+OE2，
∴，
解得：a＝（舍）或，
∴QG＝2OE＝2（6﹣a）＝﹣3+2，
∴m≤3﹣2；
②如图4，当M在点A的右侧时，Q为线段AM上一动点，以PQ为直径的圆E与直线y＝x+3相切于点F，连接EF，则EF⊥FH，

同理得QG＝3+2，
∴m≥3+2，
综上，m的取值范围是m≤3﹣2或m≥3+2．
【点评】本题属于圆和一次函数综合题，考查了一次函数的应用，新定义：M为点P与线段AB的共圆点，圆的切线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决取值范围问题，属于中考压轴题．