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2021-2022学年山东省淄博市张店区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）(含答案)
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这是一份2021-2022学年山东省淄博市张店区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）(含答案)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省淄博市张店区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）
1．（3分）下列函数中，y可以看作是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝﹣+1 D．y＝﹣2x﹣1
2．（3分）抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣4的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣4） B．（1，4） C．（﹣1，﹣4） D．（﹣1，4）
3．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．（3分）下列点在反比例函数y＝的图象上的是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣3） C．（1，﹣2） D．（﹣1，3）
5．（3分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升900米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为（ ）
A．900sinα米 B．900tanα米 C．米 D．米
6．（3分）下列关于二次函数y＝﹣x2+4x+3的说法正确的是（ ）
A．该函数图象的开口向上
B．该函数图象的顶点坐标为（2，3）
C．当x＜2时，y随x的增大而减小
D．该函数的最大值为7
7．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为5，则k＝（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
8．（3分）如图，A，B两地隔河相望，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达B地，现在AB（与桥DC平行）上建了新桥EF，可沿AB从A地直达B地．已知BC＝500m．桥CD＝50m，∠A＝45°，∠B＝30°．则AB的长是（ ）
A． B． C． D．500m
9．（3分）若函数y＝x2+3x+c的图象过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则下列正确的是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y3
10．（3分）如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物的高为（ ）
A．a米 B．acotα米
C．acotβ米 D．a（tanβ﹣tanα）米
11．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（，0），有下列结论：
①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；
其中所有正确的结论是（ ）
A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
12．（3分）如图，已知A1，A2，A3，…An，…是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An…＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An，…作x轴的垂线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…，Bn，…，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△BnPnBn+1的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+Sn等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共5小题，请将结果填在答题纸指定位置）
13．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
14．（3分）已知二次函数y＝2x2+bx+3的对称轴为x＝﹣2，则b＝ ．
15．（3分）如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）交于点A（m，﹣1.5）和点B（﹣2，3），则不等式ax+b≥的解集是 ．
16．（3分）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，△ABC的三个顶点均落在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，以点C为圆心，1为半径画弧，两弧交于点D，则tan∠ADB＝ ．
17．（3分）如图，在矩形AOBC中，OB＝8，OA＝6，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数y＝（k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为 ．
三、解答题（本题共7小题，请把解答过程写在答题纸上）
18．计算下列各题：
（1）|1﹣|+（﹣）﹣1sin45°+（）0；
（2）sin230°+cos245°+sin60°•tan45°．
19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，a＝2，解这个直角三角形．
20．如图，已知A（﹣5，n），B（3，﹣5）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
21．某兴趣小组借助无人机航拍校园，无人飞机从A处水平飞行至B处需8s，在地面C处同一水平线上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4m/s，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝kx+3．
（1）求直线BC的解析式和抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式和S的最大值，并指出m的取值范围．
23．模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy＝4，即y＝；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数y＝（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x+的图象可由直线y＝﹣x平移得到．请在同一平面直角坐标系中直接画出直线y＝﹣x．
（3）平移直线y＝﹣x，观察函数图象
①当直线平移到与函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长m的值为 ；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为 ．
24．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（﹣5，0），B（﹣1，0），且与y轴交于点C（0，﹣5）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线对称轴上的一个动点，连结BD，CD．是否存在这样的点D，使得△BCD的周长最小？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P是抛物线上的动点，过点P作y轴的平行线，与线段AC交于点N，连接PA．问△APN能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．
2021-2022学年山东省淄博市张店区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）
1．（3分）下列函数中，y可以看作是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝﹣+1 D．y＝﹣2x﹣1
【分析】根据反比例函数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．y不可以看作是x的反比例函数，故本选项不符合题意；
B．y不可以看作是x的反比例函数，故本选项不符合题意；
C．y不可以看作是x的反比例函数，故本选项不符合题意；
D．y可以看作是x的反比例函数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，能熟记反比例函数的定义是解此题的关键，注意：形如y＝（k为常数，k≠0）的函数，叫反比例函数．
2．（3分）抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣4的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣4） B．（1，4） C．（﹣1，﹣4） D．（﹣1，4）
【分析】由抛物线解析式的顶点式，即可找出抛物线的顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的性质找出二次函数图象的顶点坐标是解题的关键．
3．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠A，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵tan30°＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、直角三角形的性质，熟记30°的正切值为是解题的关键．
4．（3分）下列点在反比例函数y＝的图象上的是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣3） C．（1，﹣2） D．（﹣1，3）
【分析】分别将点代入函数解析式进行判断．
【解答】解：A、∵1×2＝2，
∴（1，2）在反比例函数图象上，故选项A正确；
B、∵（﹣1）×（﹣3）＝3，
∴（﹣1，﹣3）不在反比例函数图象上，故选项B错误；
C、∵1×（﹣2）＝﹣2，
∴（1，﹣2）不在反比例函数图象上，故选项C错误；
D、∵﹣1×3＝﹣3，
∴（﹣1，3）不在反比例函数图象上，故选项D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是判断xy＝2是否成立．
5．（3分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升900米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为（ ）
A．900sinα米 B．900tanα米 C．米 D．米
【分析】由题意知∠BAC＝90°，∠ABC＝α，AC＝900米，由tan∠ABC＝可知AB＝，据此计算可得．
【解答】解：由题意知∠BAC＝90°，∠ABC＝α，AC＝900米，
∵tan∠ABC＝，
∴AB＝＝（米），
故选：D．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．（3分）下列关于二次函数y＝﹣x2+4x+3的说法正确的是（ ）
A．该函数图象的开口向上
B．该函数图象的顶点坐标为（2，3）
C．当x＜2时，y随x的增大而减小
D．该函数的最大值为7
【分析】根据二次函数的性质判断即可．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+4x+3中，a＝﹣1＜0，
∴该函数图象的开口向下，故选项A错误，不符合题意；
∵y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴该函数图象的顶点坐标为（2，7），故选项B错误，不符合题意；
∵抛物线y＝﹣x2+4x+3开口向下，对称轴为直线x＝2，
∴当x＜2时，y随x的增大而增大，故选项C错误，不符合题意；
∵抛物线y＝﹣x2+4x+3开口向下，顶点坐标为（2，7），
∴该函数的最大值为7，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性．
7．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为5，则k＝（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
【分析】由C是OB的中点求△AOB的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k．
【解答】解：∵C是OB的中点，△AOC的面积为5，
∴△AOB的面积为10，
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，
∴S△AOB＝|k|，
∴|k|＝20，
∵k＞0，
∴k＝20．
故选：A．
【点评】本题考查了比例系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，求得△AOB的面积是解题关键．
8．（3分）如图，A，B两地隔河相望，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达B地，现在AB（与桥DC平行）上建了新桥EF，可沿AB从A地直达B地．已知BC＝500m．桥CD＝50m，∠A＝45°，∠B＝30°．则AB的长是（ ）
A． B． C． D．500m
【分析】通过作垂线，构造直角三角形，在两个直角三角形中分别求出AM，BN即可．
【解答】解：过点C、D作DM⊥AB，CN⊥AB，垂足为M、N，
在Rt△BCN中，∠CBN＝30°，BC＝500m，
∴CN＝BC＝250（m）＝DM，BN＝BC＝250（m），
在Rt△ADM中，∠DAM＝45°，DM＝250m，
∴AM＝DM＝250m，
∴AB＝AM+MN+BN＝250+50+250＝（300+250）m，
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形是正确解答的关键．
9．（3分）若函数y＝x2+3x+c的图象过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则下列正确的是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y3
【分析】求出抛物线的对称轴，求出C关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的增减性，即可求出答案．
【解答】解：∵y＝x2+3x+c，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝﹣，
即在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
C点关于直线x＝﹣的对称点是（0，y3），
∵﹣1＜0＜2，
∴y1＜y3＜y2，
故选：A．
【点评】本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
10．（3分）如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物的高为（ ）
A．a米 B．acotα米
C．acotβ米 D．a（tanβ﹣tanα）米
【分析】作DE⊥AB于点E，分别在直角△ADE和直角△ABC中，利用三角函数即可表示出AB于AE的长，根据DC＝BE＝AB﹣AE即可求解．
【解答】解：作DE⊥AB于点E．
在直角△AED中，ED＝BC＝a，∠ADE＝α
∵tan∠ADE＝，
∴AE＝DE•tan∠ADE＝a•tanα．
同理AB＝a•tanβ．
∴DC＝BE＝AB﹣AE＝a•tanβ﹣a•tanα＝a（tanβ﹣tanα）．
故选：D．
【点评】本题考查了利用三角函数解决有关仰角、俯角的计算问题，关键是作出辅助线，把实际问题转化成解直角三角形问题．
11．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（，0），有下列结论：
①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；
其中所有正确的结论是（ ）
A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可得结论；
②根据抛物线与x轴的交点坐标即可得结论；
③根据对称轴和与x轴的交点得另一个交点坐标，把另一个交点坐标代入抛物线解析式即可得结论；
④根据点（，0）和对称轴方程即可得结论．
【解答】解：①观察图象可知：
a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，
所以①正确；
②当x＝时，y＝0，
即a+b+c＝0，
∴a+2b+4c＝0，
∴a+4c＝﹣2b，
∴a﹣2b+4c＝﹣4b＞0，
所以②正确；
③因为对称轴x＝﹣1，抛物线与x轴的交点（，0），
所以与x轴的另一个交点为（﹣，0），
当x＝﹣时，a﹣b+c＝0，
∴25a﹣10b+4c＝0．
所以③正确；
④当x＝时，a+2b+4c＝0，
又对称轴：﹣＝﹣1，
∴b＝2a，a＝b，
b+2b+4c＝0，
∴b＝﹣c．
∴3b+2c＝﹣c+2c＝﹣c＜0，
∴3b+2c＜0．
所以④错误．
或者∵当x＝1时，a+b+c＜0，
∴c＜﹣a﹣b，
又∵b＝2a，
∴a＝b，
∴c＜﹣b，
∴2c＜﹣3b，
∴2c+3b＜0，
∴结论④错误
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是熟练运用二次函数的图象和性质．
12．（3分）如图，已知A1，A2，A3，…An，…是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An…＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An，…作x轴的垂线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…，Bn，…，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△BnPnBn+1的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+Sn等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】由OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1可知B1点的坐标为（1，y1），B2点的坐标为（2，y2），B3点的坐标为（3，y3）…Bn点的坐标为（n，yn），把x＝1，x＝2，x＝3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…Sn的值，故可得出结论．
【解答】解：∵OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，
∴设B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn），
∵B1，B2，B3…Bn在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴y1＝1，y2＝，y3＝…yn＝，
∴S1＝×1×（y1﹣y2）＝×1×（1﹣）＝（1﹣）；
S2＝×1×（y2﹣y3）＝×（ ﹣）；
S3＝×1×（y3﹣y4）＝×（﹣）；
…
Sn＝（﹣），
∴S1+S2+S3+…+Sn＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
二、填空题（本题共5小题，请将结果填在答题纸指定位置）
13．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥﹣1且x≠0 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x+1≥0且x≠0，
解得：x≥﹣1且x≠0．
故答案为：x≥﹣1且x≠0．
【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14．（3分）已知二次函数y＝2x2+bx+3的对称轴为x＝﹣2，则b＝ 8 ．
【分析】根据二次函数y＝2x2+bx+3的对称轴为x＝﹣2，可得﹣＝﹣2，从而可以得到b的值．
【解答】解：∵二次函数y＝2x2+bx+3的对称轴为x＝﹣2，
∴﹣＝﹣2，
解得b＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确对称轴的公式是直线x＝﹣．
15．（3分）如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）交于点A（m，﹣1.5）和点B（﹣2，3），则不等式ax+b≥的解集是 x≤﹣2或0＜x≤4 ．
【分析】由点A，B都在反比例函数图象上可得﹣1.5m＝﹣2×3，从而求出m，然后根据图象交点求解．
【解答】解：∵点A，B都在反比例函数图象上，
∴﹣1.5m＝﹣2×3，
∴m＝4，
∴当x≤﹣2或0＜x≤4时ax+b≥．
故答案为：x≤﹣2或0＜x≤4．
【点评】本题考查函数与不等式的关系，解题关键是求出直线与双曲线的交点坐标，然后根据图象交点左右两侧y值大小关系求解．
16．（3分）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，△ABC的三个顶点均落在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，以点C为圆心，1为半径画弧，两弧交于点D，则tan∠ADB＝ 2或1 ．
【分析】先在图上找到符合条件的点D，再在直角三角形中求出∠ADB的正切值．
【解答】解：如图1所示：∵AD＝AB＝，CD＝1，
∴点D是符合条件的点．
在Rt△ADM中，tan∠ADB＝＝2．
如图2所示：∵AD＝AB＝，CD＝1，
∴点D是符合条件的点．
∵AD＝AB＝，BD＝，
∴BD2＝AD2+AB2．
∴△ADB是直角三角形．
在Rt△ADB中，tan∠ADB＝＝1．
故答案为：2或1．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及在已知图上找出符合条件的点D是解决本题的关键
17．（3分）如图，在矩形AOBC中，OB＝8，OA＝6，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数y＝（k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为 ．
【分析】证明Rt△MED∽Rt△BDF，则 ＝＝，而EM：DB＝ED：DF＝4：3，求出DB，在Rt△DBF中，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，过点E作EM⊥x轴于点M，
∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的D点处，
∴∠EDF＝∠C＝90°，EC＝ED，CF＝DF，
∴∠MDE+∠FDB＝90°，
而EM⊥OB，
∴∠MDE+∠MED＝90°，
∴∠MED＝∠FDB，
∴Rt△MED∽Rt△BDF；
又∵EC＝AC﹣AE＝8﹣，CF＝BC﹣BF＝6﹣，
∴ED＝8﹣，DF＝6﹣，
∴＝＝；
∵EM：DB＝ED：DF＝4：3，而EM＝6，
∴DB＝，
在Rt△DBF中，DF2＝DB2+BF2，即（6﹣）2＝（）2+（）2，
解得k＝，
故答案为．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到图形折叠的性质、勾股定理以及三角形相似的判定与性质，综合性强，难度适中．
三、解答题（本题共7小题，请把解答过程写在答题纸上）
18．计算下列各题：
（1）|1﹣|+（﹣）﹣1sin45°+（）0；
（2）sin230°+cos245°+sin60°•tan45°．
【分析】（1）按先算负整数指数幂、零指数幂、绝对值及三角函数，再算乘法，最后计算加减；
（2）按先算三角函数，再算乘方，后算乘除，最后计算加减的顺序计算即可．
【解答】解：（1）|1﹣|+（﹣）﹣1sin45°+（）0
＝﹣1﹣2×+1
＝﹣1﹣+1
＝0；
（2）sin230°+cos245°+sin60°•tan45°
＝（）2+（）2+××1
＝++
＝+．
【点评】此题考查了实数混合运算的能力，关键是能确定正确的运算顺序，并能进行准确计算．
19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，a＝2，解这个直角三角形．
【分析】利用勾股定理可求出b＝2，结合c＝4可得出b＝c，进而可得出∠B＝30°，∠A＝60°．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，a＝2，
∴b＝＝2，
∴b＝c，
∴∠B＝30°，∠A＝60°．
【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，利用勾股定理求出b值，找出b＝c是解题的关键．
20．如图，已知A（﹣5，n），B（3，﹣5）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
（2）根据三角形的面积公式，三角形面积的和差，可得答案．
【解答】解：（1）A（﹣5，n）B（3，﹣5）都在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝﹣5n＝3×（﹣5），
∴m＝﹣15，n＝3，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，点A的坐标是（﹣5，3），
将A、B两点坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；
（2）在y＝﹣x﹣2中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴C点坐标（﹣2，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝8．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求解析式，三角形面积等，求得函数解析式是解题的关键．
21．某兴趣小组借助无人机航拍校园，无人飞机从A处水平飞行至B处需8s，在地面C处同一水平线上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4m/s，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）
【分析】如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，根据题意确定出∠ABC与∠ACB的度数，利用锐角三角函数定义求出AD与BD的长，由CD+BD求出BC的长，即可求出BH的长．
【解答】解：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，
由题意得：∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，
∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，
∵AB＝32m，
∴AD＝CD＝16m，BD＝AB•cos30°＝16m，
∴BC＝CD+BD＝（16+16）m，
则BH＝BC•sin30°＝（8+8）m．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝kx+3．
（1）求直线BC的解析式和抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式和S的最大值，并指出m的取值范围．
【分析】（1）先把B点坐标代入y＝kx+3中秋出k得到直线BC的解析式为y＝﹣x+3，再确定C点坐标为（0，3），接着设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），然后把C点坐标代入求出a，从而得到抛物线的解析式；
（2）过P点作PE∥y轴交BC于E，如图，设P（m，﹣m2+2m+3）（0＜m＜3），则E（m，﹣m+3），于是可表示出PE＝﹣m2+3m，利用三角形面积公式得到S＝×PE×OB＝（﹣m2+3m），然后根据二次函数的性质解决问题．
【解答】解：（1）把B（3，0）代入y＝kx+3得3k+3＝0，解得k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则C（0，3），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，3）代入得3＝a×1×（﹣3），解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），
即y＝﹣x2+2x+3；
（2）过P点作PE∥y轴交BC于E，如图，
设P（m，﹣m2+2m+3）（0＜m＜3），则E（m，﹣m+3），
∴PE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∴S＝×PE×OB＝（﹣m2+3m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+（0＜m＜3），
∵a＝﹣＜0，
∴当m＝时，S有最大值，最大值为．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查二次函数的性质和待定系数法求函数解析式．
23．模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy＝4，即y＝；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 一 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数y＝（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x+的图象可由直线y＝﹣x平移得到．请在同一平面直角坐标系中直接画出直线y＝﹣x．
（3）平移直线y＝﹣x，观察函数图象
①当直线平移到与函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长m的值为 8 ；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为 m≥8 ．
【分析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，即可求解；
（2）直接画出图象即可；
（3）①把点（2，2）代入y＝﹣x+即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立y＝和y＝﹣x+并整理得：x2﹣mx+4＝0，即可求解；
（4）由（3）可得．
【解答】解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数，
故点（x，y）在第一象限，
答案为：一；
（2）图象如下所示：
（3）①把点（2，2）代入y＝﹣x+得：
2＝﹣2+，解得：m＝8，
②由①知：0个交点时，0＜m＜8；2个交点时，m＞8（1个交点时，m＝8）；
（4）由（3）知，两个函数有交点时，m≥8．
【点评】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大．
24．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（﹣5，0），B（﹣1，0），且与y轴交于点C（0，﹣5）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线对称轴上的一个动点，连结BD，CD．是否存在这样的点D，使得△BCD的周长最小？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P是抛物线上的动点，过点P作y轴的平行线，与线段AC交于点N，连接PA．问△APN能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣5，0），B（﹣1，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+bx+c，用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣5；
（2）由题意可得AD＝BD，BC＝，当AD+CD最小时，△BCD的周长最小，A、D、C共线，即D为直线AC与直线x＝﹣3的交点，由A（﹣5，0），C（0，﹣5）得直线AC为y＝﹣x﹣5，即得D（﹣3，﹣2）；
（3）设P（m，﹣m2﹣6m﹣5），则N（m，﹣m﹣5），而A（﹣5，0），可得PA2＝（m+5）2+（m2+6m+5）2，PN2＝（m2+5m）2，AN2＝2（m+5）2，①若PA＝AN，即（m+5）2+（m2+6m+5）2＝2（m+5）2，解得P（﹣2，3）；②若PA＝PN，即（m+5）2+（m2+6m+5）2＝（m2+5m）2，解得P（﹣1，0）；③若AN＝PN，即（m2+5m）2＝2（m+5）2，解得P（﹣，6﹣7）．
【解答】解：（1）将A（﹣5，0），B（﹣1，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣5；
（2）存在点D，使得△BCD的周长最小，如图：
由y＝﹣x2﹣6x﹣5得抛物线对称轴为直线x＝﹣3，
∵A（﹣5，0），B（﹣1，0）关于抛物线对称轴对称，
∴AD＝BD，
∵B（﹣1，0），C（0，﹣5），
∴BC＝，
∵△BCD的周长等于BC+BD+CD＝+AD+CD，
∴当AD+CD最小时，△BCD的周长最小，此时A、D、C共线，即D为直线AC与直线x＝﹣3的交点，
由A（﹣5，0），C（0，﹣5）得直线AC的解析式为y＝﹣x﹣5，
令x＝﹣3得y＝﹣（﹣3）﹣5＝﹣2，
∴D（﹣3，﹣2）；
（3）△APN能为等腰三角形，
设P（m，﹣m2﹣6m﹣5），则N（m，﹣m﹣5），而A（﹣5，0），
∴PA2＝（m+5）2+（m2+6m+5）2，PN2＝（m2+5m）2，AN2＝2（m+5）2，
①若PA＝AN，如图：
∴（m+5）2+（m2+6m+5）2＝2（m+5）2，
∴（m2+6m+5）2﹣（m+5）2＝0，
∴m（m+2）（m+5）2＝0，
解得m＝0（与C重合，舍去）或m＝﹣5（与A重合，舍去）或m＝﹣2，
∴P（﹣2，3）；
②若PA＝PN，如图：
∴（m+5）2+（m2+6m+5）2＝（m2+5m）2，
∴（m+5）2+（m+1）2•（m+5）2＝m2（m+5）2，
∴（m+5）2•[1+（m+1）2﹣m2]＝0，
∴（m+5）2•（2m+2]＝0，
∴m＝﹣5（舍去）或m＝﹣1，
∴P（﹣1，0）；
③若AN＝PN，如图：
∴（m2+5m）2＝2（m+5）2，
∴m2（m+5）2﹣2（m+5）2＝0，
∴（m+5）2（m2﹣2）＝0，
∴m＝﹣5（舍去）或m＝（此时N不在线段AC上，舍去）或m＝﹣，
∴P（﹣，6﹣7）；
综上所述，P的坐标为：（﹣2，3）或（﹣1，0）或（﹣，6﹣7）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形周长、等腰三角形判定等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示△APN的三边长度．
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2021-2022学年山东省淄博市张店区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）
1．（3分）下列函数中，y可以看作是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝﹣+1 D．y＝﹣2x﹣1
2．（3分）抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣4的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣4） B．（1，4） C．（﹣1，﹣4） D．（﹣1，4）
3．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．（3分）下列点在反比例函数y＝的图象上的是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣3） C．（1，﹣2） D．（﹣1，3）
5．（3分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升900米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为（ ）
A．900sinα米 B．900tanα米 C．米 D．米
6．（3分）下列关于二次函数y＝﹣x2+4x+3的说法正确的是（ ）
A．该函数图象的开口向上
B．该函数图象的顶点坐标为（2，3）
C．当x＜2时，y随x的增大而减小
D．该函数的最大值为7
7．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为5，则k＝（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
8．（3分）如图，A，B两地隔河相望，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达B地，现在AB（与桥DC平行）上建了新桥EF，可沿AB从A地直达B地．已知BC＝500m．桥CD＝50m，∠A＝45°，∠B＝30°．则AB的长是（ ）
A． B． C． D．500m
9．（3分）若函数y＝x2+3x+c的图象过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则下列正确的是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y3
10．（3分）如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物的高为（ ）
A．a米 B．acotα米
C．acotβ米 D．a（tanβ﹣tanα）米
11．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（，0），有下列结论：
①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；
其中所有正确的结论是（ ）
A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
12．（3分）如图，已知A1，A2，A3，…An，…是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An…＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An，…作x轴的垂线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…，Bn，…，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△BnPnBn+1的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+Sn等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共5小题，请将结果填在答题纸指定位置）
13．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
14．（3分）已知二次函数y＝2x2+bx+3的对称轴为x＝﹣2，则b＝ ．
15．（3分）如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）交于点A（m，﹣1.5）和点B（﹣2，3），则不等式ax+b≥的解集是 ．
16．（3分）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，△ABC的三个顶点均落在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，以点C为圆心，1为半径画弧，两弧交于点D，则tan∠ADB＝ ．
17．（3分）如图，在矩形AOBC中，OB＝8，OA＝6，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数y＝（k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为 ．
三、解答题（本题共7小题，请把解答过程写在答题纸上）
18．计算下列各题：
（1）|1﹣|+（﹣）﹣1sin45°+（）0；
（2）sin230°+cos245°+sin60°•tan45°．
19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，a＝2，解这个直角三角形．
20．如图，已知A（﹣5，n），B（3，﹣5）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
21．某兴趣小组借助无人机航拍校园，无人飞机从A处水平飞行至B处需8s，在地面C处同一水平线上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4m/s，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝kx+3．
（1）求直线BC的解析式和抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式和S的最大值，并指出m的取值范围．
23．模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy＝4，即y＝；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数y＝（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x+的图象可由直线y＝﹣x平移得到．请在同一平面直角坐标系中直接画出直线y＝﹣x．
（3）平移直线y＝﹣x，观察函数图象
①当直线平移到与函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长m的值为 ；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为 ．
24．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（﹣5，0），B（﹣1，0），且与y轴交于点C（0，﹣5）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线对称轴上的一个动点，连结BD，CD．是否存在这样的点D，使得△BCD的周长最小？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P是抛物线上的动点，过点P作y轴的平行线，与线段AC交于点N，连接PA．问△APN能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．
2021-2022学年山东省淄博市张店区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）
1．（3分）下列函数中，y可以看作是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝﹣+1 D．y＝﹣2x﹣1
【分析】根据反比例函数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．y不可以看作是x的反比例函数，故本选项不符合题意；
B．y不可以看作是x的反比例函数，故本选项不符合题意；
C．y不可以看作是x的反比例函数，故本选项不符合题意；
D．y可以看作是x的反比例函数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，能熟记反比例函数的定义是解此题的关键，注意：形如y＝（k为常数，k≠0）的函数，叫反比例函数．
2．（3分）抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣4的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣4） B．（1，4） C．（﹣1，﹣4） D．（﹣1，4）
【分析】由抛物线解析式的顶点式，即可找出抛物线的顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的性质找出二次函数图象的顶点坐标是解题的关键．
3．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠A，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵tan30°＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、直角三角形的性质，熟记30°的正切值为是解题的关键．
4．（3分）下列点在反比例函数y＝的图象上的是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣3） C．（1，﹣2） D．（﹣1，3）
【分析】分别将点代入函数解析式进行判断．
【解答】解：A、∵1×2＝2，
∴（1，2）在反比例函数图象上，故选项A正确；
B、∵（﹣1）×（﹣3）＝3，
∴（﹣1，﹣3）不在反比例函数图象上，故选项B错误；
C、∵1×（﹣2）＝﹣2，
∴（1，﹣2）不在反比例函数图象上，故选项C错误；
D、∵﹣1×3＝﹣3，
∴（﹣1，3）不在反比例函数图象上，故选项D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是判断xy＝2是否成立．
5．（3分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升900米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为（ ）
A．900sinα米 B．900tanα米 C．米 D．米
【分析】由题意知∠BAC＝90°，∠ABC＝α，AC＝900米，由tan∠ABC＝可知AB＝，据此计算可得．
【解答】解：由题意知∠BAC＝90°，∠ABC＝α，AC＝900米，
∵tan∠ABC＝，
∴AB＝＝（米），
故选：D．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．（3分）下列关于二次函数y＝﹣x2+4x+3的说法正确的是（ ）
A．该函数图象的开口向上
B．该函数图象的顶点坐标为（2，3）
C．当x＜2时，y随x的增大而减小
D．该函数的最大值为7
【分析】根据二次函数的性质判断即可．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+4x+3中，a＝﹣1＜0，
∴该函数图象的开口向下，故选项A错误，不符合题意；
∵y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴该函数图象的顶点坐标为（2，7），故选项B错误，不符合题意；
∵抛物线y＝﹣x2+4x+3开口向下，对称轴为直线x＝2，
∴当x＜2时，y随x的增大而增大，故选项C错误，不符合题意；
∵抛物线y＝﹣x2+4x+3开口向下，顶点坐标为（2，7），
∴该函数的最大值为7，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性．
7．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为5，则k＝（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
【分析】由C是OB的中点求△AOB的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k．
【解答】解：∵C是OB的中点，△AOC的面积为5，
∴△AOB的面积为10，
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，
∴S△AOB＝|k|，
∴|k|＝20，
∵k＞0，
∴k＝20．
故选：A．
【点评】本题考查了比例系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，求得△AOB的面积是解题关键．
8．（3分）如图，A，B两地隔河相望，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达B地，现在AB（与桥DC平行）上建了新桥EF，可沿AB从A地直达B地．已知BC＝500m．桥CD＝50m，∠A＝45°，∠B＝30°．则AB的长是（ ）
A． B． C． D．500m
【分析】通过作垂线，构造直角三角形，在两个直角三角形中分别求出AM，BN即可．
【解答】解：过点C、D作DM⊥AB，CN⊥AB，垂足为M、N，
在Rt△BCN中，∠CBN＝30°，BC＝500m，
∴CN＝BC＝250（m）＝DM，BN＝BC＝250（m），
在Rt△ADM中，∠DAM＝45°，DM＝250m，
∴AM＝DM＝250m，
∴AB＝AM+MN+BN＝250+50+250＝（300+250）m，
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形是正确解答的关键．
9．（3分）若函数y＝x2+3x+c的图象过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则下列正确的是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y3
【分析】求出抛物线的对称轴，求出C关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的增减性，即可求出答案．
【解答】解：∵y＝x2+3x+c，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝﹣，
即在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
C点关于直线x＝﹣的对称点是（0，y3），
∵﹣1＜0＜2，
∴y1＜y3＜y2，
故选：A．
【点评】本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
10．（3分）如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物的高为（ ）
A．a米 B．acotα米
C．acotβ米 D．a（tanβ﹣tanα）米
【分析】作DE⊥AB于点E，分别在直角△ADE和直角△ABC中，利用三角函数即可表示出AB于AE的长，根据DC＝BE＝AB﹣AE即可求解．
【解答】解：作DE⊥AB于点E．
在直角△AED中，ED＝BC＝a，∠ADE＝α
∵tan∠ADE＝，
∴AE＝DE•tan∠ADE＝a•tanα．
同理AB＝a•tanβ．
∴DC＝BE＝AB﹣AE＝a•tanβ﹣a•tanα＝a（tanβ﹣tanα）．
故选：D．
【点评】本题考查了利用三角函数解决有关仰角、俯角的计算问题，关键是作出辅助线，把实际问题转化成解直角三角形问题．
11．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（，0），有下列结论：
①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；
其中所有正确的结论是（ ）
A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可得结论；
②根据抛物线与x轴的交点坐标即可得结论；
③根据对称轴和与x轴的交点得另一个交点坐标，把另一个交点坐标代入抛物线解析式即可得结论；
④根据点（，0）和对称轴方程即可得结论．
【解答】解：①观察图象可知：
a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，
所以①正确；
②当x＝时，y＝0，
即a+b+c＝0，
∴a+2b+4c＝0，
∴a+4c＝﹣2b，
∴a﹣2b+4c＝﹣4b＞0，
所以②正确；
③因为对称轴x＝﹣1，抛物线与x轴的交点（，0），
所以与x轴的另一个交点为（﹣，0），
当x＝﹣时，a﹣b+c＝0，
∴25a﹣10b+4c＝0．
所以③正确；
④当x＝时，a+2b+4c＝0，
又对称轴：﹣＝﹣1，
∴b＝2a，a＝b，
b+2b+4c＝0，
∴b＝﹣c．
∴3b+2c＝﹣c+2c＝﹣c＜0，
∴3b+2c＜0．
所以④错误．
或者∵当x＝1时，a+b+c＜0，
∴c＜﹣a﹣b，
又∵b＝2a，
∴a＝b，
∴c＜﹣b，
∴2c＜﹣3b，
∴2c+3b＜0，
∴结论④错误
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是熟练运用二次函数的图象和性质．
12．（3分）如图，已知A1，A2，A3，…An，…是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An…＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An，…作x轴的垂线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…，Bn，…，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△BnPnBn+1的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+Sn等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】由OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1可知B1点的坐标为（1，y1），B2点的坐标为（2，y2），B3点的坐标为（3，y3）…Bn点的坐标为（n，yn），把x＝1，x＝2，x＝3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…Sn的值，故可得出结论．
【解答】解：∵OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，
∴设B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn），
∵B1，B2，B3…Bn在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴y1＝1，y2＝，y3＝…yn＝，
∴S1＝×1×（y1﹣y2）＝×1×（1﹣）＝（1﹣）；
S2＝×1×（y2﹣y3）＝×（ ﹣）；
S3＝×1×（y3﹣y4）＝×（﹣）；
…
Sn＝（﹣），
∴S1+S2+S3+…+Sn＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
二、填空题（本题共5小题，请将结果填在答题纸指定位置）
13．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥﹣1且x≠0 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x+1≥0且x≠0，
解得：x≥﹣1且x≠0．
故答案为：x≥﹣1且x≠0．
【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14．（3分）已知二次函数y＝2x2+bx+3的对称轴为x＝﹣2，则b＝ 8 ．
【分析】根据二次函数y＝2x2+bx+3的对称轴为x＝﹣2，可得﹣＝﹣2，从而可以得到b的值．
【解答】解：∵二次函数y＝2x2+bx+3的对称轴为x＝﹣2，
∴﹣＝﹣2，
解得b＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确对称轴的公式是直线x＝﹣．
15．（3分）如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）交于点A（m，﹣1.5）和点B（﹣2，3），则不等式ax+b≥的解集是 x≤﹣2或0＜x≤4 ．
【分析】由点A，B都在反比例函数图象上可得﹣1.5m＝﹣2×3，从而求出m，然后根据图象交点求解．
【解答】解：∵点A，B都在反比例函数图象上，
∴﹣1.5m＝﹣2×3，
∴m＝4，
∴当x≤﹣2或0＜x≤4时ax+b≥．
故答案为：x≤﹣2或0＜x≤4．
【点评】本题考查函数与不等式的关系，解题关键是求出直线与双曲线的交点坐标，然后根据图象交点左右两侧y值大小关系求解．
16．（3分）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，△ABC的三个顶点均落在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，以点C为圆心，1为半径画弧，两弧交于点D，则tan∠ADB＝ 2或1 ．
【分析】先在图上找到符合条件的点D，再在直角三角形中求出∠ADB的正切值．
【解答】解：如图1所示：∵AD＝AB＝，CD＝1，
∴点D是符合条件的点．
在Rt△ADM中，tan∠ADB＝＝2．
如图2所示：∵AD＝AB＝，CD＝1，
∴点D是符合条件的点．
∵AD＝AB＝，BD＝，
∴BD2＝AD2+AB2．
∴△ADB是直角三角形．
在Rt△ADB中，tan∠ADB＝＝1．
故答案为：2或1．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及在已知图上找出符合条件的点D是解决本题的关键
17．（3分）如图，在矩形AOBC中，OB＝8，OA＝6，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数y＝（k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为 ．
【分析】证明Rt△MED∽Rt△BDF，则 ＝＝，而EM：DB＝ED：DF＝4：3，求出DB，在Rt△DBF中，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，过点E作EM⊥x轴于点M，
∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的D点处，
∴∠EDF＝∠C＝90°，EC＝ED，CF＝DF，
∴∠MDE+∠FDB＝90°，
而EM⊥OB，
∴∠MDE+∠MED＝90°，
∴∠MED＝∠FDB，
∴Rt△MED∽Rt△BDF；
又∵EC＝AC﹣AE＝8﹣，CF＝BC﹣BF＝6﹣，
∴ED＝8﹣，DF＝6﹣，
∴＝＝；
∵EM：DB＝ED：DF＝4：3，而EM＝6，
∴DB＝，
在Rt△DBF中，DF2＝DB2+BF2，即（6﹣）2＝（）2+（）2，
解得k＝，
故答案为．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到图形折叠的性质、勾股定理以及三角形相似的判定与性质，综合性强，难度适中．
三、解答题（本题共7小题，请把解答过程写在答题纸上）
18．计算下列各题：
（1）|1﹣|+（﹣）﹣1sin45°+（）0；
（2）sin230°+cos245°+sin60°•tan45°．
【分析】（1）按先算负整数指数幂、零指数幂、绝对值及三角函数，再算乘法，最后计算加减；
（2）按先算三角函数，再算乘方，后算乘除，最后计算加减的顺序计算即可．
【解答】解：（1）|1﹣|+（﹣）﹣1sin45°+（）0
＝﹣1﹣2×+1
＝﹣1﹣+1
＝0；
（2）sin230°+cos245°+sin60°•tan45°
＝（）2+（）2+××1
＝++
＝+．
【点评】此题考查了实数混合运算的能力，关键是能确定正确的运算顺序，并能进行准确计算．
19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，a＝2，解这个直角三角形．
【分析】利用勾股定理可求出b＝2，结合c＝4可得出b＝c，进而可得出∠B＝30°，∠A＝60°．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，a＝2，
∴b＝＝2，
∴b＝c，
∴∠B＝30°，∠A＝60°．
【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，利用勾股定理求出b值，找出b＝c是解题的关键．
20．如图，已知A（﹣5，n），B（3，﹣5）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
（2）根据三角形的面积公式，三角形面积的和差，可得答案．
【解答】解：（1）A（﹣5，n）B（3，﹣5）都在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝﹣5n＝3×（﹣5），
∴m＝﹣15，n＝3，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，点A的坐标是（﹣5，3），
将A、B两点坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；
（2）在y＝﹣x﹣2中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴C点坐标（﹣2，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝8．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求解析式，三角形面积等，求得函数解析式是解题的关键．
21．某兴趣小组借助无人机航拍校园，无人飞机从A处水平飞行至B处需8s，在地面C处同一水平线上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4m/s，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）
【分析】如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，根据题意确定出∠ABC与∠ACB的度数，利用锐角三角函数定义求出AD与BD的长，由CD+BD求出BC的长，即可求出BH的长．
【解答】解：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，
由题意得：∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，
∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，
∵AB＝32m，
∴AD＝CD＝16m，BD＝AB•cos30°＝16m，
∴BC＝CD+BD＝（16+16）m，
则BH＝BC•sin30°＝（8+8）m．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝kx+3．
（1）求直线BC的解析式和抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式和S的最大值，并指出m的取值范围．
【分析】（1）先把B点坐标代入y＝kx+3中秋出k得到直线BC的解析式为y＝﹣x+3，再确定C点坐标为（0，3），接着设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），然后把C点坐标代入求出a，从而得到抛物线的解析式；
（2）过P点作PE∥y轴交BC于E，如图，设P（m，﹣m2+2m+3）（0＜m＜3），则E（m，﹣m+3），于是可表示出PE＝﹣m2+3m，利用三角形面积公式得到S＝×PE×OB＝（﹣m2+3m），然后根据二次函数的性质解决问题．
【解答】解：（1）把B（3，0）代入y＝kx+3得3k+3＝0，解得k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则C（0，3），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，3）代入得3＝a×1×（﹣3），解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），
即y＝﹣x2+2x+3；
（2）过P点作PE∥y轴交BC于E，如图，
设P（m，﹣m2+2m+3）（0＜m＜3），则E（m，﹣m+3），
∴PE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∴S＝×PE×OB＝（﹣m2+3m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+（0＜m＜3），
∵a＝﹣＜0，
∴当m＝时，S有最大值，最大值为．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查二次函数的性质和待定系数法求函数解析式．
23．模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy＝4，即y＝；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 一 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数y＝（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x+的图象可由直线y＝﹣x平移得到．请在同一平面直角坐标系中直接画出直线y＝﹣x．
（3）平移直线y＝﹣x，观察函数图象
①当直线平移到与函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长m的值为 8 ；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为 m≥8 ．
【分析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，即可求解；
（2）直接画出图象即可；
（3）①把点（2，2）代入y＝﹣x+即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立y＝和y＝﹣x+并整理得：x2﹣mx+4＝0，即可求解；
（4）由（3）可得．
【解答】解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数，
故点（x，y）在第一象限，
答案为：一；
（2）图象如下所示：
（3）①把点（2，2）代入y＝﹣x+得：
2＝﹣2+，解得：m＝8，
②由①知：0个交点时，0＜m＜8；2个交点时，m＞8（1个交点时，m＝8）；
（4）由（3）知，两个函数有交点时，m≥8．
【点评】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大．
24．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（﹣5，0），B（﹣1，0），且与y轴交于点C（0，﹣5）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线对称轴上的一个动点，连结BD，CD．是否存在这样的点D，使得△BCD的周长最小？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P是抛物线上的动点，过点P作y轴的平行线，与线段AC交于点N，连接PA．问△APN能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣5，0），B（﹣1，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+bx+c，用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣5；
（2）由题意可得AD＝BD，BC＝，当AD+CD最小时，△BCD的周长最小，A、D、C共线，即D为直线AC与直线x＝﹣3的交点，由A（﹣5，0），C（0，﹣5）得直线AC为y＝﹣x﹣5，即得D（﹣3，﹣2）；
（3）设P（m，﹣m2﹣6m﹣5），则N（m，﹣m﹣5），而A（﹣5，0），可得PA2＝（m+5）2+（m2+6m+5）2，PN2＝（m2+5m）2，AN2＝2（m+5）2，①若PA＝AN，即（m+5）2+（m2+6m+5）2＝2（m+5）2，解得P（﹣2，3）；②若PA＝PN，即（m+5）2+（m2+6m+5）2＝（m2+5m）2，解得P（﹣1，0）；③若AN＝PN，即（m2+5m）2＝2（m+5）2，解得P（﹣，6﹣7）．
【解答】解：（1）将A（﹣5，0），B（﹣1，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣5；
（2）存在点D，使得△BCD的周长最小，如图：
由y＝﹣x2﹣6x﹣5得抛物线对称轴为直线x＝﹣3，
∵A（﹣5，0），B（﹣1，0）关于抛物线对称轴对称，
∴AD＝BD，
∵B（﹣1，0），C（0，﹣5），
∴BC＝，
∵△BCD的周长等于BC+BD+CD＝+AD+CD，
∴当AD+CD最小时，△BCD的周长最小，此时A、D、C共线，即D为直线AC与直线x＝﹣3的交点，
由A（﹣5，0），C（0，﹣5）得直线AC的解析式为y＝﹣x﹣5，
令x＝﹣3得y＝﹣（﹣3）﹣5＝﹣2，
∴D（﹣3，﹣2）；
（3）△APN能为等腰三角形，
设P（m，﹣m2﹣6m﹣5），则N（m，﹣m﹣5），而A（﹣5，0），
∴PA2＝（m+5）2+（m2+6m+5）2，PN2＝（m2+5m）2，AN2＝2（m+5）2，
①若PA＝AN，如图：
∴（m+5）2+（m2+6m+5）2＝2（m+5）2，
∴（m2+6m+5）2﹣（m+5）2＝0，
∴m（m+2）（m+5）2＝0，
解得m＝0（与C重合，舍去）或m＝﹣5（与A重合，舍去）或m＝﹣2，
∴P（﹣2，3）；
②若PA＝PN，如图：
∴（m+5）2+（m2+6m+5）2＝（m2+5m）2，
∴（m+5）2+（m+1）2•（m+5）2＝m2（m+5）2，
∴（m+5）2•[1+（m+1）2﹣m2]＝0，
∴（m+5）2•（2m+2]＝0，
∴m＝﹣5（舍去）或m＝﹣1，
∴P（﹣1，0）；
③若AN＝PN，如图：
∴（m2+5m）2＝2（m+5）2，
∴m2（m+5）2﹣2（m+5）2＝0，
∴（m+5）2（m2﹣2）＝0，
∴m＝﹣5（舍去）或m＝（此时N不在线段AC上，舍去）或m＝﹣，
∴P（﹣，6﹣7）；
综上所述，P的坐标为：（﹣2，3）或（﹣1，0）或（﹣，6﹣7）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形周长、等腰三角形判定等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示△APN的三边长度．
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