2021-2022学年甘肃省永昌县第一高级中学高二下学期期末考试数学（文）试题含答案

  永昌县第一高级中学2021-2022-2期末考试卷

高二文科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求．

1. 若集合，，则（    ）

A.       B.  C.       D.

2．已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（   ）

A.    B.      C.  D.

3. 若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数 （   ）

A.    B.     C.     D.

A.    B.    C.  D.

5. 函数的零点所在区间（    ）

A.      B.  C.         D. ，

6. 执行下图的程序框图，若输入的，则输出的值为（    ）

A. 60      B. 48        C. 24     D. 12

7. 设均为非零向量，且，，则与的夹角为（    ）

A.       B.     C.     D.

8．已知函数，则函数的图象可能是（    ）

A． B．C． D．

9．设F1，F2分别是双曲线－y2＝1(a>0)的左、右焦点，O为坐标原点，以F1F2为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点(A，B位于y轴右侧)，且四边形OAF2B为菱形，则该双曲线的渐近线方程为(　　)

A．x±y＝0  B．x±y＝0    C．x±y＝0   D．3x±y＝0

10. 已知函数,函数的最大值是2,其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于直线对称，则下列判断正确的是    （    ）

A. 要得到函数的图象，只需将的图像向左平移个单位

B. 时，函数的最小值是-2

C. 函数图象关于直线对称

D. 函数在上单调递增

11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，的延长线交于，，则的离心率（    ）

A.     B.     C.      D.

12．已知定义在R上的函数满足，则下列式子成立的是（    ）

A．  B． 

C．是R上的增函数  D．，则

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为______．

14. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著．《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为“畔”，高称为“正广”，非高腰边称为“邪”．如图所示，邪长为，东畔长为，在A处测得C，D两点处的俯角分别为49°和19°，则正广长约为______．（注：）

15. 在中，为的中点，为线段上一点（异于端点），，则的最小值为______．

16. 如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点､，且，则下列结论中正确的是___________.

（1）､､､四点共面

（2）

（3）三棱锥的体积为定值

（4）的面积与的面积相等

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分)

17．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，正项等比数列{bn}的前n项和为Tn.若a1＝b1＝3，a2＋b2＝14，a3＋b3＝34.

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

(2)求数列{an＋bn}的前n项和．

18. （12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，，为与的交点，为棱上一点.

（1）证明：平面平面；

（2）若 平面，求三棱锥的体积.

19．（12分）北京于年月成功地举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会. 共赴冰雪之约，共享冬奥机遇，“冰雪经济”逐渐升温，“带动三亿人参与冰雪运动”正在从愿景逐渐变为现实.某大型滑雪场为了了解“喜爱冰雪运动”是否与“性别”有关，用简单随机抽样的方法从不同地区进行调查统计，得到如下列联表：

统计数据表明：男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数的；女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数的.

（1）完成列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为“喜欢冰雪运动”与“性别”有关系；（结果精确到）

（2）根据数据统计，在参与调查的人员中年龄在岁以上的占总体的，在岁到 岁之间的占，岁以下的占. 现利用分层抽样的方法，从参加调查的人员中随机抽取人参与抽奖活动. 奖项设置如下：一等奖，享受全雪季雪场全部项目五折优惠，名额人；二等奖，享受全雪季雪场全部项目八折优惠，名额人. 求获得一等奖的两人年龄都在岁到岁之间的概率.

参考公式：，其中

20．(12分)已知函数f＝ln x＋ax2－bx.

(1)若函数y＝f在x＝2处取得极值ln 2－，求a，b的值；

(2)当a＝－时，函数g＝f＋bx＋b在区间上的最小值为1，求y＝g在该区间上的最大值．

21. （12分）已知抛物线上一点到焦点的距离．

（1）求C的方程；

（2）点、在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝3.

(1)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；

(2)直线l与圆C交于A，B两点，点P(1,2)，求|PA|·|PB|的值．

23. 已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若关于的不等式不恒成立，求实数的取值范围.

永昌县第一高级中学2021-2022-2期末试卷

高二文科数学答案

一、选择题

BACAA   CCBBD    DA

二、填空题

三、解答题

17（12分）

(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q>0)，

由a1＝b1＝3，a2＋b2＝14，a3＋b3＝34，

得a2＋b2＝3＋d＋3q＝14，

a3＋b3＝3＋2d＋3q2＝34，

解得：d＝2，q＝3.

∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝3n.

(2)∵an＋bn＝(2n＋1)＋3n，

∴{an＋bn}的前n项和为

(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)

＝(3＋5＋…＋2n＋1)＋(3＋32＋…＋3n)

＝＋＝n(n＋2)＋.

18（12分）

（1）证明：∵平面，平面，

∴.

∵ 四边形是菱形，

∴，

又∵，

∴ 平面.

又∵平面，

∴平面平面.

（2）∵平面，平面平面，

∴，

∵是中点，

∴是中点.

取中点，连结 ，

∵四边形是菱形，，

∴，

又，，

∴平面，.

∴ .

∴三棱锥的体积.

19(12分)

（1）根据已知条件，可得列联表如下：

的观测值       5分

 所以不能在犯错误的概率不超过的前提下认为“喜欢冰雪运动”与“性别”有关系；

（此处值接近，其余作答正确，仅扣1分）

（2）设“获得一等奖的两人年龄都在岁到岁之间”为事件

利用分层抽样的方法抽取，在岁以上的人员中抽取人，记其为；在20岁到40岁

之间的人员中抽取人，记其为；在岁以下的人员中抽取人，记其为

在抽奖的人中人获得一等奖的基本事件为：共种，满足条件的基本事件为：共种

所以

即获得一等奖的两人年龄都在岁到岁之间的概率为.

20（12分）

(1)f′＝＋2ax－b，

由已知得 ⇒ ，

∴f′＝－＝，

当f′(x)>0⇒0<x<2，当f′(x)<0⇒x>2，

∴f在上递增，上递减，满足在x＝2处取到极值，

∴ 满足条件．

(2)当a＝－时，g＝lnx－x2＋b，g′＝－＝，

x∈时，g′>0；x∈时，g′<0，

∴g在[1,2]上递增，在[2,3]上递减，

∴gmax＝g＝ln2－＋b，

又g＝－＋b，

g＝ln3－＋b，g－g＝ln 3－1>0，

∴gmin＝g＝－＋b＝1，

∴b＝，

∴g＝ln 2＋，

∴函数g在区间[1,3]上的最大值为g＝ln 2＋.

21（12分）

（1）解：由抛物线定义，得，由题意得，，解得

所以抛物线的方程为．

（2）证明：①直线斜率不存在时，

可设，，

，

，，

又，，

，解得，

，为垂足，

，

故存在定点，使得为定值，

②直线斜率存在时，设直线，解得，

设，，，，则，，

因为，所以，

得，

所以，

得，即，

当时，过定点，不符合题意；

当时，直线过点，

所以点在以为直径的圆上，

故当为的中点时，定值．

22（10分）

(1)直线l的普通方程为x＋y－3＝0，

因为ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－4x－3＝0.

(2)将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程可得

＋－4－3＝0，化简可得t2＋3t－2＝0.

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，t1t2＝－2，

则|PA|·|PB|＝|t1t2|＝2.

23（10分）

（1）不等式，即，可化为

①或②或③

解①得，解②得，解③得，

综合得，即原不等式的解集为.

（2）因为 ，

当且仅当时，等号成立，即，

又关于不等式不恒成立，则，

解得或，

即实数的取值范围为 .