专题03 基本不等式-【备考集训】2022-2023学年高一数学上学期专题训练+期中期末全真模拟卷(人教A版2019必修第一册)

专题03  基本不等式

训练题评讲中的考点、题型、知识与技巧点拨总结

1. 利用基本不等式求最值时，要反复强调以下这三个条件：

（1）“一正”；（2）“二定”；（3）“三相等”。 如第1题。

2. “和与积”互相转化，是基本不等式使用的重要思维和技巧。如第2题和第3题，可利用此题，引导学生观察和总结这个互化规律。
3. “1”的代换综合型，就是构造分母，盯着分母，把分母看做整体，分离构造分母（也可以换元解决）是最常见的一种技巧。如第4题第5题。
4. 注意这个式子中体现出来的因式分解思维：。如第6题。实际上是“有和有积因式分解”型、“有和有积有（无）常数”这个模型，这类题比较难的，就是条件和结论中的“和”系数不一样。

专题集训题选

1.已知，且，则的最小值为（    ）

A．9 B．10 C．11 D．

【答案】A

【分析】

利用“乘1法”将问题转化为求的最小值，然后展开利用基本不等式求解．

【详解】

，，又，且，

，

当且仅当，解得，时等号成立，

故的最小值为9．

故选：A．

2.（多选题）已知正数a，b满足，则（    ）

A．的最小值为2 B．的最小值为4

C．的最小值为8 D．的最小值为8

【答案】BD

【分析】

先利用基本不等式求得判断B；再结合对勾函数的性质判断A；利用基本不等式取等号条件判断C,D.

【详解】

对于B，因为a，b都是正数，，当且仅当，即时，等号成立，故，即的最小值为4，故B正确；

对于A，由选项B知，结合对勾函数性质知，故A错误；

对于C，，前一个等号成立的条件是，即，而后一个等号成立的条件是，即，等号不具有传递性，故，故C错误；

对于D，，两个等号成立的条件都是，即，等号具有传递性，故，故D正确；

故选：BD

3.（多选题）下列关于基本不等式的说法正确的是（    ）

A．若，则的最大值为

B．函数的最小值为2

C．已知，，，则的最小值为

D．若正数数x，y满足，则的最小值是3

【答案】AC

【分析】

根据均值不等式求最值，注意验证等号成立的条件.

【详解】

因为，所以，，

当且仅当即时，等号成立 ，故A正确；

函数，当且仅当，即时，等号成立，故B错误；

因为，，，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，故C正确；

由可得，，当且仅当，即时等号成立，故D错误.

故选：AC

4.若 ，则有（    ）

A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值

【答案】A

【分析】

将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得.

【详解】

因，则，

于是得，当且仅当，即时取“=”，

所以当时，有最大值.

故选：A

5.若正数、满足，则的最小值为________.

【答案】

【分析】

由可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】

已知正数、满足，则，

所以，，

当且仅当时，等号成立.因此，的最小值为.故答案为：.

6.已知，，且，则的最大值为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】

由已知条件可得，令，，可得，，，进一步可得，最后利用基本不等式求出最大值即可.

【详解】

，，配凑得：，

两边同时除以4得：，即，

令，，则，，，

所以

（当且仅当即时，等号成立）.

故选：C.

7.已知实数，满足，则的最小值是______

【答案】

【分析】

将所求代数式变形为，然后利用基本不等式可求最小值.

【详解】

,

,

,当且仅当时，即当时，等号成立，

因此的最小值为.

故答案为：

8.设，则取得最小值时，的值为（    ）

A． B．2 C．4 D．

【答案】A

【分析】

转化条件为原式，结合基本不等式即可得解.

【详解】

，当且仅当，即，，时，等号成立.

故选：A.

9.设，，是三个正实数，且，则的最大值为______.

【答案】3

【分析】

由得到，代入转化为，令，，得到，利用基本不等式求解.

【详解】

因为，所以，所以，

令，所以，

当且仅当，即时，取等号，所以

所以的最大值为3。故答案为：3

10.若实数满足，则的最大值为________.

【答案】

【分析】

已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值.

【详解】

由，得，设，其中.

则，从而，记，则，

不妨设，则,当且仅当，即时取等号，即最大值为.

故答案为：.

11.已知且，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】

令，，将已知条件简化为；将用表示，分离常数，再使用“乘1法”转化后利用基本不等式即可求得最小值．

【详解】

解：令，，因为，所以，

则，，所以,

所以

，

当且仅当，即，，即时取“”，

所以的最小值为.

故答案为：.

12.若正实数满足，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】

由已知等量关系得，代入目标式化简得，应用基本不等式求最小值即可.

【详解】

由且知：，∴当且仅当时等号成立，即时等号成立.

故答案为：

13.已知，，且，则的最大值为____．

【答案】

【分析】

由，，

利用均值不等式得，

解得的取值范围，进而求得的最大值.

【详解】

由，，得，即

又，当且仅当，即时，取等，

故，解得或（舍）故，即的最大值为，

故答案为：.

14.已知，则的最小值为________.

【答案】

【分析】

利用可把变形为，该式可进一步变形为，利用基本不等式可求的最小值，从而得到所求的最小值.

【详解】

由题意得，所以，即，消去，得.

记，注意到，

则，

当且仅当即时等号成立，

所以最小值为.故答案为：.

15.已知实数，满足，，且，则的最小值为________．

【答案】5

【分析】

设，，则，可得，展开后利用基本不等式求解即可.

【详解】

设，，则，且，

当且仅当，即时取等号．此时，有解．故答案为：5.

16.设正数a，b满足， ，则的最大值是________.

【答案】18

【分析】

变形已知，利用基本不等式构造，由化简可得解.

【详解】

，

，，

当且仅当即 或时等号成立.故答案为：18

17.已知正数满足：，则的最小值是_____________．

【答案】2.

【分析】

将等式两边同时乘以，然后利用基本求解出，同时分析取的条件是否满足.

【详解】

因为，所以，

所以，所以，

所以，取等号时，

所以，所以，

当时，符合条件，所以.故答案为：.

18.若对任意的，对任意的，不等式恒成立，求的最大值.

【答案】33

【分析】

设，对讨论，分，，，判断的单调性，求得最值，由不等式的性质和不等式的解法，可得所求最大值．

【详解】

设，

当时，，可得的最小值为 ，最大值为，

由题意可得，即为，则 ；

当时，，可得的最小值为，最大值为，

由题意可得，即为，则．

当即时，在递减，可得的最大值为，最小值为，

由题意可得，即为，则，

由，可得无最大值．

综上可得的最大值为．

19.已知a，b，c均为正实数，且满足.

证明：（1）；

（2）.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）首先推得，再由条件转化为的式子，运用基本不等式可得结论；

（2）运用基本不等式推得，，，再相加即可得到所求结论．

【详解】

（1）由，，均为正实数，且满足，

，

可得，当且仅当时取得等号．

则，

当且仅当，时取得等号．

（2）由，，均为正实数，且满足，

，当且仅当取得等号，

同理可得，当且仅当取得等号，

同理可得，当且仅当取得等号，

上面三式相加可得（当且仅当时取得等号）．

20.已知函数f（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|．

（1）求不等式f（x）≤5的解集；

（2）若存在实数x0，使得f（x0）≤5+m﹣m2成立的m的最大值为M，且实数a，b满足a3+b3＝M，证明：0＜a+b≤2．

【答案】(1) ;(2)证明见解析.

【分析】

(1)先将不等式进行化简可得，利用绝对值的几何意义求解.

(2)结合绝对值的几何意义求出的最小值，从而求出得到，利用基本不等式即可证明.

【详解】

(1) 解：，则，

由绝对值的几何意义可得和时使得等号成立，所以解集为

(2)证明：由绝对值的几何意义已知的最小值为，

所以，解得，所以，所以，

因为，，

所以，由得，

，

则，综上所述，.

21.已知函数的定义域为.

（1）求实数的取值范围；

（2）设实数为的最大值，若实数满足，求的最小值.

【答案】（1）（2）

【分析】

（1）由定义域为，只需求解的最小值，即可得实数的取值范围；

（2）根据（1）求得实数的值，利用基本不等式即可求解最小值．

【详解】

（1）函数的定义域为.

对任意的恒成立，

令，则，

结合的图像易知的最小值为，所以实数的取值范围.

（2）由（1）得，则，所以，

，

当且仅当，即，，时等号成立，

的最小值为.

【点睛】

本题主要考查了含绝对值函数的最值，转化思想和基本不等式的应用，考查了分析能力和计算能力，属于难题.