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安徽省合肥市巢湖市2021-2022学年上学期八年级期末考试数学试卷（word版 含答案）
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这是一份安徽省合肥市巢湖市2021-2022学年上学期八年级期末考试数学试卷（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年安徽省巢湖市八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题。（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项是正确的）
1．下列银行图标中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，△ACB≌△A′CB'，∠BCB'＝30°，则∠ACA'的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
3．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a3•a4＝a12 C．（a3）4＝a12 D．（ab）2＝ab2
4．如图，已知∠1＝∠2，下列添加的条件不能使△ADC≌△CBA的是（ ）
A．AB∥DC B．AB＝CD C．AD＝BC D．∠B＝∠D
5．下列运算中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE．连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C＝40°，则∠GAD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．55° D．70°
7．若a+b＝3，a2+b2＝7﹣3ab，则ab等于（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，∠A＝36°，下列结论错误的是（ ）
A．BD是AC边上的中线
B．BD是∠ABC的平分线
C．图中共有3个等腰三角形
D．∠DBC＝36°
9．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点E，过点D作DM⊥AB于点M，连接CD，下列结论正确的是（ ）
A．若∠ACB＝90°，则AC+CE＝AB
B．若AB+AC＝2AM，则∠ACD+∠ABC＝180°
C．若DE＝DB，则∠ACB＝90°
D．过点C作CH⊥AD于点H，则DA﹣DB＝2DH
二、填空题。（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．分解因式：2x2﹣2y2＝ ．
12．若分式的值为0，则a＝ ．
13．△ABC的两边长分别是2和5，且第三边为奇数，则第三边长为 ．
14．已知，如图，在△ABC中，∠B＝60°，D，E分别为AB，BC上的点，且AE，CD交于点F，AE，CD为△ABC的角平分线．
（1）求∠AFC＝ ；
（2）若AD＝6，CE＝4，求AC＝ ．
三、解答题。（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：（﹣2x）2﹣（2x+1）（2x﹣1）+（x﹣2）2
16．先化简，再求值：（a+）÷，其中a＝﹣2，b＝3．
四、解答题。（本大题共2小题，每小题8分，满分16分
17．如图，已知△ABC，其中A（0，﹣2），B（2，﹣3），C（4，﹣1）．
（1）画出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出点B1的坐标： ．
（2）求△ABC的面积．
18．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝5°，∠B＝50°，求∠C的度数．
五、解答题。（本大题共2小题，每小题10，满分20）
19．观察下列图形与等式的关系：
按照以上图形与等式的规律，解答下列问题：
（1）写出第5个等式： ．
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明（已知：1+2+3+…+n＝）．
20．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，且分别交CD、AC于点F、E．求证：CE＝CF．
六、解答题。（本题满分12分）
21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
七、解答题。（本题满分12分）
22．节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．
（1）求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？
（2）若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？
八、解答题。（本题满分14分）
23．如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于点F，连
接AD．
（1）求证：∠BDC＝∠BAC；
（2）若AB＝AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若AF＝BF，求∠ABC的大小．
参考答案
一、选择题。（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项是正确的）
1．下列银行图标中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
2．如图，△ACB≌△A′CB'，∠BCB'＝30°，则∠ACA'的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
【分析】根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠A′CB'，结合图形计算，得到答案．
解：∵△ACB≌△A′CB'，
∴∠ACB＝∠A′CB'，
∴∠ACB﹣∠A′CB＝∠A′CB'﹣∠A′CB，
∴∠ACA'＝∠BCB'＝30°，
故选：B．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a3•a4＝a12 C．（a3）4＝a12 D．（ab）2＝ab2
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法、幂的乘方以及积的乘方化简即可判断．
解：A．a2+a2＝2a2，故选项A不合题意；
B．a3•a4＝a7，故选项B不合题意；
C．（a3）4＝a12，故选项C符合题意；
D．（ab）2＝a2b2，故选项D不合题意．
故选：C．
4．如图，已知∠1＝∠2，下列添加的条件不能使△ADC≌△CBA的是（ ）
A．AB∥DC B．AB＝CD C．AD＝BC D．∠B＝∠D
【分析】由全等三角形的判定依次判断可求解．
解：A、由AB∥CD，可得∠DCA＝∠CAB，且∠1＝∠2，AC＝AC，能判定△ADC≌△CBA，故选项A不符合题意；
B、由AB＝CD，且∠1＝∠2，AC＝AC，不能判定△ADC≌△CBA，故选项B符合题意；
C、由AD＝BC，且∠1＝∠2，AC＝AC，能判定△ADC≌△CBA，故选项C不符合题意；
D，由∠B＝∠D，且∠1＝∠2，AC＝AC，能判定△ADC≌△CBA，故选项D不符合题意；
故选：B．
5．下列运算中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】A、根据同底数幂的除法法则：底数不变，只把指数相减，得出结果，作出判断；
B、分子分母中不含有公因式，故不能约分，可得本选项错误；
C、把分子利用完全平方公式分解因式，分母利用平方差公式分解因式，找出分子分母的公因式a+b，分子分母同时除以a+b，约分后得到最简结果，即可作出判断；
D、分子分母中不含有公因式，故不能约分，可得本选项错误．
解：A、＝x3，本选项错误；
B、分子分母没有公因式，不能约分，本选项错误；
C、＝，本选项正确；
D、分子分母没有公因式，不能约分，本选项错误，
故选：C．
6．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE．连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C＝40°，则∠GAD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．55° D．70°
【分析】根据等腰三角形和平行线的性质即可得到结论．
解：∵AC＝CB，∠C＝40°，
∴∠BAC＝∠B＝（180°﹣40°）＝70°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣70°）＝55°，
∵GH∥DE，
∴∠GAD＝∠ADE＝55°，
故选：C．
7．若a+b＝3，a2+b2＝7﹣3ab，则ab等于（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【分析】先根据完全平方公式求出a2+b2＝9﹣2ab，代入a2+b2＝7﹣3ab，即可求出答案．
解：∵a+b＝3，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝9，
∴a2+b2＝9﹣2ab，
∵a2+b2＝7﹣3ab，
∴9﹣2ab＝7﹣3ab，
解得：ab＝﹣2，
故选：C．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，∠A＝36°，下列结论错误的是（ ）
A．BD是AC边上的中线
B．BD是∠ABC的平分线
C．图中共有3个等腰三角形
D．∠DBC＝36°
【分析】根据等腰三角形的性质和判定判断即可．
解：A、无法得出CD＝AD，错误；
B、∵DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝36°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝36°，
∴BD是∠ABC的平分线，正确；
C、图中共有△ABD，△BDC，△ABC3个等腰三角形，正确；
D、∵DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝36°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝36°，正确；
故选：A．
9．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，作点N关于直线BD的对称点N′，连接MN′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
解：过点C作CE⊥AB于点E，作点N关于直线BD的对称点N′，连接MN′
∵BD平分∠ABC，N，N′关于BD对称，
∴点N′在BA上，MN＝MN′，
∴CM+MN＝CM+MN′≤CE，
∴当点C，M，N′共线，且与CE重合时，CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为8，AB＝4，
∴×4•CE＝8，
∴CE＝4．
即CM+MN的最小值为4．
故选：B．
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点E，过点D作DM⊥AB于点M，连接CD，下列结论正确的是（ ）
A．若∠ACB＝90°，则AC+CE＝AB
B．若AB+AC＝2AM，则∠ACD+∠ABC＝180°
C．若DE＝DB，则∠ACB＝90°
D．过点C作CH⊥AD于点H，则DA﹣DB＝2DH
【分析】如图1中，作EF⊥AB于F．只要证明△AEC≌△AEF即可；如图2中，作DG⊥AC于G．只要证明△DGC≌△DMB即可得出B错误；因为DE＝DB，推出点D在线段BE的垂直平分线上，当∠ACB≠90°时，也能找到这样的点D；如图3中，在HA上取一点N，使得HN＝DH，欲证明DA﹣DB＝2DH，只要证明AN＝BD，只要证明△ACN≌△BCD即可．由于缺少条件无法证明△ACN≌△BCD，故D错误，
解：A、如图1中，作EF⊥AB于F．
∵∠ACB＝90°，AC＝CB，
∴∠ABC＝45°，
∵EF⊥AB，
∴∠FEB＝∠EBF＝45°，
∴EF＝BF，
∵∠EAC＝∠EAF，∠ACE＝∠AFE，AE＝AE，
∴△AEC≌△AEF（AAS），
∴AC＝AF，EC＝EF，
∴AC+CE＝AF+EF＝AF+BF＝AB，故A正确，
B、如图2中，作DG⊥AC于G．
同理可知△ADG≌△ADM（AAS），
∴AM＝AG，DG＝DM，
∵AC+AB＝AG﹣CG+AM+BM＝2AM，
∴CG＝BM，
∵∠DGC＝∠DMB＝90°，
∴△DGC≌△DMB（SAS），
∴∠DCG＝∠DBM，
∵∠DCG+∠ACD＝180°，
∴∠ACD+∠ABD＝180°，故B错误．
C、∵DE＝DB，
∴点D在线段BE的垂直平分线上，
当∠ACB≠90°时，也能找到这样的点D．
故C错误；
D、如图3中，在HA上取一点N，使得HN＝DH，欲证明DA﹣DB＝2DH，只要证明AN＝BD，只要证明△ACN≌△BCD即可．
由于缺少条件无法证明△ACN≌△BCD，故D错误，
故选：A．
二、填空题。（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．分解因式：2x2﹣2y2＝ 2（x+y）（x﹣y） ．
【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
解：2x2﹣2y2＝2（x2﹣y2）＝2（x+y）（x﹣y）．
故答案为：2（x+y）（x﹣y）．
12．若分式的值为0，则a＝ ﹣2 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
解：由分式的值为0，得
|a|﹣2＝0且a2+a﹣6≠0，
解得a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
13．△ABC的两边长分别是2和5，且第三边为奇数，则第三边长为 5 ．
【分析】先根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边点的取值范围，再选择奇数即可．
解：∵5﹣2＝3，5+2＝7，
∴3＜第三边＜7，
∵第三边为奇数，
∴第三边长为5．
故选：5．
14．已知，如图，在△ABC中，∠B＝60°，D，E分别为AB，BC上的点，且AE，CD交于点F，AE，CD为△ABC的角平分线．
（1）求∠AFC＝ 120° ；
（2）若AD＝6，CE＝4，求AC＝ 10 ．
【分析】（1）由题意∠BAC+∠BCA＝120°，根据∠AFC＝180﹣∠FAC﹣∠FCA＝120°，即可解决问题；
（2）在AC上截取AG＝AD＝6，连接FG．只要证明△ADF≌△AGF（SAS），推出∠AFD＝∠AFG＝60°，∠GFC＝∠CFE＝60°，再证明△CGF≌△CEF（ASA），推出CG＝CE＝4，由此即可解决问题．
解：（1）∵AE、CD分别为△ABC的角平分线，
∴∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠BCA，
∵∠B＝60°，
∴∠BAC+∠BCA＝120°，
∴∠AFC＝180﹣∠FAC﹣∠FCA＝180°﹣×120°＝120°．
故答案为：120°；
（2）在AC上截取AG＝AD＝6，连接FG．
∵AE、CD分别为△ABC的角平分线，
∴∠FAC＝∠FAD，∠FCA＝∠FCE，
∵∠AFC＝120°，
∴∠AFD＝∠CFE＝60°，
在△ADF和△AGF中，
，
∴△ADF≌△AGF（SAS），
∴∠AFD＝∠AFG＝60°，
∴∠GFC＝∠CFE＝60°，
在△CGF和△CEF中，
，
∴△CGF≌△CEF（ASA），
∴CG＝CE＝4，
∴AC＝AG+CG＝10．
故答案为：10．
三、解答题。（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：（﹣2x）2﹣（2x+1）（2x﹣1）+（x﹣2）2
【分析】先根据平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可．
解：原式＝4x2﹣（4x2﹣1）+x2﹣4x+4
＝x2﹣4x+5．
16．先化简，再求值：（a+）÷，其中a＝﹣2，b＝3．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
解：原式＝•＝•＝a+b，
当a＝﹣2，b＝3时，原式＝1．
四、解答题。（本大题共2小题，每小题8分，满分16分
17．如图，已知△ABC，其中A（0，﹣2），B（2，﹣3），C（4，﹣1）．
（1）画出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出点B1的坐标： （2，3） ．
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后顺次连接即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；点B1的坐标：（2，3），
故答案为：（2，3）；
（2）△ABC的面积＝4×2﹣×1×4﹣×1×2﹣×2×2＝3．
18．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝5°，∠B＝50°，求∠C的度数．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠AED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAE，然后根据角平分线的定义求出∠BAC，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解：∵AD是BC边上的高，∠EAD＝5°，
∴∠AED＝85°，
∵∠B＝50°，
∴∠BAE＝∠AED﹣∠B＝85°﹣50°＝35°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAE＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣70°＝60°．
五、解答题。（本大题共2小题，每小题10，满分20）
19．观察下列图形与等式的关系：
按照以上图形与等式的规律，解答下列问题：
（1）写出第5个等式： 2+3+4+5+6+5+4+3+2＝62﹣2 ．
（2）写出你猜想的第n个等式： 2+3+4+5+6+…+n+（n+1）+n+…+5+4+3+2＝（n+1）2﹣2 （用含n的等式表示），并证明（已知：1+2+3+…+n＝）．
【分析】（1）根据图形的变化即可写出第5个等式；
（2）结合（1）即可写出你猜想的第n个等式，根据已知即可证明．
解：（1）第5个等式：2+3+4+5+6+5+4+3+2＝62﹣2；
故答案为：2+3+4+5+6+5+4+3+2＝62﹣2；
（2）第n个等式为：2+3+4+5+6+…+n+（n+1）+n+…+5+4+3+2＝（n+1）2﹣2；
证明：已知：1+2+3+…+n＝，
∴2+3+…+n＝﹣1．
∵2+3+4+5+6+…+n+（n+1）+n+…+5+4+3+2＝（n+1）2﹣2
＝2[﹣1]+n+1
＝n2+n﹣2+n+1
＝n2+2n﹣1
＝n2+2n+1﹣1﹣1
＝（n+1）2﹣2．
故答案为：2+3+4+5+6+…+n+（n+1）+n+…+5+4+3+2＝（n+1）2﹣2．
20．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，且分别交CD、AC于点F、E．求证：CE＝CF．
【分析】先判断出∠ACD+∠BCD＝90°，再判断出∠A+∠ACD＝90°，进而得出∠A＝∠BCD，再用三角形的外角即可得出结论．
【解答】证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠CFE＝∠BCD+∠CBE＝∠A+∠ABE，
∵∠CEF＝∠A+∠ABE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF．
六、解答题。（本题满分12分）
21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
【分析】（1）根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离＝点D到AC的距离即DE＝CD，再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，从而得出CF＝EB；
（2）设CF＝x，则AE＝12﹣x，再根据题意得出Rt△ACD≌Rt△AED，进而可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB．
（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，
解得x＝2，即CF＝2．
七、解答题。（本题满分12分）
22．节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．
（1）求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？
（2）若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？
【分析】（1）根据从甲地行驶到乙地的路程相等列出分式方程解答即可；
（2）根据所需费用不超过50元列出不等式解答即可．
解：（1）设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为（x+0.5）元，
可得：，
解得：x＝0.3，
经检验x＝0.3是原方程的解，
∴汽车行驶中每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是30÷0.3＝100千米；
（2）汽车行驶中每千米用油费用为0.3+0.5＝0.8元，
设汽车用电行驶ykm，
可得：0.3y+0.8（100﹣y）≤50，
解得：y≥60，
所以至少需要用电行驶60千米．
八、解答题。（本题满分14分）
23．如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于点F，连
接AD．
（1）求证：∠BDC＝∠BAC；
（2）若AB＝AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若AF＝BF，求∠ABC的大小．
【分析】（1）由角平分线定义和三角形的外角性质即可得出结论；
（2）过D作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H，由角平分线的性质得DM＝DH，DN＝DH，则DM＝DN，再证∠GAD+∠CAD＝∠ABC+∠ACB，然后证AD∥BC，则∠ADB＝∠DBC，得∠ABD＝∠ADB，即可得到结论；
（3）由等腰三角形的性质得到∠BAF＝∠ABF＝∠ABC，再根据三角形的内角和即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，
∵∠BDC+∠DBC＝∠DCE，
∴∠BDC+∠ABC＝∠ACE，
∵∠BAC+∠ABC＝∠ACE，
∴∠BDC+∠ABC＝∠BAC+∠ABC，
∴∠BDC＝∠BAC；
（2）解：△ABD为等腰三角形，理由如下：
过D作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H，
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，
∴DM＝DH，DN＝DH，
∴DM＝DN，
∴AD平分∠CAG，
即∠GAD＝∠CAD，
∵∠GAD+∠CAD+∠BAC＝180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠GAD+∠CAD＝∠ABC+∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠GAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
又∵∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴△ABD为等腰三角形；
（3）解：∵AF＝BF，
∴∠BAF＝∠ABF＝∠ABC，
∵∠BAF+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC+∠ABC+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝72°．
2021-2022学年安徽省巢湖市八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题。（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项是正确的）
1．下列银行图标中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，△ACB≌△A′CB'，∠BCB'＝30°，则∠ACA'的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
3．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a3•a4＝a12 C．（a3）4＝a12 D．（ab）2＝ab2
4．如图，已知∠1＝∠2，下列添加的条件不能使△ADC≌△CBA的是（ ）
A．AB∥DC B．AB＝CD C．AD＝BC D．∠B＝∠D
5．下列运算中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE．连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C＝40°，则∠GAD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．55° D．70°
7．若a+b＝3，a2+b2＝7﹣3ab，则ab等于（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，∠A＝36°，下列结论错误的是（ ）
A．BD是AC边上的中线
B．BD是∠ABC的平分线
C．图中共有3个等腰三角形
D．∠DBC＝36°
9．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点E，过点D作DM⊥AB于点M，连接CD，下列结论正确的是（ ）
A．若∠ACB＝90°，则AC+CE＝AB
B．若AB+AC＝2AM，则∠ACD+∠ABC＝180°
C．若DE＝DB，则∠ACB＝90°
D．过点C作CH⊥AD于点H，则DA﹣DB＝2DH
二、填空题。（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．分解因式：2x2﹣2y2＝ ．
12．若分式的值为0，则a＝ ．
13．△ABC的两边长分别是2和5，且第三边为奇数，则第三边长为 ．
14．已知，如图，在△ABC中，∠B＝60°，D，E分别为AB，BC上的点，且AE，CD交于点F，AE，CD为△ABC的角平分线．
（1）求∠AFC＝ ；
（2）若AD＝6，CE＝4，求AC＝ ．
三、解答题。（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：（﹣2x）2﹣（2x+1）（2x﹣1）+（x﹣2）2
16．先化简，再求值：（a+）÷，其中a＝﹣2，b＝3．
四、解答题。（本大题共2小题，每小题8分，满分16分
17．如图，已知△ABC，其中A（0，﹣2），B（2，﹣3），C（4，﹣1）．
（1）画出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出点B1的坐标： ．
（2）求△ABC的面积．
18．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝5°，∠B＝50°，求∠C的度数．
五、解答题。（本大题共2小题，每小题10，满分20）
19．观察下列图形与等式的关系：
按照以上图形与等式的规律，解答下列问题：
（1）写出第5个等式： ．
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明（已知：1+2+3+…+n＝）．
20．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，且分别交CD、AC于点F、E．求证：CE＝CF．
六、解答题。（本题满分12分）
21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
七、解答题。（本题满分12分）
22．节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．
（1）求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？
（2）若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？
八、解答题。（本题满分14分）
23．如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于点F，连
接AD．
（1）求证：∠BDC＝∠BAC；
（2）若AB＝AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若AF＝BF，求∠ABC的大小．
参考答案
一、选择题。（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项是正确的）
1．下列银行图标中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
2．如图，△ACB≌△A′CB'，∠BCB'＝30°，则∠ACA'的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
【分析】根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠A′CB'，结合图形计算，得到答案．
解：∵△ACB≌△A′CB'，
∴∠ACB＝∠A′CB'，
∴∠ACB﹣∠A′CB＝∠A′CB'﹣∠A′CB，
∴∠ACA'＝∠BCB'＝30°，
故选：B．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a3•a4＝a12 C．（a3）4＝a12 D．（ab）2＝ab2
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法、幂的乘方以及积的乘方化简即可判断．
解：A．a2+a2＝2a2，故选项A不合题意；
B．a3•a4＝a7，故选项B不合题意；
C．（a3）4＝a12，故选项C符合题意；
D．（ab）2＝a2b2，故选项D不合题意．
故选：C．
4．如图，已知∠1＝∠2，下列添加的条件不能使△ADC≌△CBA的是（ ）
A．AB∥DC B．AB＝CD C．AD＝BC D．∠B＝∠D
【分析】由全等三角形的判定依次判断可求解．
解：A、由AB∥CD，可得∠DCA＝∠CAB，且∠1＝∠2，AC＝AC，能判定△ADC≌△CBA，故选项A不符合题意；
B、由AB＝CD，且∠1＝∠2，AC＝AC，不能判定△ADC≌△CBA，故选项B符合题意；
C、由AD＝BC，且∠1＝∠2，AC＝AC，能判定△ADC≌△CBA，故选项C不符合题意；
D，由∠B＝∠D，且∠1＝∠2，AC＝AC，能判定△ADC≌△CBA，故选项D不符合题意；
故选：B．
5．下列运算中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】A、根据同底数幂的除法法则：底数不变，只把指数相减，得出结果，作出判断；
B、分子分母中不含有公因式，故不能约分，可得本选项错误；
C、把分子利用完全平方公式分解因式，分母利用平方差公式分解因式，找出分子分母的公因式a+b，分子分母同时除以a+b，约分后得到最简结果，即可作出判断；
D、分子分母中不含有公因式，故不能约分，可得本选项错误．
解：A、＝x3，本选项错误；
B、分子分母没有公因式，不能约分，本选项错误；
C、＝，本选项正确；
D、分子分母没有公因式，不能约分，本选项错误，
故选：C．
6．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE．连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C＝40°，则∠GAD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．55° D．70°
【分析】根据等腰三角形和平行线的性质即可得到结论．
解：∵AC＝CB，∠C＝40°，
∴∠BAC＝∠B＝（180°﹣40°）＝70°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣70°）＝55°，
∵GH∥DE，
∴∠GAD＝∠ADE＝55°，
故选：C．
7．若a+b＝3，a2+b2＝7﹣3ab，则ab等于（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【分析】先根据完全平方公式求出a2+b2＝9﹣2ab，代入a2+b2＝7﹣3ab，即可求出答案．
解：∵a+b＝3，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝9，
∴a2+b2＝9﹣2ab，
∵a2+b2＝7﹣3ab，
∴9﹣2ab＝7﹣3ab，
解得：ab＝﹣2，
故选：C．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，∠A＝36°，下列结论错误的是（ ）
A．BD是AC边上的中线
B．BD是∠ABC的平分线
C．图中共有3个等腰三角形
D．∠DBC＝36°
【分析】根据等腰三角形的性质和判定判断即可．
解：A、无法得出CD＝AD，错误；
B、∵DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝36°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝36°，
∴BD是∠ABC的平分线，正确；
C、图中共有△ABD，△BDC，△ABC3个等腰三角形，正确；
D、∵DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝36°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝36°，正确；
故选：A．
9．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，作点N关于直线BD的对称点N′，连接MN′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
解：过点C作CE⊥AB于点E，作点N关于直线BD的对称点N′，连接MN′
∵BD平分∠ABC，N，N′关于BD对称，
∴点N′在BA上，MN＝MN′，
∴CM+MN＝CM+MN′≤CE，
∴当点C，M，N′共线，且与CE重合时，CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为8，AB＝4，
∴×4•CE＝8，
∴CE＝4．
即CM+MN的最小值为4．
故选：B．
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点E，过点D作DM⊥AB于点M，连接CD，下列结论正确的是（ ）
A．若∠ACB＝90°，则AC+CE＝AB
B．若AB+AC＝2AM，则∠ACD+∠ABC＝180°
C．若DE＝DB，则∠ACB＝90°
D．过点C作CH⊥AD于点H，则DA﹣DB＝2DH
【分析】如图1中，作EF⊥AB于F．只要证明△AEC≌△AEF即可；如图2中，作DG⊥AC于G．只要证明△DGC≌△DMB即可得出B错误；因为DE＝DB，推出点D在线段BE的垂直平分线上，当∠ACB≠90°时，也能找到这样的点D；如图3中，在HA上取一点N，使得HN＝DH，欲证明DA﹣DB＝2DH，只要证明AN＝BD，只要证明△ACN≌△BCD即可．由于缺少条件无法证明△ACN≌△BCD，故D错误，
解：A、如图1中，作EF⊥AB于F．
∵∠ACB＝90°，AC＝CB，
∴∠ABC＝45°，
∵EF⊥AB，
∴∠FEB＝∠EBF＝45°，
∴EF＝BF，
∵∠EAC＝∠EAF，∠ACE＝∠AFE，AE＝AE，
∴△AEC≌△AEF（AAS），
∴AC＝AF，EC＝EF，
∴AC+CE＝AF+EF＝AF+BF＝AB，故A正确，
B、如图2中，作DG⊥AC于G．
同理可知△ADG≌△ADM（AAS），
∴AM＝AG，DG＝DM，
∵AC+AB＝AG﹣CG+AM+BM＝2AM，
∴CG＝BM，
∵∠DGC＝∠DMB＝90°，
∴△DGC≌△DMB（SAS），
∴∠DCG＝∠DBM，
∵∠DCG+∠ACD＝180°，
∴∠ACD+∠ABD＝180°，故B错误．
C、∵DE＝DB，
∴点D在线段BE的垂直平分线上，
当∠ACB≠90°时，也能找到这样的点D．
故C错误；
D、如图3中，在HA上取一点N，使得HN＝DH，欲证明DA﹣DB＝2DH，只要证明AN＝BD，只要证明△ACN≌△BCD即可．
由于缺少条件无法证明△ACN≌△BCD，故D错误，
故选：A．
二、填空题。（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．分解因式：2x2﹣2y2＝ 2（x+y）（x﹣y） ．
【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
解：2x2﹣2y2＝2（x2﹣y2）＝2（x+y）（x﹣y）．
故答案为：2（x+y）（x﹣y）．
12．若分式的值为0，则a＝ ﹣2 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
解：由分式的值为0，得
|a|﹣2＝0且a2+a﹣6≠0，
解得a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
13．△ABC的两边长分别是2和5，且第三边为奇数，则第三边长为 5 ．
【分析】先根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边点的取值范围，再选择奇数即可．
解：∵5﹣2＝3，5+2＝7，
∴3＜第三边＜7，
∵第三边为奇数，
∴第三边长为5．
故选：5．
14．已知，如图，在△ABC中，∠B＝60°，D，E分别为AB，BC上的点，且AE，CD交于点F，AE，CD为△ABC的角平分线．
（1）求∠AFC＝ 120° ；
（2）若AD＝6，CE＝4，求AC＝ 10 ．
【分析】（1）由题意∠BAC+∠BCA＝120°，根据∠AFC＝180﹣∠FAC﹣∠FCA＝120°，即可解决问题；
（2）在AC上截取AG＝AD＝6，连接FG．只要证明△ADF≌△AGF（SAS），推出∠AFD＝∠AFG＝60°，∠GFC＝∠CFE＝60°，再证明△CGF≌△CEF（ASA），推出CG＝CE＝4，由此即可解决问题．
解：（1）∵AE、CD分别为△ABC的角平分线，
∴∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠BCA，
∵∠B＝60°，
∴∠BAC+∠BCA＝120°，
∴∠AFC＝180﹣∠FAC﹣∠FCA＝180°﹣×120°＝120°．
故答案为：120°；
（2）在AC上截取AG＝AD＝6，连接FG．
∵AE、CD分别为△ABC的角平分线，
∴∠FAC＝∠FAD，∠FCA＝∠FCE，
∵∠AFC＝120°，
∴∠AFD＝∠CFE＝60°，
在△ADF和△AGF中，
，
∴△ADF≌△AGF（SAS），
∴∠AFD＝∠AFG＝60°，
∴∠GFC＝∠CFE＝60°，
在△CGF和△CEF中，
，
∴△CGF≌△CEF（ASA），
∴CG＝CE＝4，
∴AC＝AG+CG＝10．
故答案为：10．
三、解答题。（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：（﹣2x）2﹣（2x+1）（2x﹣1）+（x﹣2）2
【分析】先根据平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可．
解：原式＝4x2﹣（4x2﹣1）+x2﹣4x+4
＝x2﹣4x+5．
16．先化简，再求值：（a+）÷，其中a＝﹣2，b＝3．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
解：原式＝•＝•＝a+b，
当a＝﹣2，b＝3时，原式＝1．
四、解答题。（本大题共2小题，每小题8分，满分16分
17．如图，已知△ABC，其中A（0，﹣2），B（2，﹣3），C（4，﹣1）．
（1）画出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出点B1的坐标： （2，3） ．
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后顺次连接即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；点B1的坐标：（2，3），
故答案为：（2，3）；
（2）△ABC的面积＝4×2﹣×1×4﹣×1×2﹣×2×2＝3．
18．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝5°，∠B＝50°，求∠C的度数．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠AED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAE，然后根据角平分线的定义求出∠BAC，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解：∵AD是BC边上的高，∠EAD＝5°，
∴∠AED＝85°，
∵∠B＝50°，
∴∠BAE＝∠AED﹣∠B＝85°﹣50°＝35°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAE＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣70°＝60°．
五、解答题。（本大题共2小题，每小题10，满分20）
19．观察下列图形与等式的关系：
按照以上图形与等式的规律，解答下列问题：
（1）写出第5个等式： 2+3+4+5+6+5+4+3+2＝62﹣2 ．
（2）写出你猜想的第n个等式： 2+3+4+5+6+…+n+（n+1）+n+…+5+4+3+2＝（n+1）2﹣2 （用含n的等式表示），并证明（已知：1+2+3+…+n＝）．
【分析】（1）根据图形的变化即可写出第5个等式；
（2）结合（1）即可写出你猜想的第n个等式，根据已知即可证明．
解：（1）第5个等式：2+3+4+5+6+5+4+3+2＝62﹣2；
故答案为：2+3+4+5+6+5+4+3+2＝62﹣2；
（2）第n个等式为：2+3+4+5+6+…+n+（n+1）+n+…+5+4+3+2＝（n+1）2﹣2；
证明：已知：1+2+3+…+n＝，
∴2+3+…+n＝﹣1．
∵2+3+4+5+6+…+n+（n+1）+n+…+5+4+3+2＝（n+1）2﹣2
＝2[﹣1]+n+1
＝n2+n﹣2+n+1
＝n2+2n﹣1
＝n2+2n+1﹣1﹣1
＝（n+1）2﹣2．
故答案为：2+3+4+5+6+…+n+（n+1）+n+…+5+4+3+2＝（n+1）2﹣2．
20．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，且分别交CD、AC于点F、E．求证：CE＝CF．
【分析】先判断出∠ACD+∠BCD＝90°，再判断出∠A+∠ACD＝90°，进而得出∠A＝∠BCD，再用三角形的外角即可得出结论．
【解答】证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠CFE＝∠BCD+∠CBE＝∠A+∠ABE，
∵∠CEF＝∠A+∠ABE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF．
六、解答题。（本题满分12分）
21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
【分析】（1）根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离＝点D到AC的距离即DE＝CD，再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，从而得出CF＝EB；
（2）设CF＝x，则AE＝12﹣x，再根据题意得出Rt△ACD≌Rt△AED，进而可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB．
（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，
解得x＝2，即CF＝2．
七、解答题。（本题满分12分）
22．节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．
（1）求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？
（2）若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？
【分析】（1）根据从甲地行驶到乙地的路程相等列出分式方程解答即可；
（2）根据所需费用不超过50元列出不等式解答即可．
解：（1）设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为（x+0.5）元，
可得：，
解得：x＝0.3，
经检验x＝0.3是原方程的解，
∴汽车行驶中每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是30÷0.3＝100千米；
（2）汽车行驶中每千米用油费用为0.3+0.5＝0.8元，
设汽车用电行驶ykm，
可得：0.3y+0.8（100﹣y）≤50，
解得：y≥60，
所以至少需要用电行驶60千米．
八、解答题。（本题满分14分）
23．如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于点F，连
接AD．
（1）求证：∠BDC＝∠BAC；
（2）若AB＝AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若AF＝BF，求∠ABC的大小．
【分析】（1）由角平分线定义和三角形的外角性质即可得出结论；
（2）过D作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H，由角平分线的性质得DM＝DH，DN＝DH，则DM＝DN，再证∠GAD+∠CAD＝∠ABC+∠ACB，然后证AD∥BC，则∠ADB＝∠DBC，得∠ABD＝∠ADB，即可得到结论；
（3）由等腰三角形的性质得到∠BAF＝∠ABF＝∠ABC，再根据三角形的内角和即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，
∵∠BDC+∠DBC＝∠DCE，
∴∠BDC+∠ABC＝∠ACE，
∵∠BAC+∠ABC＝∠ACE，
∴∠BDC+∠ABC＝∠BAC+∠ABC，
∴∠BDC＝∠BAC；
（2）解：△ABD为等腰三角形，理由如下：
过D作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H，
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，
∴DM＝DH，DN＝DH，
∴DM＝DN，
∴AD平分∠CAG，
即∠GAD＝∠CAD，
∵∠GAD+∠CAD+∠BAC＝180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠GAD+∠CAD＝∠ABC+∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠GAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
又∵∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴△ABD为等腰三角形；
（3）解：∵AF＝BF，
∴∠BAF＝∠ABF＝∠ABC，
∵∠BAF+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC+∠ABC+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝72°．
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