江苏省南京市联合体2021_2022学年九年级数学上学期期末试题(含答案)

这是一份江苏省南京市联合体2021_2022学年九年级数学上学期期末试题(含答案)，共27页。试卷主要包含了一元二次方程x2＝－2x的解是等内容，欢迎下载使用。

江苏省南京市联合体2021-2022学年
九年级上学期期末数学试题

一、 单选题
1．一元二次方程x2＝－2x的解是（）
A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－2
【答案】D
【分析】
先移项、然后再利用因式分解法解方程即可．
【详解】
解：x2＝－2x
x2+2x=0
x（x+2）＝0，
x＝0或x+2＝0，
所以x1＝0，x2＝-2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程−因式分解法,把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题成为解答本题的关键．
2．不透明的布袋内装有形状、大小、质地完全相同的1个白球，2个红球，3个黑球，若随机摸出一个球恰是黑球的概率为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由在不透明的布袋中装有1个白球，2个红球，3个黑球，利用概率公式直接求解即可求得答案．
【详解】
解：∵在不透明的布袋中装有1个白球，2个红球，3个黑球，
∴从袋中任意摸出一个球，摸出的球是红球的概率是：．
故选：B．
【点睛】
此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
3．小明根据演讲比赛中9位评委所给的分数制作了如下表格：
平均数
中位数
众数
方差
8.0
8.2
8.3
0.2
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【分析】
根据中位数的定义解答即可．
【详解】
解：七个分数，去掉一个最高分和一个最低分，对中位数没有影响．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了统计量的选择，掌握中位数的定义是解答本题的关键．
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则下列结论中正确的是（）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据DE∥BC，可得 ，再由相似三角形对应边成比例，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方，逐项判断即可求解．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴ ，
∴ ，故A错误，不符合题意；
∴，故B错误，不符合题意；
∴，故C正确，符合题意；
∴，故D错误，不符合题意；
故选：C
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
5．如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（）

A．4 B． C． D．5
【答案】B
【分析】
先运用勾股定理可求得EF, 过G作GH⊥DE垂足为H，则四边形EFGH是矩形可得HG=EF,再说明△EBF∽△DAE、△DAE∽△GHD，进一步可得△EBF∽△GHD，最后运用相似三角形的性质解答即可.
【详解】
解：∵在Rt△BEF中，BF=2,BE=3
∴EF=
如图：过G作GH⊥DE垂足为H，
∵DE⊥EF，EF⊥FG
∴四边形EFGH是矩形
∴HG=EF=
∵矩形ABCD
∴∠A=∠B=90°
∴∠AED+∠ADE=90°
∵DE⊥EF
∴∠AED+∠BEF=90°
∴∠BEF=∠ADE
又∵∠A=∠B=90°
∴△EBF∽△DAE
同理：△DAE∽△GHD
∴△EBF∽△GHD
∴,即,解得DG=.
故选B.

【点睛】
本题主要考查了矩形的判定与性质、运用勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.
6．如图，在平面直角坐标系中，将函数y＝x2－2x的图像先沿x轴翻折，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线所对应的函数表达式是（）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先由折叠的性质，得到翻折后的解析式，然后再向上平移即可．
【详解】
解：将函数y＝x2－2x的图像先沿x轴翻折，
∴翻折后的解析式为，
∵函数图像再向上平移5个单位长度，
∴解析式为：；
故选：A．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．

第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明

评卷人
得分



二、填空题
7．若＝，则＝__________.
【答案】
【分析】
由比例的性质即可解答此题.
【详解】
∵，
∴a=b，
∴= ，
故答案为
【点睛】
此题考查了比例的基本性质，熟练掌握这个性质是解答此题的关键.
8．设x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，则x1＋x2＝_____，x1x2＝______．
【答案】3－1
【分析】
利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】
解：∵x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，
∴ ．
故答案为：3，-1
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程 的两个实数根，则，是解题的关键．
9．二次函数y＝x2－2x＋2图像的顶点坐标是______．
【答案】（1，1）
【详解】
分析：把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．
详解：∵
∴顶点坐标为(1,1).
故答案为(1,1).
点睛：考查二次函数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键.
10．已知B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，若AC＝6，则AB的长为______．（结果保留根号）
【答案】##
【分析】
根据黄金分割的定义得到，把AC＝6代入计算即可解题．
【详解】
解：B是线段AC的黄金分割点，

AC＝6

故答案为：3－3．
【点睛】
本题考查黄金分割的有关计算，掌握黄金分割的定义是解题关键．
11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠D＝110°，则的长为__．

【答案】##
【分析】
连接OA、OC，先求出∠ABC的度数，然后得到∠AOC，再由弧长公式即可求出答案．
【详解】
解：连接OA、OC，如图，

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝110°，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式．
12．在阳光下，身高1.6米的小明在地面上的影长为0.4米，同一时刻旗杆的影长为6米，则旗杆的高度为______米．
【答案】24
【分析】
根据阳光下，同一时刻影长与物高成比例解答即可．
【详解】
解：设旗杆的高度为x米，
根据题意，得：，
解得：x=24，
即旗杆的高度为24米，
故答案为：24．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成比例是解答的关键．
13．如图，l1∥l2∥l3，若AB＝2，BC＝3，AD＝1，CF＝4，则BE的长为______．

【答案】
【分析】
由题意知；如图过点作交于点，交于点；有四边形与四边形均为平行四边形，且有，，；；可得的值，由可知的值．
【详解】
解：如图过点作交于点，交于点；

四边形与四边形均为平行四边形
，，
由题意知






故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的性质，三角形相似等知识点．解题的关键在于作辅助线将平行线分线段成比例应用于相似三角形中找出线段的关系．
14．如图，在⊙O中，AB是⊙O的内接正六边形的一边，BC是⊙O的内接正十边形的一边，则∠ABC＝______°．

【答案】132°
【分析】
连接AO、BO、CO，根据AB是⊙O的内接正六边形的一边，可得 ， ，从而得到∠ABO=60°，再由BC是⊙O的内接正十边形的一边，可得 ，BO=CO，从而得到，即可求解．
【详解】
解：如图，连接AO、BO、CO，

∵AB是⊙O的内接正六边形的一边，
∴ ， ，
∴ ，
∵BC是⊙O的内接正十边形的一边，
∴ ，BO=CO，
∴，
∴∠ABC=∠ABO+ ∠CBO=60°+72°=132°．
故答案为：132°
【点睛】
本题主要考查了圆的内接多边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的内接多边形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像的顶点坐标为（1，m），与y轴的交点为（0，m－2），则a的值为______．
【答案】－2
【分析】
利用待定系数法求解函数解析式即可求解．
【详解】
解：根据题意，设该二次函数的解析式为y=a(x－1)2+m，
将（0，m－2）代入得：a+m=m－2，
解得：a=－2，
故答案为：－2．
【点睛】
本题考查待定系数法求解二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解函数解析式的方法步骤，设为顶点式求解是解答的关键．
16．如图，在⊙O中，＝，AB＝10，BC＝12，D是上一点，CD＝5，则AD的长为______．

【答案】3
【分析】
过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，根据圆周角定理可得∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，再由等腰三角形的性质可知BE=CE=6，根据相似三角形的判定证明△ABE∽△CDF，由相似三角形的性质和勾股定理分别求得AE、DF、CF， AF即可求解．
【详解】
解：过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，则∠AEB=∠CFD=90°，
∵＝， AB＝10，
∴∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，
∵AE⊥BC，BC=12，
∴BE=CE=6，
∴，
∵∠B=∠D，∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE∽△CDF，
∴，
∵AB=10，CD=5，BE=6，AE=8，
∴，
解得：DF=3，CF=4，
在Rt△AFC中，∠AFC=90°，AC=10，CF=4，
则，
∴AD=DF+AF=3＋2，
故答案为：3＋2．

【点睛】
本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解答的关键．

评卷人
得分



三、解答题
17．解方程：（1）x2－2x－3＝0；（2）x (x－2)－x＋2＝0．
【答案】（1）x1＝3，x2＝－1；（2）x1＝2，x2＝1
【分析】
（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】
（1）解：x2－2x－3＝0
x2－2x＋1＝3＋1
(x－1)2＝4
x－1＝±2
∴x1＝3，x2＝－1；
（2）解：x (x－2)－(x－2)＝0
(x－2)(x－1)＝0
x-2=0或x-1=0
∴x1＝2，x2＝1．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的求解方法，并根据题意灵活选择适当的解题方法是解题关键．
18．从1名男生和3名女生中随机抽取参加2022年北京冬季奥运会的志愿者．
（1）抽取2名，求恰好都是女生的概率；
（2）抽取3名，恰好都是女生的概率是．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用列表法进行求解即可；
（2）利用树状图的方法列出所有可能的情况，再求解即可．
【详解】
解：（1）列表如下：

男
女1
女2
女3
男

（女1，男）
（女2，男）
（女3，男）
女1
（男，女1）

（女2，女1）
（女3，女1）
女2
（男，女2）
（女1，女2）

（女3，女2）
女3
（男，女3）
（女1，女3）
（女2，女3）

由表格知，共有12种等可能性结果，其中满足“都是女生”(记为事件A)的结果只有6种，
∴抽取2名，恰好都是女生的概率；
（2）列树状图如下：

由树状图可知，共有24种等可能性结果，其中满足“恰好都是女生”(记为事件B)的结果只有6种，
∴抽取3名，恰好都是女生的概率，
故答案为：．
【点睛】
本题考查列树状图或表格法求概率，掌握列树状图或表格的方法，做到不重不漏的列出所有情况是解题关键．
19．甲、乙两班各10名同学参加“国防知识”比赛，其预赛成绩如下表：

6分
7分
8分
9分
10分
甲班
1人
2人
4人
2人
1人
乙班
2人
3人
1人
1人
3人
（1）填写下表：

平均数
中位数
众数
甲班
8
8

乙班


7和10
（2）利用方差判断哪个班的成绩更加稳定？
【答案】（1）8；8；7.5；（2）甲班的成绩更加稳定
【分析】
（1）分别求出甲、乙两班的平均数、中位数、众数，即可得到答案；
（2）分别求出甲、乙两个班的方差，即可进行判断．
【详解】
解：（1）甲班的众数为：8；
乙班的平均数为：；
乙班的中位数为：；
故答案为：8；8；7.5；
（2）甲班的方差为：
；
乙班的方差为：
；
∵，
∴，
∴甲班的成绩更加稳定；
【点睛】
本题考查了利用方差判断稳定性，也考查了加权平均数、众数、中位数，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行数据的处理．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．
（1）求证△ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出
（2）由得，，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长．
【详解】
（1）∵，，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键．
21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，F为AB延长线上一点，连接CF，DF．
（1）若OE＝3，BE＝2，求CD的长；
（2）若CF与⊙O相切，求证DF与⊙O相切．

【答案】（1）8；（2）见解析
【分析】
（1）连接OC，利用勾股定理求解CE＝4，再利用垂径定理可得答案；
（2）证明再证明可得从而可得结论.
【详解】
（1）解：连接OC，

∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∴OC＝OB＝OE＋BE＝3＋2＝5，
在Rt△OCE中，∠OEC＝90°，由勾股定理得：CE2＝OC2－OE2，
∴CE2＝52－32，
∴CE＝4，
∴CD＝2CE＝8.
（2）解：连接OD，

∵CF与⊙O相切，
∴∠OCF＝90°，
∵CE＝DE，CD⊥AB，
∴CF＝DF，
又OF＝OF，OC＝OD，
∴△OCF≌△ODF，
∴∠ODF＝∠OCF＝90°，即OD⊥DF．
又D在⊙O上，
∴DF与⊙O相切．
【点睛】
本题考查的是圆的基本性质，垂径定理的应用，切线的性质与判定，证明△OCF≌△ODF得到∠ODF＝∠OCF＝90°是解本题的关键.
22．如图，AD和BG是△ABC的高，连接GD．
（1）求证△ADC∽△BGC；
（2）求证△CDG∽△CAB．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用有两对角相等的两个三角形相似证明即可；
（2）由（1）可得，证明△GDC∽△BAC；
【详解】
（1）∵在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，
∴∠BGC＝∠ADC＝90°
又∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BGC．
（2）∵△ADC∽△BGC，
∴，
∴，
又∠C＝∠C，
∴△CDG∽△CAB．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判断和性质，利用相似三角形的性质进行证明是解题的关键．
23．如图，二次函数的图像经过点（1，0），顶点坐标为（－1，－4）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当－5＜x＜0时，y的取值范围为；
（3）直接写出该二次函数的图像经过怎样的平移恰好过点（3，4），且与x轴只有一个公共点．

【答案】（1）y＝(x＋1) 2－4；（2）－4≤y＜12；（3）向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度；或向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度
【分析】
（1）设为顶点式，运用待定系数法求解即可；
（2）抛物线开口向上，有最小值，在－5＜x＜0范围内，有最小值是-4，求出当x=-5时，y=12，结合函数图象可得y的取值范围；
（3）根据题意设出平移后的函数解析式，再把（3，4）代入设出的解析式并求出待定系数即可得解．
【详解】
解：（1）根据题意，设二次函数的表达式为y＝a(x＋1) 2－4．
将(1，0)代入y＝a(x＋1) 2－4，得，

解得，a＝1，
∴y＝(x＋1) 2－4．
（2）当x=-5时，y=(-5+1)2-4=12
∵抛物线的顶点坐标为（-1，-4）
∴当时，y的最小值为-4，
∴当－5＜x＜0时，y的取值范围为－4≤y＜12
故答案为4≤y＜12；
（3）∵抛物线与x轴只有一个公共点
∴该二次函数的图象向上平移了4个单位，
设平移后的二次函数解析式为
∵平移后的二次函数图象经过点（3，4）
∴
∴
因此，该二次函数图象经过向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度或向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度恰好过点（3，4），且与x轴只有一个公共点．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式及二次函数图象的平移，解题的关键是正确的求得解析式．
24．某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶．经市场调查表明，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少10瓶．
（1）当每瓶售价为11元时，日均销售量为瓶；
（2）当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润为700元？
（3）当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？
【答案】（1）140；（2）每瓶售价11或13元，所得日均总利润为700元；（3）每瓶售价12元时，所得日均总利润最大为720元
【分析】
（1）根据日均销售量为计算可得；
（2）根据“总利润=每瓶利润×日均销售量”列方程求解可得；
（3）根据（2）中相等关系列出函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质解答即可．
【详解】
解：（1）当每瓶的售价为11元时，日均销售量为：（瓶）；
（2）解：设每瓶售价x元时，所得日均总利润为700元．
根据题意，列方程：，
解得：x1＝11，x2＝13．
答：每瓶售价11或13元时，所得日均总利润为700元；
（3）解：设每瓶售价m元时，所得日均总利润为y元．
＝－20m2＋480m－2160＝－20(m－12) 2＋720，
∵－20＜0，
∴当m＝12时，y有最大值720．
即每瓶售价12元时，所得日均总利润最大为720元．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程和函数解析式．
25．如图，在⊙O中，弦AC与弦BD交于点P，AC＝BD．
（1）求证AP＝BP；
（2）连接AB，若AB＝8，BP＝5，DP＝3，求⊙O的半径．

【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）连接，先证出，再根据圆周角定理可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证；
（2）连接，并延长交于点，连接，过作于点，先根据线段垂直平分线的判定与性质可得，再根据线段的和差、勾股定理可得，然后根据直角三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，最后在中，利用勾股定理可得的长，从而可得的长，在中，利用勾股定理即可得．
【详解】
证明：（1）如图，连接，

，
，
，即，
，
；
（2）连接，并延长交于点，连接，过作于点，


，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
设，则，
在中，，即，解得，
在中，，
即的半径为．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、直角三角形全等的判定定理与性质、勾股定理、垂径定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
26．已知函数y1＝x＋1和y2＝x2＋3x＋c（c为常数）.
（1）若两个函数图像只有一个公共点，求c的值；
（2）点A在函数y1的图像上，点B在函数y2的图像上，A，B两点的横坐标都为m．若A，B两点的距离为3，直接写出满足条件的m值的个数及其对应的c的取值范围．
【答案】（1）c＝2；（2）当c＞5时，m有0个；当c＝5时，m有1个；当－1＜c＜5时，m有2个；当c＝－1时，m有3个；当c＜－1时，m有4个
【分析】
（1）只需求出y1=y2时对应一元二次方程有两个相等的实数根的c值即可；
（2）根据题意，AB=｜m2＋2m＋c－1｜=3，分m2＋2m＋c－1＞0和m2＋2m＋c－1＜0两种情况，利用一元二次方程根的判别式与根的关系求解即可．
【详解】
解：（1）根据题意，若两个函数图像只有一个公共点，
则方程x2＋3x＋c＝x＋1有两个相等的实数根，
∴△=b2－4ac＝22－4(c－1)＝0，
∴c＝2；
（2）由题意，A（m，m+1），B（m，m2＋3m＋c）
∴AB=｜m2＋3m＋c－m－1｜=｜m2＋2m＋c－1｜=3，
①当m2＋2m＋c－1＞0时，m2＋2m＋c－1=3，即m2＋2m＋c－4=0，
△=22－4（c－4）=20－4c，令△=20－4c=0，解得：c=5，
∴当c＜5时，△＞0，方程有两个不相等的实数根，即m有2个；
当c=5时，△=0，方程有两个相等的实数根，即m有1个；
当c＞5时，△＜0，方程无实数根，即m有0个；
②当m2＋2m＋c－1＜0时，m2＋2m＋c－1=－3，即m2＋2m＋c+2=0，
△=22－4（c+2）=－4c－4，令△=－4c－4=0，解得：c=－1，
∴当c＜－1时，△＞0，方程有两个不相等的实数根，即m有2个；
当c=－1时，△=0，方程有两个相等的实数根，即m有1个；
当c＞－1时，△＜0，方程无实数根，即m有0个；
综上，当c＞5时，m有0个；
当c＝5时，m有1个；
当－1＜c＜5时，m有2个；
当c＝－1时，m有3个；
当c＜－1时，m有4个．
【点睛】
本题考查函数图象上点的坐标特征、一元二次方程根的判别式与根的关系、坐标与图形，解答的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系：△＞0，方程有两个不相等的实数根，△=0，方程有两个相等的实数根，△＜0，方程无实数根．
27．（数学认识）
数学是研究数量关系的一门学科，在初中几何学习的历程中，常常把角与角的数量关系转化为边与边的数量关系，把边与边的数量关系转化为角与角的数量关系．
（构造模型）
（1）如图①，已知△ABC，在直线BC上用直尺与圆规作点D，使得∠ADB＝∠ACB．
（不写作法，保留作图痕迹）

（应用模型）
已知△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为r，△ABC的周长为c．
（2）如图②，若r＝5，AB＝8，求c的取值范围．

（3）如图③，已知线段MN，AB是⊙O一条定长的弦，用直尺与圆规作点C，使得c＝MN．（不写作法，保留作图痕迹）

【答案】（1）见解析；（2）16＜c≤8＋8；（3）见解析
【分析】
（1）可找到两个这样的点：①当点D在BC的延长线上时：以点C为圆心，AC长为半径，交BC的延长线于点D，连接AD，即为所求；②当点D在CB的延长线上时：以点A为圆心，AD长为半径，交CB的延长线于点，连接，即为所求；两种情况均可利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质证明；
（2）考虑最极端的情况：当C与A或B重合时，则，可得此时，根据题意可得，当点C为优弧AB的中点时，连接AC并延长至D，使得，利用等腰三角形的性质及三角形外角性质可得点D的运动轨迹为一个圆，点C为优弧AB的中点时，点C即为外接圆的圆心，AC长为半径，连接CO并延长交AB于点E，连接AO，根据垂径定理及勾股定理可得，当AD为直径时，c最大即可得；
（3）依照（1）（2）的做法，方法一：第1步：作AB的垂直平分线交⊙O于点P；第2步：以点P为圆心，PA为半径作⊙P；第3步：在MN上截取AB的长度；第4步：以A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交⊙P于点E；第5步：连接AE交⊙O于点C，即为所求；方法二：第1步：在圆上取点D，连接AD、BD，延长AD使得；第2步：作的外接圆；第3步：在MN上截取AB的长度；第4步：以点A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交△ABE的外接圆于点F；第5步：连接AF交⊙O于点C，即为所求．
【详解】
（1）如图所示：①当点D在BC的延长线上时：以点C为圆心，AC长为半径，交BC的延长线于点D，连接AD，即为所求；②当点D在CB的延长线上时：以点A为圆心，AD长为半径，交CB的延长线于点，连接，即为所求；

证明：①∵，
∴，
∴；
同理可证明；
（2）当C与A或B重合时，则，
∴，
∵，
∴，

如图，当点C为优弧AB的中点时，连接AC并延长至D，使得，
∴，
∵同弧所对的圆周角相等，
∴为定角，
∴为定角，
∴点D的运动轨迹为一个圆，当点C为优弧AB的中点时，点C即为外接圆的圆心，AC长为半径，连接CO并延长交AB于点E，连接AO，
由垂径定理可得：CE垂直平分AB，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴AD为直径时最长，
∴最长，
∴的周长最长．
∴c最长为，
∴c的取值范围为：；
（3）方法一：
第1步：作AB的垂直平分线交⊙O于点P；
第2步：以点P为圆心，PA为半径作⊙P；
第3步：在MN上截取AB的长度；
第4步：以A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交⊙P于点E；
第5步：连接AE交⊙O于点C，即为所求；

方法二：
第1步：在圆上取点D，连接AD、BD，延长AD使得；
第2步：作的外接圆；
第3步：在MN上截取AB的长度；
第4步：以点A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交△ABE的外接圆于点F；
第5步：连接AF交⊙O于点C，即为所求．


【点睛】
题目主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，勾股定理，垂径定理，角的作法等，理解题意，综合运用各个知识点作图是解题关键．