2021-2022学年江苏省南京市部分学校九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

这是一份2021-2022学年江苏省南京市部分学校九年级（上）期末数学试卷（含答案解析），共22页。试卷主要包含了382B，【答案】D，【答案】A，【答案】53，【答案】9等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省南京市部分学校九年级（上）期末数学试卷

1. 一元二次方程2x2−1=4x化成一般形式后，常数项是−1，一次项系数是(    )
A. 2 B. −2 C. 4 D. −4
2. 已知点P是线段AB的黄金分割点(AP>PB)，若AB=10，则AP的长约为(    )
A. 0.382 B. 0.618 C. 3.82 D. 6.18
3. 在一个不透明的袋中装有5个球，其中2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，摸出红球的概率是(    )
A. 23 B. 15 C. 25 D. 35
4. 将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位长度后，所得二次函数的表达式是(    )
A. y=x2+1 B. y=x2−1 C. y=(x+1)2 D. y=(x−1)2
5. 如图，若⊙O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是(    )

A. l1 B. l2 C. l3 D. l4
6. 如图，高1.2m的小淇晚上在路灯(AH)下散步，DE为他到达D处时的影子．继续向前走8m到达点N，影子为FN.若测得EF=10m，则路灯AH的高度为(    )

A. 6m B. 7m C. 8m D. 9m
7. 若xy=23，则为x+yy=______.
8. 一组数据7，−2，−1，6的极差为______.
9. 若α、β是方程x2+2022x+2021=0的两个实数根，则α+β的值为______.
10. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是______∘.
11. 若方程x2−4084441=0的两根为±2021，则方程x2−2x−4084440=0的两根为______.
12. 如图，在边长为2的正方形内有一边长为1的小正方形，一只青蛙在该图案内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是______.

13. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，若∠A=25∘，则∠B=______∘.


14. 如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为______.


15. 如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，M为AD的中点，N为AC上的点，且MN//CD.若CD=5，MN=4，则⊙O的半径为______.


16. 如图，在Rt△ABC中，P是斜边AB边上一点，且BP=2AP，分别过点A、B作l1、l2平行于CP，若CP=4，则l1与l2之间的最大距离为______.

17. 解方程：
(1)x2−4x−1=0；
(2)100x−12=121.
18. 甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
(1)填写下表：

平均数
众数
中位数
方差
甲
8
______
8
0.4
乙
______
9
______
3.2
(2)教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？
(3)如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差______.(填“变大”、“变小”或“不变”).
19. 为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指其他垃圾.小明、小亮各自投放了一袋垃圾.
(1)小明投放的垃圾恰好是C类的概率是______ ；
(2)求小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的概率.
20. 如图，已知A是直线l外一点．用两种不同的方法作⊙O，使⊙O过A点，且与直线l相切．
要求：(1)用直尺和圆规作图；
(2)保留作图痕迹，写出必要的文字说明．

21. 阅读下面的短文，并解答下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比(a：b).
设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则S甲S乙=6a26b2=(ab)2，
又设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则V甲V乙=a3b3=(ab)3.
(1)下列几何体中，一定属于相似体的是______；
A.两个球体
B.两个锥体
C.两个圆柱体
D.两个长方体
(2)请归纳出相似体的三条主要性质：
①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于______；
②相似体表面积的比等于______；
③相似体体积比等于______.
(3)假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为16千克，到了初三时，身高为1.65米，则他的体重是______千克(不考虑不同时期人体平均密度的变化).

22. 如图，以AB为直径的⊙O经过点C，CP为⊙O的切线，E是AB上一点，以C为圆心，CE长为半径作圆交CP于点F，连接AF，且AF=AE.
求证：AB是⊙C的切线．
                                                                                                 
23. 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一动点，过点E作EF⊥AE，交DC于点F，连接AF.
(1)求证：△ABE∽△ECF；
(2)求AF长度的最小值．

24. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A(1,0)，B(−2,3).
(1)求该二次函数的表达式；
(2)用无刻度直尺画出抛物线的对称轴l；(用虚线表示画图过程，实线表示画图结果)
(3)结合图象，直接写出当y>3时，x的取值范围是______.

25. 已知二次函数y=x2−2mx+m+2(m是常数)的图象是抛物线．
(1)若抛物线与x轴只有一个公共点，求m的值；
(2)求证：抛物线顶点在函数y=−x2+x+2的图象上；
(3)若点B(2,a)，C(5,b)在抛物线上，且a>b，则m的取值范围是______.
26. 某公司电商平台，在2021年国庆长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y(件)是关于售价x(元/件)(x为正整数)的一次函数，如表列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W(元)的三组对应值数据．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
(1)该商品进价______(元/件)，y关于x的函数表达式是______(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)因该商品原料涨价，进价提高了m(元/件)(m为正整数)，该商品在今后的销售中，公司发现当售价为63元/件时，周销售利润最大，求m值．
27. (1)如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q.则DP ______DQ(填“>”“PB)，
∴APAB≈0.618，
∵AB=10，
∴AP≈0.618×AB≈6.18，
故选：D.
根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．

3.【答案】C 
【解析】解：∵不透明袋子中装有5个球，其中有2个红球、3个白球，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是25.
本题考查概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn.
根据概率公式解答即可．

4.【答案】B 
【解析】解：由“上加下减”原则得到：将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位长度后，所得二次函数的表达式是y=x2−1.
故选：B.
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．

5.【答案】D 
【解析】解：∵⊙O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，6>3，
∴直线l与⊙O相交．
故选：D.
直接根据直线与圆的位置关系可得出结论．
本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d0)，AP=x，PF=a，(a≥0)，
∴BG=3a，AG=3AF，
过点C作CD⊥l1于点D，
∵l1//l2，
∴CE⊥l2，
∴四边形CEGF是矩形，
∴EG=CF=CP+PF=4+a，
∴BE=EG−BG=4+a−3a=4−2a，
在Rt△APF中，根据勾股定理，得
AF=AP2−PF2=x2−a2，
∴FG=2AF=2x2−a2，
∴CE=FG=2x2−a2，
∵∠ADC=∠CEB=90∘，
∴∠ACD+∠CAD=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACD+∠BCE=90∘，
∴∠CAD=∠BCE，
∴△CAD∽△BCE，
∴CDBE=ADCE，
∵AD=EG=4+a，CE=2x2−a2，BE=4−2a，CD=AF=x2−a2，
∴x2−a24−2a=4+a2x2−a2，
∴(x2−a2)2=(2−a)(4+a)=−a2−2a+8，
∴AF2=−a2−2a+8，
因为二次函数开口向下，当对称轴为直线a=−1时，AF取最大值，
∵a≥0，
∴a=−1时不符合题意舍去，
∴a=0时，AF2取得最大值为8，
∴AF=22，
∴AG=3AF=62，
∴l1与l2之间的最大距离为62.
故答案为：62.
过点A作AG⊥l2于点G，延长CP交AG于点F，证明△APF∽△ABG，可得APAB=PFBG=AFAG，由BP=2AP，设BP=2x(x>0)，AP=x，PF=a，(a≥0)，可得BG=3a，AG=3AF，过点C作CD⊥l1于点D，证明△CAD∽△ECB，可得CDBE=ADCE，由AD=EG=4+a，CE=2x2−a2，BE=4−2a，CD=AF=x2−a2，整理得AF2=−a2−2a+8，因为二次函数开口向下，当对称轴为直线a=−1时，AF取最大值，因为a≥0，所以a=−1时不符合题意舍去，所以a=0时，AF2取得最大值为8，所以AF=22，进而可以解决问题．
本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，平行线之间的距离，勾股定理，

17.【答案】解：(1)x2−4x−1=0，
                   x2−4x=1，
              x2−4x+4=1+4，
           即x−22=5，
           ∴x−2=5或x−2=−5，
        ∴x1=2+5，x2=2−5；

              (2)x−12=1.21，
                              x−1=±1.1，
                    ∴x−1=1.1或x−1=−1.1，
                      ∴x1=2.1，x2=−0.1. 
【解析】(1)利用配方法求解即可；
(2)先求出x−12的值，然后利用直接开平方法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．

18.【答案】解：(1)8；8；9；  
(2)因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛；
(3)变小. 
【解析】解：(1)甲的众数为8，乙的平均数=15×(5+9+7+10+9)=8，乙的中位数为9；
故答案为8；8；9；
(2)见答案；
(3)如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的平均数不变，而方差为：
s2 =(5−8)2+(9−8)2+(7−8)2+(10−8)2+(9−8)2+(8−8)26=83，与原有方差相比变小．
故答案为：变小．
(1)根据众数、平均数和中位数的定义求解；
(2)根据方差的意义求解；
(3)根据方差公式求解．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差通常用s2来表示，计算公式是：s2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+…+(xn−x)2]；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数、中位数和众数．

19.【答案】(1)14；
解：(2)画树状图如图所示：

由图可知，共有16种等可能的结果，其中小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的结果有4种，
∴小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的概率为416=14. 
【解析】解：(1)∵垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋，小明投放了一袋垃圾，
∴小明投放的垃圾恰好是C类的概率为：14，
故答案为：14；
(2)见答案.

(1)直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是C类的概率；
(2)首先利用树状图法得出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
此题主要考查了列表法与树状图法求概率以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键．

20.【答案】解：方法一：过点A作l的垂线，垂足为P，
作AP的垂直平分线，与AP的交点为圆心O，
以O为圆心，OA(或OP)为半径，作⊙O；

方法二：取l上任意一点Q，作出AQ的垂直平分线，
过点Q作l的垂线，与垂直平分线的交点为圆心O，
以O为圆心，OA(或OQ)为半径，作⊙O. 
【解析】利用两种方法作图即可．
本题考查了作图-复杂作图，切线的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．

21.【答案】(1)A；
(2)①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方；
(3)54. 
【解析】解：(1)A.两个球体，形状完全相同，是相似体，
B.两个锥体，如果底面或高发生变化，图形就会改变，不是相似体，
C.两个圆柱体，如果底面半径或高发生变化，图形就会改变，不是相似体，
D.两个长方体，如果长，宽，高中有一个发生变化，图形就会改变，不是相似体，
故选：A；
(2)根据阅读材料进行归纳可以得到：
①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于相似比，
②相似体表面积的比等于相似比的平方，
③相似体体积比等于相似比的立方，
故答案为：①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方；
(3)由题意可得：他的相似比等于：1.11.65=23，
设他初三时的体重是x千克，
16x=(23)3，
解得：x=54，
答：他初三时的体重是54千克．
(1)根据阅读材料中相似形的定义去判断即可；
(2)根据阅读材料进行归纳即可；
(3)根据身高的比求出相似比，体重之比等于体积之比，等于相似比的立方即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，几何体的表面积、体积，类比阅读材料来解决问题是解题的关键．

22.【答案】证明：连结AC、OC.
∵AE=AF，CE=CF，AC=AC，
∴△ACE≌△ACF(SSS).
∴∠CAE=∠CAF，∠AEC=∠AFC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA.
又∵∠CAE=∠CAF，
∴∠CAF=∠OCA，
∴OC//AF，
∵CP为⊙O的切线，
∴OC⊥CP，即∠OCF=90∘，
∴∠AFC=90∘，
∴∠AEC=∠AFC=90∘，
即CE⊥AB，
∵点E在⊙C上，
∴AB是⊙C的切线． 
【解析】连结AC、OC.根据全等三角形的性质得到∠CAE=∠CAF，∠AEC=∠AFC，求得OC//AF，根据平行线的性质得到∠AFC=90∘，根据切线的判定定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．

23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90∘，
∴∠BAE+∠BEA=90∘，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90∘，
∴∠BEA+∠CEF=90∘，
∴∠BAE=∠CEF，
又∵∠B=∠C=90∘，
∴△ABE∽△ECF；
(2)解：设BE=x，则CE=4−x，
∵△ABE∽△ECF，
∴BECF=ABCE，即xCF=44−x，
∴CF=x(4−x)4=−14x−22+1，
当x=2时，CF取最大值1，此时DF有最小值3，
∵在Rt△ADF中，AF=DF2+AD2=DF2+42，
∴当DF=3时，AF取最小值，AF的最小值为32+42=5，
∴AF长度的最小值为5. 
【解析】(1)先利用等角的余角相等得到∠BAE=∠CEF，加上∠B=∠C=90∘，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；
(2)设BE=x，则CE=4−x，由于△ABE∽△ECF，则利用相似比可表示出CF=x(4−x)4，根据二次函数的性质可判断当x=2时，CF取最大值1，此时DF有最小值3，接着利用勾股定理得到AF=DF2+42，从而可确定AF长度的最小值．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了二次函数的性质和正方形的性质．

24.【答案】解：(1)将A(1,0)，B(−2,3)代入二次函数y=ax2+bx+3，
得0=a+b+3,3=4a−2b+3.
解得a=−1,b=−2.
该二次函数的表达式为y=−x2−2x+3；
(2)如图，直线l为所求对称轴；

(3)−272.

(1)由抛物线与x轴交点个数与根的判别式的关系求解．
(2)将二次函数解析式化为顶点式求出顶点坐标，进而求解．
(3)由抛物线开口方向向上可得点B到对称轴的距离大于点A到对称轴的距离，进而求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．

26.【答案】(1)20，y=−3x+300；
(2)由题意W=−3x+300x−20−m
                      =−3x2+360+3mx−6000−300m，
对称轴为直线x=60+m2，
∵当售价为63元/件时，周销售利润最大，
∴60+m2=63，
解得：m=6.
∴m的值为6. 
【解析】解：(1)由x=40，y=180，w=3600可得商品进价为40−3600÷180=20(元)，
设y=kx+b，由题意有：
40k+b=18070k+b=90，
解得k=−3b=300，
∴y关于x的函数解析式为y=−3x+300；
故答案为：20，y=−3x+300；
(2)见答案.

(1)由x=40，y=180，w=3600可得商品进价为20元，设y=kx+b，用待定系数法即得解析式；
(2)根据利润=(售价-进价)×数量，得W=−3x+300x−20−m，根据对称轴为直线x=60+m2以及当售价为63元/件时，周销售利润最大，得出60+m2=63，即可求得m的值．
本题考查二次函数的应用，解本题的关键理解题意，掌握二次函数的性质和销售问题中利润公式．

27.【答案】(1)=；
(2)①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=∠BCD=90∘.
∵∠ADP+∠PDC=∠CDQ+∠PDC=90∘，
∴∠ADP=∠CDQ.
又∵∠A=∠DCQ=90∘.
∴△ADP∽△CDQ，
∴APCQ=ADCD=24=12，
设AP=x，则CQ=2x，
∴PB=4−x，BQ=2+2x.
由勾股定理得，在Rt△PBQ中，PB2+BQ2=PQ2，
代入得(4−x)2+(2+2x)2=52，
解得x=1或x=−1(舍去)，
即AP=1.
∴AP的长为1；
② 2310. 
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠A=∠DCQ=∠ADC=90∘，
∴∠ADP+∠PDC=90∘，
∵∠PDQ=90∘，
∴∠PDC+∠CDQ=90∘，
∴∠ADP=∠CDQ，
在△ADP和△CDQ中，
∠A=∠DCQDA=DC∠ADP=∠CDQ，
∴△ADP≌△CDQ(ASA)，
∴DP=DQ，
故答案为：=；
(2)①见答案；
②如图所示，延长DP到M，使DM=DQ，连接BM，

设AP=a，则BP=4−a，
∵△ADP∽△CDQ，
∴APCQ=ADCD=12，∠APD=∠CQD，
∴CQ=2a，
则BQ=BC+CQ=2+2a，
∵BD平分∠PDQ，
∴∠BDM=∠BDQ，
在△BDM和△BDQ中，
BD=BD∠BDM=∠BDQDM=DQ，
∴△BDM≌△BDQ(SAS)，
∴∠BMD=∠BQD，BM=BQ=2+2a，
又∵∠BQD=∠APD=∠BPM，
∴∠BMD=∠BPM，
∴BM=BP，即2+2a=4−a，
解得a=23，即AP=23，
∴PD=AP2+AD2=(23)2+22=2103，
故答案为：2310.

(1)由四边形ABCD是正方形知DA=DC，∠DAP=∠DCQ=∠ADC=90∘，结合∠PDQ=90∘得∠ADP=∠CDQ，证△ADP≌△CDQ可得答案；
(2)①证△ADP∽△CDQ得APCQ=ADCD=12，设AP=x，则CQ=2x，PB=4−x，BQ=2+2x，在Rt△PBQ中，由勾股定理得到关于x的方程，解之即可；
②延长DP到M，使DM=DQ，连接BM，设AP=a，则BP=4−a，由△ADP∽△CDQ得APCQ=ADCD=12，∠APD=∠CQD，CQ=2a，BQ=2+2a，再证△BDM≌△BDQ得∠BQD=∠BMD，BM=BQ=2+2a，结合∠BQD=∠APD=∠BPM知∠BMD=∠BPM，从而得BM=BP，据此求出a的值，最后利用勾股定理求解即可得出答案．
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形和正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．