山东省淄博市周村区2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷（五四学制）(解析版)

2021-2022学年山东省淄博市周村区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列函数中，当时，随的增大而减小的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，是电杆的一根拉线，测得米，，则拉线的长为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D.

4. 如图，是的直径，是的弦，如果，那么等于(    )

A.
B.
C.
D.

5. 为内一点，，半径为，则经过点的最短弦长为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知，则锐角的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 学校要举行运动会，小亮和小刚报名参加米短跑项目的比赛，预赛分，，三组进行，小亮和小刚恰好在同一个组的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 小明用若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的三视图如图所示，由此可知，搭成这个几何体的小正方体最多有(    )
    

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9. 如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为，扇形的圆心角等于，则围成的圆锥模型的高为(    )
    

A.  B.  C.  D.

10. 如图，中，弦，连接，，若，，则半径的长是(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，二次函数的图象经过，，三点，下面四个结论中正确的是(    )

A. 抛物线开口向下
B. 当时，取最小值
C. 当时，一元二次方程必有两个不相等实根
D. 直线经过点，，当时，的取值范围是

12. 在中，，是互相垂直的两条直径，点在上，于点若点三等分弦，的直径为，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

13. 已知，若，则 ______ ．
14. 如图，是的直径，弦，垂足为点，，，则______．

15. 已知点、是反比例函数图象上的两点，其中，则 ______ ．
16. 如图，在边长为的正六边形中，将四边形绕顶点顺时针旋转到四边形处，此时边与对角线重叠，则图中阴影部分的面积是______．

17. 直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，若，则的值是______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    如图，在中，，，．
    求的长；
    求的值．

19. 本小题分
    “学习强国”平台功能强大，其中有个学习项目是“四人赛”，参与比赛的四人都可以完成两局．其积分规则如下：首局第一名积分，第二、三名各积分，第四名积分；第二局第一名积分，其余名次各积分；每日仅前两局得分．
    若李老师只完成了首局比赛，他获得的积分是几分的概率最大？
    若李老师完成了前两局比赛，求他前两局积分之和恰好是分的概率．
20. 本小题分
    为了预防新冠肺炎，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，与成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
    分别求出药物燃烧时和药物燃烧后关于的函数关系式；
    研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？

21. 本小题分
    如图，在中，，，是边的中点，过点作直线的垂线，与边相交于点．
    求线段的长；
    求的值．

22. 本小题分
    如图，是的外心，是的内心，连接并延长交和于，．
    求证：；
    若，，，求的长．

23. 本小题分
    如图，已知为的直径，过上的点的切线交的延长线于点，于点且交于点，连接，，．
    求证：；
    若，，求的长；
    若，，求的半径．
     
24. 本小题分
    抛物线：与轴分别相交于，，交轴于．
    
    求抛物线的表达式；
    如图，抛物线的对称轴交于，交于，点为的中点．若抛物线上一点关于点的对称点正好落在坐标轴上，求点的坐标；
    如图，点，，将抛物线平移得到抛物线，的顶点始终在线段上，抛物线与轴交于，两点，过点作垂直于轴于点，线段和之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
B、主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；
C、主视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意；
D、主视图和俯视图完全相同，是等圆，故本选项符合题意．
故选：．
主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，当时，随的增大而增大，不合题意；
B、，随的增大与增大，不合题意；
C、，当时，随的增大而增大，不合题意；
D、，当时，随的增大而减小，符合题意；
故选：．
直接利用正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质分别判断得出答案．
此题主要考查了正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质，正确掌握相关函数增减性是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
米．
故选：．
根据三角函数的定义解答．
本题是一道实际问题，要将其转化为解直角三角形的问题，用三角函数解答．
 

4.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
，
，
故选：．
根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由，可求得的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．
此题考查了圆周角定理的推论以及直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：
如图，过作，交于、，则线段是过点的最短的弦，连接，
则，
由勾股定理得：，
，过圆心，
，
即，
故选：．
过作，交于、，则线段是过点的最短的弦，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，再求出答案即可．
本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理得出是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
故选：．
根据余弦值随着角度的增大或减小而减小或增大；
本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在间变化时，
正弦值随着角度的增大或减小而增大或减小；
余弦值随着角度的增大或减小而减小或增大；
正切值随着角度的增大或减小而增大或减小．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，总共有种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，
其中，小亮和小刚在同一个组的结果有种：，，，
小亮和小刚恰好在同一个组的概率．
故选：．
列出树状图，总共有种可能出现的结果，小亮和小刚在同一个组的结果有种，所以小亮和小刚恰好在同一个组的概率为．
本题考查了列表法与树状图法，作出表格或图形是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：在俯视图上标出的各个位置上最多可摆放的小正方体的个数，如图所示

因此最多摆放的小正方体的个数为个，
故选：．
在俯视图对应的位置上，标出该位置上最多可摆放小正方体的个数，进而得出答案．
本题考查简单组合体的三视图，理解三视图的意义是得出正确答案的前提．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查圆锥侧面面积的计算，正确理解圆的周长就是扇形的弧长是解题的关键．
首先求得围成的圆锥的母线长，然后利用勾股定理求得其高即可．
【解答】
解：圆的半径为，扇形的弧长等于底面圆的周长得出．
设圆锥的母线长为，则，
解得：．
根据勾股定理得圆锥的高为，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，延长交于，连接，，，

是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
半径的长是．
故选：．
连接，延长交于，连接，，首先证明，利用勾股定理求出即可．
本题考查解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：将点、、的坐标代入抛物线表达式得
解得，
故抛物线的表达式为，
函数图象如下：

，
抛物线开口向上，故A错误，不符合题意；

B.抛物线开口向上，则时，取得最小值，
当时，，
故B错误，不符合题意；

C.由知，函数的最小值为，
故时，直线和有两个交点，
故一元二次方程必有两个不相等实根，
故C正确，符合题意；

D.观察函数图象，直线经过点，，
当时，的取值范围是或，
故D错误，不符合题意；
故选：．
将点、、的坐标代入抛物线表达式，求出抛物线的表达式为，画出函数图象，进而求解．
本题考查的是二次函数与不等式组和待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是确定函数图象的交点，根据交点处图象之间的位置关系，确定不等式的解．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，连接，设交于点，设．

，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，，，
，，
∽，
，
，
，
，
故选：．
如图，连接，设交于点，设首先证明是等腰直角三角形，推出，利用勾股定理求出，由∽，推出，推出，，，再由∽，推出，由此构建方程即可解决问题；
本题考查勾股定理相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由，若，得
，
故答案为：．
根据互为余角的三角函数的关系：一个角的正弦等于它余角的余弦，可得答案．
本题考查了互为余角三角函数的关系，一个角的正弦等于它余角的余弦．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

，
．
设，则．
．
在中，，
．
．
．
．
故答案为：．
如图，连接根据垂径定理，由，得设，则，那么根据勾股定理，由在中，，得，从而解决此题．
本题主要考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：点、是反比例函数图象上的两点，
，，
，
，
故答案为．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，把两个点的坐标分别代入解析式得出，，然后利用即可求得结果．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象的点的坐标适合解析式是关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：在边长为的正六边形中，，，，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积，
将四边形绕顶点顺时针旋转到四边形处，
图中阴影部分的面积，
故答案为：．
根据正六边形的性质和旋转的性质以及扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，旋转的性质，扇形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：设，
解得，
直线与抛物线交于，两点，
，是方程的两个不相等的实数根，
，，
如图，过作轴于，过作轴于，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
解得或不合题意舍去，
故的值是，
故答案为：．
设，解方程组得到，于是得到，，如图，过作轴于，过作轴于，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

18.【答案】解：在中，，，，
；
在中，，，，
． 

【解析】关键根据勾股定理求出；
根据正切的定义计算即可．
本题考查的正切，掌握正切的概念是解题的关键．
 

19.【答案】解：李老师获得的积分是分的概率最大，为；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中李老师前两局积分之和恰好是分的结果有种，
李老师前两局积分之和恰好是分的概率为． 

【解析】由概率公式即可得出结论；
画树状图，共有种等可能的结果，其中李老师前两局积分之和恰好是分的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了用树状图法求概率、概率公式等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：设药物燃烧时关于的函数关系式为，
代入得，
，
设药物燃烧后关于的函数关系式为，
代入得，
，
药物燃烧时关于的函数关系式为，药物燃烧后关于的函数关系式为：，
；
有效，理由如下：
把代入，得：，
把代入，得：，
，
这次消毒是有效的． 

【解析】直接利用待定系数法分别求出函数解析式；
利用时分别代入求出答案．
此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
 

21.【答案】解：，，，
，
，，
，
又为中点，
，
，
又，
，，
即，
，
；
如图，作交于点，
由知，
则，，
设，则，
在中，，
在中，，
，
解得：，
即，，
．
 

【解析】本题主要考查解直角三角形和斜边上的中线，关键是直角三角形中，正弦、余弦的应用．
由勾股定理求出，再根据斜边上的中线求出，，由余弦定理求出；
作交于点，在直角三角形中由勾股定理列出关于的关系式，从而求出的正弦值．
 

22.【答案】证明：是的内心，
平分，平分，
，，
，，
，
，
；

解：连接．

，
，
，
，，
∽，
，设，，则，，
同法可证：∽，
，
，
：：，设，，
，，
∽，
，
，

或舍弃，
，，
，
，
． 

【解析】根据是的内心，于是得到平分，平分，根据角平分线的定义得到，，根据等腰三角形的性质可得到结论；
连接根据已知条件得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查的是三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．
 

23.【答案】证明：如图，连接，
切于点，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：在中，
，，
根据勾股定理得，
，
∽，
，
设的半径为，
，
，
解得：，
；
过作于点，则是的中点，且，
，
，
，
设，则，，
在矩形中，，，又，
，
又，
，
求的半径是． 

【解析】根据切线的性质首先得出，再利用平行线的判定得出，进而利用圆周角、圆心角定理得出；
首先求出∽，进而得出的长，即可求出的长；
过作于点，则是的中点，且，设，则，，求出的值即可得到圆的半径．
此题主要考查了切线的性质定理和圆周角及弧的关系、垂径定理的运用、相似三角形的判定与性质、勾股定理的运用和锐角三角函数的运用等知识，题目的难度不大，但考查的知识点很宽泛．
 

24.【答案】解：将，代入，
得，
解得，
抛物线的表达式为．
如图，抛物线，当时，，
，
设直线的表达式为，则，
解得，
直线的表达式为，
，
抛物线的对称轴为直线，
直线，当时，，
，，
点是的中点，
，
设，，
点与点关于点对称，
，，
，，
，
当点落在轴上，则，
解得，，
或；
当点落在轴上，则，
解得，
，
综上所述，点的坐标为或或．
，
理由：如图，设直线的表达式为，
，
，
解得，
直线的表达式为，
设，则，
，
，
是抛物线的顶点，
抛物线的表达式为，
当时，则，
解得，，
，，
，
，
． 

【解析】将，代入，列方程组并且解该方程组求出、的值，即得到抛物线的表达式为；
先求得点的坐标为，再求得直线的表达式为，再求得抛物线的对称轴为直线，则，，所以，设，求得，当点落在轴上，则，当点落在轴上，则，解方程求出相应的值即可．
先求得直线的表达式为，设，则，所以，则，可求得抛物线的表达式为，当时，则，可求得，，则，所以，可得．
此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数表达式、中心对称的性质、一元二次方程的解法等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．