河南省洛阳市洛宁县2022—2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年河南省洛阳市洛宁县九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为和，则图中阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 计算式子的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 一个菱形的边长是方程的一个根，其中一条对角线长为，则该菱形的面积为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

7. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

8. 如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点、、和、、，若，则的值为(    )
    

A.
B.
C.
D.

9. 如图，等边三角形的边长为，点为边上一点，且，点为边上一点，若，则的长为(    )
    

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为点，连接，下面四个结论：；；∽；，其中正确的结论有(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共5小题，共15分）

11. 若二次根式是最简二次根式，则可取的最小整数是______ ．
12. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为______．
13. 如图，在▱中，是边上的中点，连接，并延长交延长线于点，则的比值是______．

14. 如图，在中，，点是的中点，点是线段上的动点，，，当和相似时，的长为______ ．

15. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：方程是倍根方程；若是倍根方程，则；若，则关于的方程是倍根方程；若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为其中正确的是______写出所有正确说法的序号

三、解答题（本题共8小题，共75分）

16. 计算：
    ；
    ．
17. 解下列方程：
    ；
    ；
    ；
    用配方法
18. 先化简再求值 ，其中．
19. 已知关于的方程．
    当该方程的一个根为时，求的值及该方程的另一根；
    求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
20. 为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为元时，每天可售出个；若销售单价每降低元，每天可多售出个．已知每个电子产品的固定成本为元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利元？
21. 如图，在中，，为边上的中线，于点．
    求证：．
    若，，求线段的长．
     
22. 如图，在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，．
    求证：∽；
    若，，求的值．
     
23. 将正方形的边绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，．
    如图，当时，的形状为______，连接，可求出的值为______；
    当且时，
    中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
    当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
直接利用二次根式的概念．形如的式子叫做二次根式，进而得出答案．
【解答】
解：二次根式在实数范围内有意义，
，
解得：，
则实数的取值范围是：．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.无法合并，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】【解答】
解：由题意可得，
大正方形的边长为，小正方形的边长为，
所以图中阴影部分的面积为：，

本题考查算术平方根，解答本题的关键是求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
 

4.【答案】 

【解析】解：



，
故选：．
先根据积的乘方进行变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式和积的乘方等知识点，能灵活运用平方差公式进行计算是解此题的关键，注意：．
 

5.【答案】 

【解析】解：由原方程，得
，
，
则，
故选A．
先把常数项移到等号的右边，再化二次项系数为，等式两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可解答．
本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元二次方程因式分解法，也考查了三角形三边的关系和菱形的性质．
利用因式分解法解方程得到，，利用菱形的对角线互相垂直平分和三角形三边的关系得到菱形的边长为，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线为，然后计算菱形的面积．
【解答】
解：，
所以，，
菱形一条对角线长为，
菱形的边长为，
菱形的另一条对角线为，
菱形的面积．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：且．
故选：．
利用一元二次方程有实数根的条件得到关于的不等式组，解不等式组即可得出结论．
本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，利用已知条件得到关于的不等式组是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
；
故选：．
直接利用平行线分线段成比例定理进而得出，再将已知数据代入求出即可．
此题主要考查了平行线分线段成比例定理，得出是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
根据两角对应相等的两个三角形相似，即可证得∽，然后根据相似三角形的对应边的比相等即可求得的长．
本题主要考查了相似三角形的判定以及应用，正确证得两个三角形相似是解题的关键．
【解答】
解：
，
．
又，
∽．
，
，，
，
．
．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
，
，
，故正确；
如图，过作交于，

，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
于点，，
，
垂直平分，
，故正确；
四边形是矩形，
，，，
于点，
，，
∽，故正确；
如图，连接，

由∽，可得，
设的面积为，则的面积为，的面积为，
的面积为，
是的中点，
的面积为，
四边形的面积为，
，故正确．
故选：．
依据∽，即可得出；过作交于，依据垂直平分，即可得出；依据，，即可得到∽；设的面积为，则的面积为，的面积为，的面积为，四边形的面积为，进而得出．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．
 

11.【答案】 

【解析】解：二次根式是最简二次根式，
，
，
，
取整数值，
当时，二次根式为，不是最简二次根式，不合题意；
当时，二次根式为，是最简二次根式，符合题意；
若二次根式是最简二次根式，则可取的最小整数是．
故答案为：．
根据最简二次根式的定义解答即可．
本题主要考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得：
把代入方程中得：
，
解得：，
，
，
，
故答案为：．
根据题意可得：把代入方程中得：，从而可得，然后利用一元二次方程的二次项系数不为，可得，进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
∽，
是边上的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
由平行四边形的性质可证得，，从而可判定∽；再由是边上的中点及平行四边形的性质可得，从而可求得与的相似比，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方可求得答案．
本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：，，，
，
为的中点，
，
以、、为顶点的三角形与相似，
若∽，则，
即，
解得，
若∽，则，
即，
解得，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
利用勾股定理列式求出，根据线段中点的定义求出，根据翻折的性质可得≌，再根据两边对应成比例夹角相等，两三角形相似，分两种情况列式求解即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
 

15.【答案】 

【解析】解：解方程得：，，
方程是倍根方程，故正确；
是倍根方程，且，，
，或，
，，
，故正确；
，
解方程得：，，
，故正确；
方程是倍根方程，
设，
，
，
，故正确．
故答案是：．
解得方程后即可利用倍根方程的定义进行判断；
根据是倍根方程，且，，所以，或，从而得到，，进而得到正确；
已知条件，然后解方程即可得到正确的结论．
利用“倍根方程”的定义进行解答．
本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式

；
原式
． 

【解析】先计算开方，再计算乘法，最后计算加减即可；
先根据负整数指数幂、零指数幂及开方的运算法则计算，再计算加减即可．
此题考查的是实数的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
，
，；
，
，
或，
，；
，
，
或，
，；
，
，
，
，即，
，
，． 

【解析】利用直接开平方法求解即可；
利用因式分解法求解即可；
利用因式分解法求解即可；
利用配方法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式，
当时，原式． 

【解析】本题考查了分式的化简求值、二次根式分母有理化．解题的关键是对分式的分子、分母进行因式分解．
先通分，计算括号里的，再把除法转化成乘法进行计算，最后把的值代入计算即可．
 

19.【答案】解：设方程的另一个根为，
则由根与系数的关系得：，，
解得：，，
即，方程的另一个根为；

，
不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 

【解析】设方程的另一个根为，则由根与系数的关系得：，，求出即可；
写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果，是一元二次方程、、为常数，的两个根，则，，要记牢公式，灵活运用．
 

20.【答案】解：设降价后的销售单价为元，则降价后每天可售出个，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：．
，符合题意．
答：这种电子产品降价后的销售单价为元时，公司每天可获利元． 

【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设降价后的销售单价为元，则降价后每天可售出个，根据总利润每个产品的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
 

21.【答案】解：为边上的中线，
，
，
，，
，
，
；

在中，，，
，
，
即
． 

【解析】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用面积法确定线段的长．
想办法证明，即可解决问题；
利用面积法：求解即可；
 

22.【答案】解：，，
，
，
，
，
∽，
由可知：∽，
由可知：，
，
∽，
，
． 

【解析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于中等题型．
由于，，所以，从而可证明，进而可证明∽；
由∽，得，又易证∽，所以，从而可知．
 

23.【答案】解：等腰直角三角形；；
两结论仍然成立．
证明：连接，

，，
，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
即，
∽，
．
或．
若为平行四边形的对角线，
点在以为圆心，为半径的圆上，取的中点连接交于点，
过点作交的延长线于点，

由可知是等腰直角三角形，
，
由可知∽，且．
．
若为平行四边形的一边，如图，

点与点重合，
．
综合以上可得或． 

【解析】

【分析】
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
由旋转的性质得出，，证得是等边三角形，可得出是等腰直角三角形．证明∽，得出．
得出，则是等腰直角三角形，得出，证明∽，由相似三角形的性质可得出．
分两种情况画出图形，由平行四边形的性质可得出答案．
【解答】
解：绕点逆时针旋转至，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
四边形是正方形，
，
，
同理，
，
，，
，
∽，
．
故答案为：等腰直角三角形；．
见答案．