2022-2023学年江苏省南通市启东市苏科版九年级（上）期中数学试卷(解析版)

这是一份2022-2023学年江苏省南通市启东市苏科版九年级（上）期中数学试卷(解析版)，共30页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省南通市启东市九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分。共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项序号填涂在答题纸上.
1．抛物线y＝（x+1）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
2．书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是物理书的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（　　）

A．27° B．108° C．116° D．128°
4．将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（　　）
A．y＝2（x﹣6）2 B．y＝2（x﹣6）2+4
C．y＝2x2 D．y＝2x2+4
5．在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（　　）
类型
健康
亚健康
不健康
数据（人）
32
7
1
A．32 B．7 C． D．
6．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3．C为⊙O上一点，∠ACB＝45°，则AB的长为（　　）

A．2 B．3 C．3 D．6
7．根据以下表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　）
x
0
0.5
1
1.5
2
y＝ax2+bx+c
﹣1
﹣0.5
1
3.5
7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
8．如图，已知△ABC中，CB＝CA＝3，∠B＝30°，边AC的垂直平分线MN交AB于点O，以OA为半径的⊙O交AB于点D，则BD的长为（　　）

A．3 B． C．2 D．
9．如图①，点A，B是⊙O上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（　　）

A． B．4 C． D．5
10．如图，已知，在正方形ABCD中，AB＝4，以点B为圆心，1为半径作⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP．将AP绕点A逆时针旋转90°至AP'，连接BP'．在点P移动过程中，BP'长度的最小值是（　　）

A．4﹣1 B．4 C．4 D．3
二、填空题《本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分.不需写出解答过程。请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．小红说：“明天下雨”，你认为这是　 　（填“随机事件”、“不可能事件”或“必然事件”）．
12．若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正 　 　边形．
13．如图，AB为⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径长为　 　．

14．如图1，校运动会上，初三的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系．已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝﹣x2+x+．则该同学此次投掷实心球的成绩是 　 　m．


15．已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3cm的扇形，则这个圆锥的底面圆半径是 　 　cm．
16．一只蜘蛛爬到到如图所示的一面墙上，最终停在白色区域上的概率是 　 　．

17．如图，已知⊙O中直径AB＝8，半径OC⊥AB，点D是半圆的三等分点，点P是半径OC上的动点，当PB+PD的值最小时，PO的长为 　 　．

18．实数a，b满足a2+b2﹣2a＝0，则4a+b2的最大值为 　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．已知二次函数y＝ax2+4x+2的图象经过点A（3，﹣4）．
（1）求a的值；
（2）求此抛物线的对称轴；
（3）直接写出函数y随自变量的增大而减小的x的取值范围．
20．某校在数学实践活动中，数学组准备了4个活动课题，活动1用作图软件探究抛物线的性质；活动2用旋转设计图案；活动3探究四点共圆的条件；活动4探究旋转前后对应点坐标关系．九1班数学老师准备采取随机抽签的方式把学生分成4组，共同“研学”活动课题．
（1）九1班学生小海希望能抽签到活动1，则他能心想事成的概率是 　 　；
（2）小海和他的好朋友小江希望能在不同小组，这样可以相互分享学习成果，则他们在不同小组的可能性能否大于70%？请用树形图或列表法来验证你的判断是否正确．
21．如图，A，B是⊙O上的两点，C是的中点．求证：∠A＝∠B．

22．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 　 　．（结果保留小数点后一位）
（2）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
（3）如果再加入若干个白球后，使摸到白球的概率为0.8，求加入的白球数量．
23．如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D的切线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：AE⊥EF；
（2）若∠AOD＝120°，AB＝8，
①求AC的长；
②求图中阴影部分（区域DBF）的面积．

24．我市某水产店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出600kg，销售价每涨一元，月销售量就减少10kg．
（1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位t元/千克）之间的函数解析式；
（2）当销售价定为55元时，计算月销售量和利润；
（3）水产店老板想通过自己的勤奋努力，争取月收入达万元，他的愿望能实现吗？
25．如图，四边形ABCD是⊙O内正方形，P是圆上一点（点P与点A，B，C，D不重合），连接PA，PB，PC．
（1）若点P是上一点，
①∠BPC度数为 　 　；
②求证：PA+PC＝PB；
小明的思路为：这是线段和差倍半问题，可采用截长补短法，请按小明思路完成下列证明过程（也可按自己的想法给出证明）．
证明：在PC的延长线上截取点E．使CE＝PA，连接BE．
（2）探究当点P分别在，，上，求PA，PB，PC的数量关系，直接写出答案，不需要证明．


26．已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）经过点（2，﹣1），当1﹣2m≤x≤1+3m时，y的最小值为﹣2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当n＜x＜n+1时，y的取值范围是2n+1＜y＜2n+4，求n的值．


参考答案
一、选择题（本题共10小题，每小题3分。共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项序号填涂在答题纸上.
1．抛物线y＝（x+1）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】根据抛物线的顶点式的概念即可得出答案．
解：∵y＝（x+1）2+2为二次函数的顶点式，
∴由顶点式可知该抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，关键是要能根据顶点式直接写出顶点的坐标．
2．书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是物理书的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】应用简单随机事件概率计算方法进行计算即可得出答案．
解：根据题意可得，
P（从中任取1本书是物理书）＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了概率公式，熟练掌握简单随机事件概率的计算方法进行求解是解决本题的关键．
3．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（　　）

A．27° B．108° C．116° D．128°
【分析】直接由圆周角定理求解即可．
解：∵∠A＝54°，
∴∠BOC＝2∠A＝108°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
4．将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（　　）
A．y＝2（x﹣6）2 B．y＝2（x﹣6）2+4
C．y＝2x2 D．y＝2x2+4
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
解：将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝2（x﹣3+3）2+2，即y＝2x2+2；
再向下平移2个单位为：y＝2x2+2﹣2，即y＝2x2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5．在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（　　）
类型
健康
亚健康
不健康
数据（人）
32
7
1
A．32 B．7 C． D．
【分析】根据频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比），即频率＝频数÷总数，进而得出答案．
解：∵抽取了40名学生进行了心理健康测试，测试结果为“健康”的有32人，
∴测试结果为“健康”的频率是：＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的求法是解题关键．
6．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3．C为⊙O上一点，∠ACB＝45°，则AB的长为（　　）

A．2 B．3 C．3 D．6
【分析】连接OA、OB，如图，根据圆周角定理得到∠AOB＝90°，则可判断△OAB为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解．
解：连接OA、OB，如图，
∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，
而OA＝OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB＝OA＝3．
故选：C．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．根据以下表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　）
x
0
0.5
1
1.5
2
y＝ax2+bx+c
﹣1
﹣0.5
1
3.5
7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
解：观察表格可知：当x＝0.5时，y＝﹣0.5；当x＝1时，y＝1，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．
故选：B．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
8．如图，已知△ABC中，CB＝CA＝3，∠B＝30°，边AC的垂直平分线MN交AB于点O，以OA为半径的⊙O交AB于点D，则BD的长为（　　）

A．3 B． C．2 D．
【分析】连接CD，OC，根据圆周角定理、等腰三角形的性质得出∠ACD＝90°，∠A＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出AD＝6，根据线段垂直平分线的性质推出OA＝OC，根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠OCA＝30°，根据勾股定理求解OB＝6，根据线段的和差即可得解．
解：如图，连接CD，OC，

∵CB＝CA，∠B＝30°，
∴∠B＝∠A＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴AD＝2CD，
∵AD＝，AC＝3，
∴AD＝6，
∴OD＝OC＝3，
∵MN垂直平分AC，
∴OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA＝30°，
∴∠OCB＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△OBC中，CB＝3，
∴OB＝＝6，
∴BD＝OB﹣OD＝6﹣3＝3，
故选：A．
【点评】此题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟记含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
9．如图①，点A，B是⊙O上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（　　）

A． B．4 C． D．5
【分析】从图2看，当x＝2时，y＝AP＝6，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为 AP＝3，当x＝0时，由勾股定理逆定理可知，OA⊥OB，则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，此时t＝2，走过的角度为90°，可求出点P运动的速度，当t＝m时，AP＝OA＝OB，即△OAP是等边三角形，进而求解．
解：从图②看，当x＝2时，y＝AP＝6，即此时A、O、P三点共线，
则圆的半径为 AP＝3，
当x＝0时，OB2+OA2＝AP2，
∴△OAB是直角三角形，且OA⊥OB，
则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，如图所示，

此时x＝2，走过的角度为90°，则走过的弧长为 ×2π×r＝，
∴点P的运动速度是 ÷2＝（cm/s），
当t＝m时，AP＝OA＝OB，即△OAP是等边三角形，
∴∠AOP＝60°，
∴∠BOP＝360°﹣90°﹣60°＝210°，
此时点P走过的弧长为：×2π×r＝，
∴m＝÷＝，
故选：C．
【点评】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系．
10．如图，已知，在正方形ABCD中，AB＝4，以点B为圆心，1为半径作⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP．将AP绕点A逆时针旋转90°至AP'，连接BP'．在点P移动过程中，BP'长度的最小值是（　　）

A．4﹣1 B．4 C．4 D．3
【分析】通过画图发现，点P′的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆，可知：当P′在对角线BD上时，BP′最小，先证明△PAB≌△P′AD，则P′D＝PB＝1，再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出BP′的长．
解：如图，当P′在对角线BD上时，BP′最小，
连接BP，
由旋转得：AP＝AP′，∠PAP′＝90°，
∴∠PAB+∠BAP′＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAP′+∠DAP′＝90°，
∴∠PAB＝∠DAP′，
∴△PAB≌△P′AD（SAS），
∴P′D＝PB＝1，
在Rt△ABD中，∵AB＝AD＝4，
由勾股定理得：BD＝＝4，
∴BP′＝BD﹣P′D＝4﹣1，
即BP′长度的最小值为（4﹣1）．
故选：A．


【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质和最小值问题，寻找点P′的运动轨迹是本题的关键，通过证明两三角形全等求出BP′长度的最小值．
二、填空题《本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分.不需写出解答过程。请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．小红说：“明天下雨”，你认为这是　随机事件　（填“随机事件”、“不可能事件”或“必然事件”）．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
解：小红说：“明天下雨”，你认为这是随机事件，
故答案为：随机事件．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
12．若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正 　六　边形．
【分析】根据正六边形的性质得到相邻的两条的半径和一条边长构成一个等边三角形，求得中心角为60°，于是得到结论．
解：∵一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，
∴相邻的两条的半径和一条边长构成一个等边三角形，
∴中心角为60°，
∴正多边形的边数为＝6，
故答案为：六．
【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是根据边长等于半径确定中心角的度数，难度不大．
13．如图，AB为⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径长为　5　．

【分析】先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，再连接OA，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值即可．
解：∵⊙O的弦AB＝8，半径OD⊥AB，
∴AC＝AB＝×8＝4，
设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣CD＝r﹣2，连接OA，
在Rt△OAC中，
OA2＝OC2+AC2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
14．如图1，校运动会上，初三的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系．已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝﹣x2+x+．则该同学此次投掷实心球的成绩是 　10　m．


【分析】根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y＝0，解方程即可．
解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，
∴令y＝0，则﹣x2+x+＝0，
整理得：x2﹣8x﹣20＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣2（舍去），
∴该同学此次投掷实心球的成绩为10m，
故答案为：10．
【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，理解题意，能把二次函数问题转化为一元二次方程问题是解决问题的关键．
15．已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3cm的扇形，则这个圆锥的底面圆半径是 　1　cm．
【分析】根据展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，计算即可得出答案．
解：展开图扇形的弧长l＝＝＝2π．
根据题意展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，
∴这个圆锥的底面圆半径是＝1（cm）．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥原图与展开图扇形之间的关系进行求解是解决本题的关键．
16．一只蜘蛛爬到到如图所示的一面墙上，最终停在白色区域上的概率是 　　．

【分析】设每小格的面积为1，易得整个方砖的面积为9，黑色色区域的面积3，则白色区域的面积为9﹣3＝6，然后根据概率的定义计算即可．
解：设每小格的面积为1，
∴整个方砖的面积为9，
黑色区域的面积为3，
∴白色区域的面积为9﹣3＝6，
∴最终停在白色区域上的概率为：＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何图形的面积n，再计算出其中某个区域的几何图形的面积m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率＝．
17．如图，已知⊙O中直径AB＝8，半径OC⊥AB，点D是半圆的三等分点，点P是半径OC上的动点，当PB+PD的值最小时，PO的长为 　4　．

【分析】根据两点之间线段最短，可以找到使PB+PD的值最小时，点P的位置，然后根据锐角三角函数即可得到OP的长，本题得以解决．
解：连接DO，DA，DA与OC交于点P，

∵OC⊥AB，点O为AB的中点，
∴点B关于OC的对称点是点A，
∴DA与OC的交点P使得PB+PD的值最小，
∵点D是半圆的三等分点，
∴∠DOB＝60°，
∴∠DAB＝30°，
∵∠AOP＝90°，OA＝AB，AB＝8，∠PAO＝30°，
∴OA＝4，
∴OP＝OA•tan30°＝4×＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、最短路径，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．实数a，b满足a2+b2﹣2a＝0，则4a+b2的最大值为 　8　．
【分析】设y＝4a+b2，则b2＝y﹣4a，代入已知等式中，化为y关于a的二次函数，配方后可得最大值．
解：设y＝4a+b2，则b2＝y﹣4a，
∵a2+b2﹣2a＝0，
∴a2+y﹣4a﹣2a＝0，
∴y＝﹣a2+6a＝﹣（a2﹣6a+9﹣9）＝﹣（a﹣3）2+9，
∵b2＝y﹣4a，
∴y﹣4a≥0，即﹣a2+6a﹣4a＝﹣a2+2a≥0，
∴0≤a≤2，
∴当a＜3时，y随a的增大而增大，
∴当a＝2时，y有最大值是8，
即4a+b2的最大值为8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了二次函数的最值，换元法是本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．已知二次函数y＝ax2+4x+2的图象经过点A（3，﹣4）．
（1）求a的值；
（2）求此抛物线的对称轴；
（3）直接写出函数y随自变量的增大而减小的x的取值范围．
【分析】（1）把A点坐标代入抛物线解析式可得到关于a的方程，可求得a的值；
（2）把二次函数解析式化为顶点式可求得其及对称轴；
（3）利用二次函数的开口方向、增减性可求得答案．
解：（1）∵二次函数y＝ax2+4x+2的图象经过点A（3，﹣4），
∴﹣4＝9a+12+2，
解得：a＝﹣2，
∴a的值为﹣2；
（2）由（1）可知抛物线解析式为y＝﹣2x2+4x+2＝﹣2（x﹣1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝1；
（3）∵抛物线开口向下，对称轴为x＝1，
∴当x≥1时，y随x的增大而减小．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，由函数图象上的点的坐标满足函数解析式求得a的值是解题的关键．
20．某校在数学实践活动中，数学组准备了4个活动课题，活动1用作图软件探究抛物线的性质；活动2用旋转设计图案；活动3探究四点共圆的条件；活动4探究旋转前后对应点坐标关系．九1班数学老师准备采取随机抽签的方式把学生分成4组，共同“研学”活动课题．
（1）九1班学生小海希望能抽签到活动1，则他能心想事成的概率是 　　；
（2）小海和他的好朋友小江希望能在不同小组，这样可以相互分享学习成果，则他们在不同小组的可能性能否大于70%？请用树形图或列表法来验证你的判断是否正确．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）设四个小组分别为A、B、C、D，根据题意，可以列出如下的表格，从表格中找到两个人不在同一小组的情况，根据概率公式求解即可．
解：（1）九1班学生小海希望能抽签到活动1，则他能心想事成的概率是，
故答案为：；
（2）答：他们不在同一小组的可能性能大于70%，
理由：设四个小组分别为A、B、C、D，根据题意，可以列出如下的表格：

A
B
C
D
A
AA
AB
AC
AD
B
BA
BB
BC
BD
C
CA
CB
CC
CD
D
DA
DB
DC
DD
由表可知，共有16种等可能情况，其中两个人不在同一小组的情况有12种，
所以P（两人不在同一小组）＝＝＞70%，
所以他们不在同一小组的可能性能大于70%．
【点评】此题主要考查了列举法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．如图，A，B是⊙O上的两点，C是的中点．求证：∠A＝∠B．

【分析】连接OC．证明△AOC≌△BOC（SAS），可得结论．
【解答】证明：连接OC．

∵C是的中点，
∴，
∴∠AOC＝∠BOC，
在△AOC和△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC（SAS），
∴∠A＝∠B．
【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
22．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 　0.6　．（结果保留小数点后一位）
（2）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
（3）如果再加入若干个白球后，使摸到白球的概率为0.8，求加入的白球数量．
【分析】（1）根据利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在0.6左右，由此可估计摸到白球的概率为0.6；
（2）根据（1）可得摸到白球的概率是0.6，再用1减去白球的概率，即可得出黑球的概率；
（3）用总的个数乘以摸到黑球的概率，即可得出答案．
解：（1）根据摸到白球的频率稳定在0.6左右，
所以摸到白球的频率将会接近0.6；
故答案为：0.6；
（2）由（1）可得：
白球有20×0.6＝12（个），黑球有20﹣12＝8个，
答：黑球有8只，白球有12个；
（3）设加入白球x个，
根据题意得：，
解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的解，
答：加入的白球数量为20只．
【点评】此题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D的切线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：AE⊥EF；
（2）若∠AOD＝120°，AB＝8，
①求AC的长；
②求图中阴影部分（区域DBF）的面积．

【分析】（1）先证明∠ODA＝∠EAD得到OD∥AE，再根据切线的性质得到OD⊥EF，然后根据平行线的性质得AE⊥EF；
（2）①连接BC，如图，先根据平行线的性质得到∠EAB＝60°，再根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，所以∠CBA＝30°，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系得到AC＝4；
②先计算出∠DOF＝60°，∠F＝30°，则OD＝4，DF＝OD＝4，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影部分＝S△DOF﹣S扇形DOB进行计算．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD．
∴∠ODA＝∠EAD，
∴OD∥AE，
∵EF为⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥EF，
∴AE⊥EF；
（2）解：①连接BC，如图，
∵∠AOD＝120°，OD∥AE，
∴∠EAB＝60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝30°，
∴AC＝AB＝4；
②∵∠AOD＝120°，
∴∠DOF＝60°，
∴∠F＝30°，
∵AB＝8，
∴OD＝4，
在Rt△ODF中，∵∠F＝30°，
∴DF＝OD＝4，
∵S△ODF＝OD•DF＝×4×4＝8，
S扇形DOB＝＝π，
∴S阴影部分＝S△DOF﹣S扇形DOB＝8﹣π．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和扇形面积的计算．
24．我市某水产店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出600kg，销售价每涨一元，月销售量就减少10kg．
（1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位t元/千克）之间的函数解析式；
（2）当销售价定为55元时，计算月销售量和利润；
（3）水产店老板想通过自己的勤奋努力，争取月收入达万元，他的愿望能实现吗？
【分析】（1）由月销售利润＝每千克的利润×可卖出千克数，把相关数值代入即可；
（2）根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克”，可知：月销售量＝500﹣（销售单价﹣50）×10，然后再求出利润即可；
（3）根据（1）中解析式，由函数性质求函数最值．
解：（1）设该水产品的售价为x元，
根据题意每月可卖出水产品600﹣10（x﹣50）＝（﹣10x+1100）kg，
∴y＝（x﹣40）（1100﹣10x）＝﹣10x2+1500x﹣44000，
∴y与x的函数表达式为y＝﹣10x2+1500x﹣44000；
（2）当销售单价定为每千克55元时，
月销售量为：﹣10×55+1100＝550（千克），
利润＝550×（55﹣40）＝8250元；
（3）∵y＝﹣10x2+1500x﹣44000＝﹣10（x﹣75）2+12250，
∴当x＝75时，利润最大为12250元，
∵12250＞10000，
∴老板的愿望能实现．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，能正确表示出月销售量是解题的关键．
25．如图，四边形ABCD是⊙O内正方形，P是圆上一点（点P与点A，B，C，D不重合），连接PA，PB，PC．
（1）若点P是上一点，
①∠BPC度数为 　45°　；
②求证：PA+PC＝PB；
小明的思路为：这是线段和差倍半问题，可采用截长补短法，请按小明思路完成下列证明过程（也可按自己的想法给出证明）．
证明：在PC的延长线上截取点E．使CE＝PA，连接BE．
（2）探究当点P分别在，，上，求PA，PB，PC的数量关系，直接写出答案，不需要证明．


【分析】（1）①理由正方形的性质和圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半解答即可；
②在PC的延长线上截取点E．使CE＝PA，连接BE，利用全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用截长补短法，依题意画出相应图形，按小明思路完成解答即可．
【解答】（1）①解：∠BPC＝45°，理由：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴的度数为90°，
∴∠BPC＝90°＝45°，
故答案为：45°；
②证明：在PC的延长线上截取点E，使CE＝PA．连接BE，如图，

∵四边形ABCD是⊙O内接正方形，
∴AB＝BC，
又∵点P在上，
∴四边形ABCP为⊙O内接四边形
∴∠PAB＝∠BCE．
在△PAB和△ECB中，
，
∴△PAB≌△ECB（SAS），
∴PB＝PE，∠ABP＝∠CBE，
∵∠ABP+∠PBC＝90°，
∴∠PBC+∠CBE＝90°
∴∠PBE＝90°，
∴△PBE为等腰直角三角形，
∴PE＝PB，
∴PA+PC＝CE+PC＝PE＝PB；
（2）当点P在上时，PC﹣PA＝PB；
在PC上取点E，使CE＝PA，连接BE，如图，

∵四边形ABCD是⊙O内接正方形，
∴AB＝BC，
在△PAB和△ECB中，
，
∴△PAB≌△ECB（SAS），
∴PB＝PE，∠ABP＝∠CBE，
∵∠ABE+∠EBC＝90°，
∴∠PBA+∠ABE＝90°，
∴∠PBE＝90°，
∴△PBE为等腰直角三角形，
∴PE＝PB，
∴PC﹣PA＝PC﹣EC＝PE＝PB；
当点P在上时，PA﹣PC＝PB，
在PA上取点E，使AE＝PC，连接BE，如图，

∵四边形ABCD是⊙O内接正方形，
∴AB＝BC，
在△ABE和△BCP中，
，
∴△ABE≌△BCP（SAS），
∴BE＝BP，∠ABE＝∠CBP，
∵∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠CBE+∠CBP＝90°，
∴∠EBP＝90°，
∴△EBP为等腰直角三角形，
∴PE＝PB，
∴PA﹣PC＝PA﹣AE＝PE＝PB；
当点P在上时，PA+PC＝PB，理由：
在PA的延长线上截取点E，使AE＝PC，连接BE，如图，

∵四边形ABCD是⊙O内接正方形，
∴AB＝BC，
又∵点P在上，
∴四边形ABCP为⊙O内接四边形
∴∠EAB＝∠BCP．
在△EAB和△PCB中，
，
∴△EAB△PCB（SAS），
∴BE＝BP，∠ABE＝∠PBC．
∵∠ABP+∠PBC＝90°，
∴∠ABP+∠ABE＝90°，
∴∠EBP＝90°．
∴△EBP为等腰直角三角形，
∴PE＝PB，
∴PA+PC＝PA+AE＝PE＝PB．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，理解并熟练应用截长补短法，构造恰当的辅助线解答是解题的关键．
26．已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）经过点（2，﹣1），当1﹣2m≤x≤1+3m时，y的最小值为﹣2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当n＜x＜n+1时，y的取值范围是2n+1＜y＜2n+4，求n的值．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用二次函数的图象和性质，结合函数的图象分别计算对应的函数值，列出关于n的方程，解方程即可得出结论．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）经过点（2，﹣1），
∴4a+2b﹣1＝﹣1，
∴b＝﹣2a．
∴y＝ax2﹣2ax﹣1，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵当1﹣2m≤x≤1+3m时，y的最小值为﹣2．
∴当x＝1时，a﹣2a﹣1＝﹣2，
解得：a＝1．
∴y＝x2﹣2x﹣1；
（2）由（1）知，抛物线为y＝（x﹣1）2﹣2．
∵当n＜x＜n+1时，y的取值范围是2n+1＜y＜2n+4，
∴y不能取最小值﹣2，即n，n+1在对称轴x＝1的同侧．
分两种情况讨论：
①n+1＜1，即n＜0时，
在对称轴左侧y随x的增大而减小，
当x＝n时，（n﹣1）2﹣2＝2n+4，
解得：n＝﹣1或n＝5，
当x＝n+1时，（n+1﹣1）2﹣2＝2n+1，
解得：n＝﹣1或n＝3，
∵n＜0，
∴n＝﹣1．
②n＞1时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，
当x＝n时，
（n﹣1）2﹣2＝2n+1，
整理得：n2﹣4n﹣2＝0．
当x＝n+1时，
（n+1﹣1）2﹣2＝2n+4，
整理得：n2﹣2n﹣6＝0．
∵n2﹣4n﹣2＝0与n2﹣2n﹣6＝0不一致，
∴不合题意，舍去．
综上所述，当n＜x＜n+1时，y的取值范围是2n+1＜y＜2n+4时，n＝﹣1．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的极值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．