专题02 集合中新定义与最值-【备考集训】2022-2023学年高一数学上学期专题训练+期中期末全真模拟卷(人教A版2019必修第一册)

专题02  集合中新定义与最值

训练题评讲中的考点、题型、知识与技巧点拨总结

这是第一章集合和充要条件复习的一个难点题型。

1、压轴题或者尖子生班拔高班考试题之一，就是本专题所选的大题。训练时，本专题大题，可以适当的增减选择。

2、对于复杂多变的情况，分类讨论甚至枚举法是这类题的主要方法。如第1题和第2题以及本专题的许多题，都是讨论和枚举为核心思想之一。

3、新定义题型的难点在于阅读和转化。如第3题。

4、注意构造一元二次型，不要受字母形式的束缚。如第5题。

5、了解和研究实数集，有理数集，无理数集等等数论方面一些基础相关知识，如第6题

6、多个不等式进行混合运算时，要注意基本运算“陷阱”：

 （1）同向；（2）正负。如第7题

7、研究各种情况下元素的个数，是教材第15页阅读材料的内容，这个知识往往是考试出题的扩扎点之一，但是在教学中却容易被忽略。如第11题和第12题。

专题集训题选

1．已知集合.若，且对任意的，，均有，则集合B中元素个数的最大值为

A．25 B．49 C．75 D．99

2．设A是由所有分量为1或0的n元有序数组构成的集合，即或，对A中元素：与，定义：如：时，，取A中元素，则则当时，要使得A的一个子集B中任意两个不同元素，均满足，则B中元素最多有：（    ）

A．10个 B．5个 C．8个 D．6个

3．由无理数引发的数学危机一直延续到世纪，直到年，德国数学家戴金德提出了“戴金德分割”才结束了持续多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中一定不成立的是（    ）

A．没有最大元素，有一个最小元素

B．没有最大元素，也没有最小元素

C．有一个最大元素，有一个最小元素

D．有一个最大元素，没有最小元素

4．设，其中，，，是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是错误的，则满足条件的的最大值与最小值的差为（      ）

A． B． C． D．

5．已知集合，若且集合中恰有2个元素，则满足条件的集合的个数为（    ）．

A．1 B．3 C．6 D．10

6．(多选题)已知集合，满足，，全集，则下列说法中可能正确的有（    ）

A．没有最大元素，有一个最小元素 B．有一个最大元素，没有最小元素

C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．没有最大元素，也没有最小元素

7．对于任意两个正实数，定义．其中常数，“×”是通常的实数乘法运算，若，与都是集合中的元素，则+的最小值是_____．

8．设集合，若非空集合同时满足①，②（其中表示中元素的个数，表示集合中最小元素），称集合为的一个好子集，的所有好子集的个数为______.

9．某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是__________．

10．已知非空集合满足，若存在非负实数，使得对任意，均有，则称集合具有性质.那么具有性质的集合的个数为___________

11．对于平面上的两个点，，若满足①，②，③前面两个不等式中至少有一个“”不成立，则称是相对于的一个优先点，记作“”. 已知点集.

（Ⅰ）若，，则可以构成_____组优先点；

（Ⅱ）若点集，且集合中的任意两个点都不能构成一组优先点，则集合中的元素最多可以有_____个．

12．（1）设是任意一个11元正实数集合，令集合，则的元素个数的最小值为______．

（2）设是任意一个11元非负实数集合．令集合，则的元素个数的最小值为______．

13．设集合，，，…，，都是的含有两个元素的子集，则______；若集合是由这个元素中的若干个组成的集合，且满足：对任意的，都有，，且，则中元素个数的最大值是______

14．对于集合.

.集合中的元素个数记为.规定：若集合满足，则称集合具有性质.

（1）已知集合，，写出，并求出此时的值；

（2）已知均有性质，且，求的最小值.

15．已知集合为非空数集，定义：，.

（1）若集合，直接写出集合、；

（2）若集合，，且，求证：；

（3）若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值.

16．对于四个正数、、、，如果，那么称是的“下位序对”

（1）对于、、、，试求的“下位序对”；

（2）设、、、均为正数，且是的“下位序对”，试判断、、之间的大小关系；

（3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在，使得是的“下位序对”，且是的“下位序对”.求正整数的最小值.

17．已知集合，对于A的子集S若存在不大于的正整数，使得对于S中的任意一对元素、，都有，则称具有性质.

（1）当时，判断集合和是否具有性质P？并说明理由；

（2）若时，

①如果集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P？并说明理由；

②如果集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值.

18．已知表示非空集合A中的元素的个数．

（1）定义，若，设实数a的所有可能取值构成集合S，求的值；

（2）已知集合，对于M的子集N若存在不大于1000的正整数m，使得对于N中的任意一对元素，都有，求的最大值．

19．已知，，，记，用表示有限集合的元素个数.

（I）若，，，求；

（II）若，，则对于任意的，是否都存在，使得？说明理由；

（III）若，对于任意的，都存在，使得，求的最小值.

20．对非空数集，，定义，记有限集的元素个数为.

（1）若，，求，，；

（2）若，，，当最大时，求中最大元素的最小值；

（3）若，，求的最小值.

21．已知集合，．

（1）若，且，求实数及的值；

（2）在（1）的条件下，若关于的不等式组没有实数解，求实数的取值范围；

（3）若，且关于的不等式；的解集为，求实数的取值范围．

22．在“①函数的定义域为R，②，使得成立，③方程在区间内有解”这三个条件中任选一个，将其序号填在下面横线上，并进行解答．

问题：已知条件p：________，条件q：函数在区间上不单调，若p是q的必要条件，求实数a的最大值．