2021-2022学年安徽省合肥市巢湖市鲁桥中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年安徽省合肥市巢湖市鲁桥中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共40分）

1. 下列二次根式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 化简的正确结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 边长为的菱形的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、若，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 估算的结果最接近的整数是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，将矩形沿对角线折叠，点落在点处，交于点，已知，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 估计的值应在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

8. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点是中点，连接，则下列结论中不一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，点为对角线的交点，点与点关于轴对称，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在▱中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共4小题，共20分）

11. 如图，在等腰直角三角形中，，，于点，中线与相交于点，则的值为______．

12. 如图，菱形边长为，，，，连接交菱形的对角线于点，则图中阴影部分面积等于______．

13. 如图，边长为的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为、，则 ______ ．

14. 在中，若两直角边，满足，则斜边的长度是______ ．

三、解答题（本题共9小题，共90分）

15. 计算：
    ；
    ；
    解方程：．
16. 先化简，再求值：，其中．
17. 求值：
    先化简，再求值：，其中；
    已知：，求的值；
    已知实数、满足，求的值．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图，四边形是平行四边形，是对角线的中点，过点的直线分别交边，于点，，连结，．
    求证：；
    当时，求证：四边形是矩形．

20. 化简求值：，其中．
21. 如图，在四边形中，，，点是的中点，连接，过点作，垂足为，已知．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求线段的长．

22. 如图，为正方形的边上的一动点不与、重合，连接，过点作交于点，将沿着所在直线翻折得到，延长交的延长线于点．
    探求与的数量关系；
    若，，求的长．

23. 如图，在▱中，，、分别是和的中点．
    求证：四边形是矩形；
    若，，求▱的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C.是最简二次根式，故本选项符合题意；
D.的被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据二次根式的性质化简即可．
本题考查了二次根式的化简，算术平方根，解题时注意：算术平方根与平方根的区别．
 

3.【答案】 

【解析】解：菱形的各边长相等，
边长为的菱形的周长是：．
故选C．
利用菱形的各边长相等，进而求出周长即可．
此题主要考查了菱形的性质，利用菱形各边长相等得出是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了勾股定理和正方形、全等三角形的性质的运用，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理设每个小直角三角形的面积为，则，，依据，可得，进而得出的值．
【解答】
解：设每个小直角三角形的面积为，则，，
因为，
所以，
即，
解得．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：




结果最接近的整数是．
故选：．
先化简计算，再作出估算．
本题考查了估算无理数的大小，关键是确定的近似值．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，
，，
，
，
，
矩形沿对角线折叠，
，，
．
，
故选：．
先利用互余计算出，再根据平行线的性质得，接着根据折叠的性质得，然后利用三角形外角性质计算的度数，于是得到结论．
本题考查了平行线的性质．解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
 

7.【答案】 

【解析】解：

，
，
，
，
估计的值应在：和之间，
故选：．
先进行二次根式的混合运算，然后再估算出的值即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，准确熟练地掌握二次根式的混合运算是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，故选项A不合题意，
点是的中点，
，故选项B不合题意；
，故选项D不合题意；
故选：．
由菱形的性质可得，，由直角三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，点的坐标为，
，，
过作轴于，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
点与点关于轴对称，
点的坐标为，
故选：．
过作轴于，根据正方形的性质得到，，，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，于是得到答案．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，关于轴对称的点的坐标，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
又平分，
，
，
，
同理可证：，
，
，，
．
故选：．
根据平行四边形的性质证明，，进而可得和的长，然后可得答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题．
 

11.【答案】 

【解析】解：是等腰直角三角形，，
是斜边上的中线，
，
是的中线，
点是的重心，
：：，
，
故答案为：．
由等腰直角三角形的性质得到点是的中点，即可得到，然后由中线得到点是的中点，进而得到点是的重心，从而得到：：，最后得到：的值．
本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形的重心的性质，解题的关键是熟知三角形重心的性质．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，

四边形是菱形，
，，，
是等边三角形，，
，
，，
，
在和中，

，
，
，
，，
，
，
阴影部分面积，
故答案为：．
由菱形的性质可得，，，由“”可证，可得，由面积的和差关系可求解．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，

设正方形的边长为，
和都为等腰直角三角形，
，，，
，即，同理可得：，
，又，
，
，即；
的面积为；
，
，
，
，
为的中点，
的边长为，
的面积为，
．
故答案为．
由图可得，的边长为，由，，可得，，；然后，分别算出、的面积，即可解答．
本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质的性质，考查了学生的读图能力和计算能力，题目比较典型，难度适中．
 

14.【答案】 

【解析】解：在中，若两直角边，满足，
，，
解得，，
．
故答案是：．
首先利用非负数的性质求得，，然后根据勾股定理求得斜边的长度即可．
本题主要考查了勾股定理和非负数的性质，利用非负数的性质求得两直角边的长度是解题的突破口．
 

15.【答案】解：原式
；
原式

；
解：方程两边都乘得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
原方程的解是． 

【解析】先算乘除，化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
先用平方差公式，算二次根式乘法和零指数幂，再合并即可；
把分式方程去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可．
本题考查二次根式的运算和解分式方程，解题的关键是掌握二次二次根式相关的运算法则和把分式方程化为整式方程的方法．
 

16.【答案】解：


．
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算的运算法则对化简为，再将代入求值．
本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解决本题的关键．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，原式；

，
；

要使有意义，必须，
解得：，
代入得：，
所以． 

【解析】先算括号内的加法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可；
先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
先根据二次根式有意义的条件和分式的定义求出的值，再求出，最后代入求出即可．
本题考查了分式的混合运算和求值，绝对值，二次根式有意义的条件，完全平方公式等知识点，能正确运用知识点进行计算是解此题的关键．
 

18.【答案】解：



，
当时，
原式

． 

【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将的值代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．
 

19.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，
，，
是对角线的中点，
，
在和中，
，
；
证明：，
，
又，
四边形为平行四边形，
，
，
，
平行四边形为矩形． 

【解析】根据四边形为平行四边形形，可得，所以，，再根据是对角线的中点，可得，进而证明≌；
根据矩形的判定可得出答案．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定，解决本题的关键是综合运用三角形和四边形的知识．
 

20.【答案】解：原式

，
当时，
原式

． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

21.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，点是的中点，
，
平行四边形是菱形；
解：，，，
，
点是的中点，
，
由得：，四边形是菱形，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
即线段的长为． 

【解析】先证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论；
由勾股定理得，再由菱形的性质得，然后证，则，即可得出答案．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：．
理由：四边形是正方形，
，，
．
，
，
．
在和中，
，
≌，
；
过点作于，如图．

四边形是正方形，
．
，
，，
，
．
四边形是正方形，
，
．
由折叠可得，
，
．
设，则有，．
在中，
根据勾股定理可得，
解得．
的长为． 

【解析】要证，只需证≌即可；
过点作于，如图．易得，，，然后运用勾股定理可求得即，易得，从而有由折叠可得，即可得到，即可得到设，则有，在中运用勾股定理就可解决问题；
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质等知识，熟练掌握方程思想是解题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
、分别是和的中点，
，，，
四边形是平行四边形，
又，，
，
，
四边形是矩形．
，，，
，
中，，，
，，
，
▱的面积为． 

【解析】由平行四边形的性质得出，，由已知条件得出，，证出四边形是平行四边形，由等腰三角形的性质得出，即可得出四边形是矩形；
根据，，即可得到和的长，再根据等腰三角形的性质即可得到的长，进而得出▱的面积．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，由等腰三角形的性质得出是解决问题的关键．