专题09 三角函数ω 应用及最值值域-【备考集训】2022-2023学年高一数学上学期专题训练+期中期末全真模拟卷(人教A版2019必修第一册)

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专题09  三角函数中的应用与值域最值归类训练卷评讲中的考点、题型、知识与技巧点拨总结三角函数求值域最值以及的应用属于难点之一，一般有如下常见求法归类1.求值，多借助最值、单调性待定系数，根据限制条件，适当的取k的值来确定复合条件的值，如例题1.属于授课重点分析题型2.在根据不同条件待定系数时，要注意不同式子中2kπ中整数k要有不同字母表示，防止“串位”，这个地方是许多中等学生经常遗忘的点，如例题5.3.求值域基础：换元画图求值域。如例题64.求值域基础：降幂公式+二倍角→辅助角型。如例题7.5.求值域基础：“一次含参讨论型”，如例题86.求值域基础：“一元二次换元型”，强调“消元换元”后新变量范围的变化，如例题97.求值域综合：对数函数型，一定要强调换元，这样画图，学生容易理解为什么能取到，如例题10.8.求值域综合：打散→重组→辅助角型。如例题119.求值域综合：分式型之分子分母同函数名。如例题12.本题也可以转化成再分离常数转化为“反比例”函数。10.求值域综合：分式型之分子分母不同函数名，如例题13.本题也可以用反解辅助角法。11.求值域综合：无理根式三角换元型，如例题14.12.求值域综合：一元二次函数根的分布型，如例题1513.求值域综合：型，固定“套路法”，如例题1614.求值域综合：消元+正余弦有界性，如例题17. 专题集训题选1.已知函数，若，则上具有单调性，那么的取值共有（   ）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个【答案】D【解析】因为，所以 因此 ，因为在上具有单调性，所以 因此 ，即的取值共有9个，选D.2.已知函数, 其图象与直线相邻两个交点的距离为若对恒成立，则的取值范围是(    )A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：由题意可得函数的周期为 求得．再根据当时， 恒成立， ，由此求得的取值范围．详解：函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，故函数的周期为 若对恒成立，即当时， 恒成立，，故有，求得 结合所给的选项，3.已知函数，且，则实数的值可能是（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】分析：首先根据题的条件，确定出函数图像的对称中心的坐标和对称轴方程，之后借着对称中心到对称轴的距离与函数周期的关系，得到，再结合求得，从而求得结果.详解：根据题意可知，点是图像的一个对称点，直线是图像的一条对称轴，所以会有，从而可以求得，所以有，从而得，从而可以求得可以是3，故选B.4.函数 ,若在区间上是单调函数,且则的值为（    ）A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】分析：由在区间是有单调性，可得范围，从而得；由，可得函数关于对称，又，有对称中心为；讨论与是否在同一周期里面相邻的对称轴与对称中心即可．详解：因为在单调，∴，即，而；若，则；若，则是的一条对称轴，是其相邻的对称中心，所以，∴.故选B.5.已知函数，对x∈R恒有，且在区间上有且只有一个的最大值为A． B． C． D．【答案】B【分析】利用的对称性与最值得到，然后逐一检验是否适合题意即可.【详解】由题意知，,则，k ，其中k =，，故与同为奇数或同为偶数.在上有且只有一个最大，且要求最大，则区间包含的周期应该最多，所以，得，即，所以.当时，，为奇数，，此时，当或6.5时，都成立，舍去；当时，，为偶数，，此时，当或4.5π时，都成立，舍去；当时，，为奇数，，此时，当且仅当时，成立..综上所述，最大值为.故选B6.求函数，的最值，并求出相应的x的值．【答案】最大值为1，相应的x的值为；最小值为，相应的x的值为.【分析】根据余弦型函数的图象与性质，即可求解.【详解】由，可得，当时，即，函数取得最小值，最小值为；当时，即，函数取得最大值，最大值为.7.求函数的最大值与最小值，并写出使函数y取得最值时的x的集合.【答案】当时，；当时，【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后利用正弦函数的性质求解即可【详解】函数.当，即时，函数取得最大值，当，即时，函数取得最小值，所以当时，；当时，8.若的最大值为，最小值为，求的最值．【答案】答案见解析．【分析】当时，由余弦函数的性质可得，求出，的值，再由正弦函数的性质可求得最值；当时，由，求出，的值，再由正弦函数的性质可求得最值.【详解】当时，当时，取得最大值为；①当时，取得最小值为．②由①②解得，，此时，所以的最大值为，最小值为．当时，当时，取得最大值，为；③当时，取得最小值，．④由③④解得，，此时，所以的最大值为，最小值为．综上所述：当时，的最大值为，最小值为，当时，的最大值为，最小值为．9.求函数的值域，并求出取得最值时的取值.【答案】，取到最大值时，取到最小值时.【分析】化简可得，令可得，由二次函数的图像开口向上且对称轴为，可知当分别取到最大值和最小值，分别求得对应的的值即可得解.【详解】，令，则，，对称轴为，故当时，，时取到最大值为4，当时，，时取到最小值为，所以值域为，取到最大值时，取到最小值时.10.函数的值域为（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用三角函数的有界性求出的范围，再利用对数函数的性质可得答案.【详解】因为，且函数在定义域内递增，所以，即函数的值域为，故选：A.11.函数的值域为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用降幂公式，两角和的余弦公式化简函数，再结合辅助角公式，即可求得函数的值域.【详解】∵函数∴，其中.∵∴函数的值域为.故选：B.12.函数的值域为______．【答案】【分析】反解法，用表示，由可求得的范围即值域．【详解】解析：原函数整理得．∵，∴，解得或，即函数的值域为．故答案为：13.．已知函数，则函数的值域是______．【答案】【分析】根据题意，把原函数转化为两点间的斜率问题，结合直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】函数表示单位圆上的点与点连线的斜率.设过点的与单位圆相切的方程为，由圆心到切线的距离等于半径，可得，解得，故点与点连线的斜率范围是，因此 函数的值域是.故答案为：.14.函数的值域为________．【答案】【分析】函数的定义域为，设将原函数转化为关于的三角函数，利用同角三角函数基本关系以及辅助角公式，余弦函数的性质即可求解.【详解】由可得，即函数的定义域为所以设，，则，因为，所以，所以，所以，所以函数的值域为，故答案为：.15.函数（）的值域是__________．【答案】【分析】由题意得到，整理得，看出关于的一元二次方程，设，转化为在上有实根，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由，可得，即，整理得，将上述方程看成关于的一元二次方程，因为，可得，设，可得，则关于t的一元二次方程在上有实根，令，因为，，则满足，即，解得．即函数的值域是．故答案为：．16.求函数的值域．【答案】【分析】根据题意，令，则，进而转化为一元二次函数处理即可.【详解】根据题意，令，则，因为，所以，因此，因为    ，所以，故函数值域为.17.已知，求的最值.【答案】，.【分析】由已知得，再根据正弦函数的值域求得，由二次函数的性质可求得最值.【详解】解：因为，所以，所以.又因为，所以，结合，解得.故当时，；当时，.18.已知函数的最大值为，函数分别在和处取得最值（），则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将函数解析式整理，得到，求出和最小正周期，根据三角函数的性质，求出，进而可得出结果.【详解】因为，所以，且函数的最小正周期为，又函数分别在和处取得最值（），所以，因此的最小值为.故选：B.19.已知为锐角，求函数的最值.【答案】函数有最小值16，无最大值【分析】首先对已知函数求导，然后求出其单调区间，进而求出最值.【详解】因为，，所以，当时，解得，，即，故.当时，；当时，，所以在上单调递减，在单调递增，故当时，函数有最小值16，无最大值.20.已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】化简函数解析式得，根据其值域，可得，，求解出对应的范围，代入即可得的范围.【详解】由化简得.因为其值域为，不妨设，，即，，则得.故选：D.21.已知，且满足，则的值域为______.【答案】【分析】根据已知条件，运用三角函数的有界性，可得，再结合三角函数的单调性，即可求解值域．【详解】解：，则，可得，，，设，，的对称轴为，在区间上单调递增，，，的值域为．故答案为：．22.函数的值域为______.【答案】【分析】，令，则，然后用法求解即可.【详解】由题可得，，令，则，即，当，即时，；当，即时，要使方程有解，则需，得.综上，故答案为：23.已知函数，则的值域为_______．【答案】【分析】利用换元法，令，进而可得，再利用函数的单调性即可求解.【详解】由令，则，所以，又对勾函数的单调递减区间为，；单调递增区间为，，结合对勾函数的图象，如下：所以，所以，所以函数的值域为.故答案为：.24.已知函数对于，都有，恒成立，且在区间上无最值.现将的图象向左平移个单位后得函数的图象，则的零点个数为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据已知条件求得解析式，由此求得解析式，令，转化为两个函数图象交点个数来确定正确选项.【详解】依题意满足， ，所以关于对称，，所以关于对称.由于在区间上无最值，所以，，所以与是相邻的一个对称中心和对称轴.所以，，，，由于，，所以，所以.将的图象向左平移个单位后得函数.令，得，画出和的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有个交点，所以有个零点.故选：B25.已知函数（，）对于R，都有，恒成立，且在区间上无最值.现将的图像向左平移个单位后得函数的图像，则的增区间为（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】由已知得是函数的对称中心，是函数的对称轴，，根据周期公式和代入特殊点的函数值求得，，得出函数的解析式，再由图象的平移得出函数的解析式，由正弦函数的单调性可得选项.【详解】因为，所以是函数的对称中心，所以，又，所以是函数的对称轴，又在区间上无最值，所以函数的最小正周期，所以，所以，又，即，又，所以，所以，将的图像向左平移个单位后得函数的图像，所以，所以，即，函数单调递增，故选：C.26.将函数的图像向左平移个单位长度，得函数的图像，若在内只有两个最值（即最大值和最小值），则的最大正整数值为（    ）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】本题首先可将转化为，然后根据图像变换得出，再然后根据得出，最后根据正弦函数性质得出，通过计算即可得出结果.【详解】，向左平移个单位长度，得到函数，因为，所以，因为在内只有两个最值，所以，解得，的最大正整数值为，故选：B.