（挑战压轴）专题1.4 菱形中求线段和最小值问题-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版）

这是一份（挑战压轴）专题1.4 菱形中求线段和最小值问题-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版），共26页。
（挑战压轴）专题1.4 菱形中求线段和最小值问题
【方法技巧】




【典例分析】
【考点1 两定点，一动点】
【典例1】（2021春•海口期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1-1】（2020春•庐江县期末）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝4，BD＝4，E为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则EP+BP的最小值为（　　）

A．4 B．2 C．2 D．8
【变式1-2】（2021•埇桥区校级月考）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．4



【变式1-3】（2020•陕西模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN＝2，点M在BC上且BM＝BC，P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为　 　．

【考点2 一定点，两动点】
【典例2】（2021春•裕华区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝3，CE＝2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值（　　）

A．2 B．3 C．2 D．
【变式】（2020春•碑林区校级期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线BD＝8．点P、点Q分别是AB、BD上动点，则AQ+PQ的最小值为（　　）

A． B． C．5 D．
【考点3 三动点】
【典例3】（2021春•东昌府区期中）如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M、N分别是BC、CD上的动点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是（　　）

A． B． C． D．
【变式3-1】（2020•陕西模拟）如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为　 　

【变式3-2】（2019春•仪征市期中）如图，正方形ABCD边长为3，点E、F是对角线AC上的两个动点（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF的最小值是　 　．


















【跟踪训练】
1.（2021春•西乡塘区校级月考）如图，菱形ABCD的边长为8，∠BAD＝60°，点E是边AB上一动点，点F是对角线AC上一动点，则EF+BF的最小值为（　　）

A．8 B．4 C．4 D．4
2．（2020•翁牛特旗模拟）如图，菱形ABCD的周长为32，∠A＝120°，E是BC的中点．P是BD上任意一点，则PE+PC的最小值是（　　）

A．8 B． C．6 D．
3．如图，在菱形ABCD中，AB＝4a，E在BC上，BE＝2a，∠BAD＝120°，P点在BD上，则PE+PC的最小值为（　　）

A．6a B．5a C．4a D．2a
4．（2021•碑林区校级三模）如图，菱形ABCD的面积是32，对角线交于点O，∠ABC＝120°，若点E是AB的中点，点M在线段AC上，则△BME周长的最小值为（　　）

A．4 B．4+4 C．8 D．16


5．（2020春•柯桥区期中）如图，菱形ABCD的边长为2，且∠ABC＝120°，E是BC的中点，P为BD上一点，且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（　　）

A．+1 B．+1 C．2+1 D．2+1
6．（2021春•新县期末）如图，菱形ABCD中，AB＝4，E、F分别是AB、BC的中点，P是AC上一动点，则PF+PE的最小值是（　　）

A．3 B． C．4 D．
7．（2022•雁塔区校级三模）如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，P是▱ABCD内一动点，且S△PBC＝S△PAD，则PA+PD的最小值为 　 　．

8．（2022春•十堰月考）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，BC＝3，点M为BC上一定点且BM＝1，在BC上有一动点Q，在BD上有一动点P，则PM+PQ的最小值为 　 　．



9．（2022•陕西一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，AE⊥CD于点E，F是OA的中点，P是AB边上的一个动点，则PE﹣PF的最大值是 　 　．

10．（2022•中山市二模）如图，菱形ABCD的对角线AC＝3，∠ADC＝120°，点E为对角线AC上的一动点，则EA+EB+ED的最小值为 　 　．














（挑战压轴）专题1.4 菱形中求线段和最小值问题
【方法技巧】



【典例分析】
【考点1 两定点，一动点】
【典例1】（2021春•海口期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，
∴PN＝PE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB＝∠BCD，AD＝AB＝BC＝CD，OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，
∵E为AB的中点，
∴N在AD上，且N为AD的中点，
∵AD∥CB，
∴∠ANP＝∠CFP，∠NAP＝∠FCP，
∵AD＝BC，N为AD中点，F为BC中点，
∴AN＝CF，
在△ANP和△CFP中
∵，
∴△ANP≌△CFP（ASA），
∴AP＝CP，
即P为AC中点，
∵O为AC中点，
∴P、O重合，
即NF过O点，
∵AN∥BF，AN＝BF，
∴四边形ANFB是平行四边形，
∴NF＝AB，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝4，BO＝BD＝3，
由勾股定理得：AB＝＝5，
故选：C．

【变式1-1】（2020春•庐江县期末）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝4，BD＝4，E为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则EP+BP的最小值为（　　）

A．4 B．2 C．2 D．8
【答案】C
【解答】解：如图，设AC，BD相交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD＝2，
∵AB＝4，
∴AO＝2，
连接DE交AC于点P，连接BP，作EM⊥BD于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且DO＝BO，即AO是BD的垂直平分线，
∴PD＝PB，
∴PE+PB＝PE+PD＝DE且值最小，
∵E是AB的中点，EM⊥BD，
∴EM＝AO＝1，BM＝BO＝，
∴DM＝DO+OM＝BO＝3，
∴DE＝＝＝2，
故选：C．

【变式1-2】（2021•埇桥区校级月考）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．4
【答案】B
【解答】解：如图，作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．

∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，
∴AB＝BC＝4，AB•CE′＝8，
∴CE′＝2，
在Rt△BCE′中，BE′＝＝2，
∵BE＝EA＝2，
∴E与E′重合，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴A、C关于BD对称，
∴当P与P′重合时，P′A+P′E的值最小，最小值为CE＝2，
故选：B．
【变式1-3】（2020•陕西模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN＝2，点M在BC上且BM＝BC，P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为　 　．

【答案】2
【解答】解：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，
根据轴对称性质可知，PN＝PN'，
∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，
当P，M，N'三点共线时，取“＝”，
∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，
∴AC＝6，
∵O为AC中点，
∴AO＝OC＝3，
∵AN＝2，
∴ON＝1，
∴ON'＝1，CN'＝2，
∴AN'＝4，
∵BM＝BC＝×6＝4，
∴CM＝AB﹣BM＝6﹣4＝2，
∴＝＝，
∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝60°，
∵∠N'CM＝60°，
∴△N'CM为等边三角形，
∴CM＝MN'＝2，
即PM﹣PN的最大值为2，
故答案为：2．

【考点2 一定点，两动点】
【典例2】（2021春•裕华区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝3，CE＝2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值（　　）

A．2 B．3 C．2 D．
【答案】D
【解答】解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE＝PG，CE＝CG＝2，
连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH＝∠CBH＝45°，
∴Rt△BHC中，BH＝CH＝BC＝3，
∴HG＝3﹣2＝1，
∴Rt△BHG中，BG＝＝，
∵当点F与点B重合时，PE+PF＝PG+PB＝BG（最短），
∴PE+PF的最小值是．
故选：D．

【变式】（2020春•碑林区校级期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线BD＝8．点P、点Q分别是AB、BD上动点，则AQ+PQ的最小值为（　　）

A． B． C．5 D．
【答案】B
【解答】解：连接AC交BD于O，过C作CP⊥AB于P，
则此时，AQ+PQ的值最小，且最小值为CP的长度，
∵在菱形ABCD中，AB＝5，对角线BD＝8，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝4，
∴AO＝＝3，
∴AC＝6，
∵S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•CP，
∴CP＝＝，
∴AQ+PQ的最小值为，
故选：B．

【考点3 三动点】
【典例3】（2021春•东昌府区期中）如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M、N分别是BC、CD上的动点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴AB＝＝5，
过N作NQ⊥AB于Q交BD于P，
过P作PM⊥BC于M，
则PM+PN＝PN+PQ＝NQ的值最小，
∵S菱形ABCD＝×6×8＝5NQ，
∴NQ＝，
即PM+PN的最小值是，
故选：D．

【变式3-1】（2020•陕西模拟）如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为　 　

【答案】
【解答】解：如图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，

∵DM＝EF，DM∥EF，
∴四边形DEFM是平行四边形，
∴DE＝FM，
∴DE+BF＝FM+FB＝BM，
根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°
∴AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝3，
在Rt△BDM中，BM＝＝
∴DE+BF的最小值为．
故答案为．
【变式3-2】（2019春•仪征市期中）如图，正方形ABCD边长为3，点E、F是对角线AC上的两个动点（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF的最小值是　 　．

【答案】
【解答】解：如图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，
∵DM＝EF，DM∥EF，
∴四边形DEFM是平行四边形，
∴DE＝FM，
∴DE+BF＝FM+FB＝BM，
根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝3，∠BAD＝90°
∴AD＝AB，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD＝AB＝3，
在Rt△BDM中，BM＝＝
∴DE+BF的最小值为．
故答案为．


【跟踪训练】
1.（2021春•西乡塘区校级月考）如图，菱形ABCD的边长为8，∠BAD＝60°，点E是边AB上一动点，点F是对角线AC上一动点，则EF+BF的最小值为（　　）

A．8 B．4 C．4 D．4
【答案】C
【解答】解：连接DE、DF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC，BD互相垂直平分，
∴点B关于AC的对称点为D，
∴FD＝FB，
∴FE+FB＝FE+FD≥DE，
当DE⊥AB时，DE最短，
△AED中，AD＝8，∠DAB＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∵DE⊥AB，
∴DH＝AD＝×8＝4，
故选：C．

2．（2020•翁牛特旗模拟）如图，菱形ABCD的周长为32，∠A＝120°，E是BC的中点．P是BD上任意一点，则PE+PC的最小值是（　　）

A．8 B． C．6 D．
【答案】B
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为32cm，
∴AB＝BC＝＝8cm，BE＝4cm，
∵∠A＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵菱形A与C关于BD对称，
连接AE，则AE⊥BC，
AE即为PE+PC的最小值；
在Rt△ABE中，AE＝BE＝4；
∴PE+PC的最小值为4．
故选：B．

3．如图，在菱形ABCD中，AB＝4a，E在BC上，BE＝2a，∠BAD＝120°，P点在BD上，则PE+PC的最小值为（　　）

A．6a B．5a C．4a D．2a
【答案】2a
【解答】解：∵ABCD为菱形，
∴A、C关于BD对称，
∴连AE交BD于P，
则PE+PC＝PE+AP＝AE，
根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值．
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABE＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
又∵BE＝CE，
∴AE⊥BC，
∴AE＝＝2a．

4．（2021•碑林区校级三模）如图，菱形ABCD的面积是32，对角线交于点O，∠ABC＝120°，若点E是AB的中点，点M在线段AC上，则△BME周长的最小值为（　　）

A．4 B．4+4 C．8 D．16
【答案】B
【解答】解：连接DE交AC于M，连接DB，

由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则MD＝MB，
∴ME+MB＝ME+MD≥DE，
即DE就是ME+MB的最小值，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∵AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
∵AE＝BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）．
设菱形的边长为m，
∴DE＝AD＝m，
∵菱形ABCD的面积是32，
∴S△ABD＝16，
∴AB•DE＝16，即m•m＝16，
解得m＝8，
∴DE＝m＝4，BE＝m＝4，
∴△BME周长的最小值为：DE+BE＝4+4．
故选：B．
5．（2020春•柯桥区期中）如图，菱形ABCD的边长为2，且∠ABC＝120°，E是BC的中点，P为BD上一点，且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（　　）

A．+1 B．+1 C．2+1 D．2+1
【答案】B
【解答】解：∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴BC＝CD＝AD＝2，∠C＝180°﹣∠ABC＝60°，∠ADC＝∠ABC＝120°，
∴∠ADB＝∠BDC＝∠ADC＝60°，△BCD是等边三角形，
∵点E是BC的中点，
∴∠BDE＝∠BDC＝30°，
∴∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝90°，
如图，连接AE，交BD于点P，
此时，△PCE的周长最小，
∵DE＝CD•sin60°＝，CE＝BC＝1，
∴在Rt△ADE中，AE＝＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴PA＝PC，
∴△PCE周长为：PC+PE+CE＝PA+PE+CE＝AE+CE＝+1，
故选：B．

6．（2021春•新县期末）如图，菱形ABCD中，AB＝4，E、F分别是AB、BC的中点，P是AC上一动点，则PF+PE的最小值是（　　）

A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴直线AC是菱形的对称轴，
作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，
∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，
∴E′在AD上，且E′是AD的中点，
∵AD＝AB，
∴AE＝AE′，
∵F是BC的中点，
∴E′F＝AB＝4．
∴PE+PF的最小值为4，
故选：C．

7．（2022•雁塔区校级三模）如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，P是▱ABCD内一动点，且S△PBC＝S△PAD，则PA+PD的最小值为 　 　．

【答案】4
【解答】解：如图所示，过P作直线l∥AD，作点A关于l的对称点A'，连接AA'，交l于E，交BC于F，连接A'P，则A'P＝AP，AE＝A'E，AA'⊥BC，
∴AP+PD＝A'P+PD，
当A'，P，D在同一直线上时，AP+PD的最小值等于A'D的长，
∵AB＝6，∠ABC＝60°，
∴BF＝AB•cos60°＝3，AF＝3，
又∵S△PBC＝S△PAD，
∴AE＝AF＝2，
∴AA'＝2AE＝4，
∵BC＝8，
∴AD＝8，
Rt△AA'D中，A'D＝＝＝4，
∴PA+PD的最小值为4，
故答案为：4．

8．（2022春•十堰月考）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，BC＝3，点M为BC上一定点且BM＝1，在BC上有一动点Q，在BD上有一动点P，则PM+PQ的最小值为 　 　．

【答案】
【解答】解：如图，在BA上取一点Q′，使得BQ＝BQ′，连接PQ′，过点M作MN⊥AB于点N．

在Rt△BMN中，∠MNB＝90°，BM＝1，∠MBN＝60°，
∴MN＝BM•sin60°＝
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BP＝BP，BQ＝BQ′，
∴△PBQ≌△PBQ′（SAS），
∴PQ＝PQ′，
∵PM+PQ＝PM+PQ′≥MN＝，
∴PM+PQ的最小值为，
故答案为：．
9．（2022•陕西一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，AE⊥CD于点E，F是OA的中点，P是AB边上的一个动点，则PE﹣PF的最大值是 　 　．

【答案】2
【解答】解：连接EF，作EH⊥AC于H．当P、E、F在同一直线上时，PE﹣PF取最大值，最大值为EF.
∵四边形ABCD是菱形，AB＝8，
∴AD＝AB＝CD＝BC＝8，
∵∠ABC＝60°，
∴AC＝AD＝CD＝8，OA＝4，
∵F是OA的中点
∴AF＝2，CF＝6，
∵AE⊥CD，
∴ED＝EC＝4，
∴CH＝＝2，HE＝2，HF＝CF﹣CH＝6﹣2＝4，
∴EF＝＝＝2，
即PE﹣PF的最大值是2，
故答案为：2．

10．（2022•中山市二模）如图，菱形ABCD的对角线AC＝3，∠ADC＝120°，点E为对角线AC上的一动点，则EA+EB+ED的最小值为 　 　．

【答案】3
【解答】解：以点A为旋转中心，将△AED旋转60°到△AE'D'，连接EE'，作BH⊥D'A于H．
则D'E'＝DE，D'A＝DA，AE＝AE'，
∴△AEE'为等边三角形，
∴AE＝EE'，
∴EA+EB+ED＝EE'+EB+E'D'≥BD'，
即EA+EB+ED的最小值为BD'．
∵∠ADC＝120°，四边形ABCD为菱形，
∴∠DAB＝60°，∠DAC＝30°，
∴∠D'AE'＝30°，
∴∠D'＝30°，
∴∠DAC＝90°，
∴∠HAB＝60°，
∵AC＝3，
∴AD＝AC＝＝AB＝BC，
∴AH＝AB＝，
∴HB＝AH＝，
∴BD'＝2HB＝2×＝3，
即EA+EB+ED的最小值为3．