2021-2022学年安徽省合肥市巢湖七中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年安徽省合肥市巢湖七中八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共40分）

1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各组数中，能成为直角三角形三边长的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 如图，在平行四边形中，，平分，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知等边三角形的边长为，则该等边三角形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 已知菱形的两条对角线长分别是和，则该菱形的高是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接、，下列结论不正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 点、、在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为，则点到的距离是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，、、、分别是四边形四条边的中点，顺次连接、、、得四边形，连接、，下列命题不正确的是(    )

A. 当四边形是矩形时，四边形是菱形
B. 当四边形是菱形时，四边形是矩形
C. 当四边形满足时，四边形是菱形
D. 当四边形满足，时，四边形是矩形

10. 如图，是斜边上的高线，以、、分别作半圆，如果只已知一条线段的长度即可求出图中的阴影部分面积，则这条线段可以是(    )

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共4小题，共32分）

11. 计算： ______ ．
12. 命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是______ ．
13. 如图，等腰三角形中，，、是等腰三角形的高线，连接，若，，则______．

14. 如图，在正方形中，点是上一点，的垂直平分线交对角线于点，交于点，连接、．
    ______；
    若正方形边长为，，则______．

三．解答题（本题共8小题，共78分）

15. 计算：
16. 已知：中，，，求及三角形的面积．
17. 学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图点是正方形边上一点，连接，得到直角三角形，三边分别为，，，将裁剪拼接至位置，如图所示，该同学用图、图的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．

18. 已知：如图，在中，，，高求证：．

19. 如图，四边形是矩形，，，点、分别在、上，且，连接、．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，求的长度．

20. 现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高，云梯最多只能伸长到，救人时云梯伸至最长．如图，云梯先在处完成从高处救人后，然后前进到处从高处救人．
    求消防车在处离楼房的距离的长度；
    求消防车两次救援移动的距离的长度精确到，参考数据，，．

21. 观察下列等式：
    
    
    
    
    根据等式规律写出第个等式，并验证其正确性：______．
    猜想第个等式，并证明．
22. 如图，在中，，，，、分别是直角边和斜边上的点，把沿直线折叠，顶点的对应点是点．
    如图，如果点与顶点重合，求的长；
    如图，如果点与顶点重合，求的长；
    如图，如果点落在直角边上，且，求证：四边形是菱形，并直接写出该菱形的边长．
     

23. 如图，在正方形中，点是边上一点，且点不与、重合，点是延长线上一点，且连接，过点作，垂足为．
    求证：是的中点；
    如图，连接．
    求的度数；
    求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，

故选：．
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
本题考查二次根式的有意义条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故选项A不符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、，故选项C符合题意；
D、，故选项D不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

3.【答案】 

【解析】解：四边形为平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质得，，则，再由角平分线定义得，则，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线定义等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，等边三角形高线即中点，

，
在中，，，
，
等边的面积为，
故选：．
根据等边三角形三线合一的性质可得为的中点，即，在直角三角形中，已知、，根据勾股定理即可求得的长，即可求三角形的面积，即可解题．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定理计算的值是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、原式，故A不符合题意．
B、原式，故B符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据二次根式的乘除运算以及加减运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：菱形的两条对角线长分别是和，
菱形的面积为：，菱形的边长为：，
菱形的高为：，
故选：．
根据菱形的两条对角线长分别是和，可以得到菱形的面积和边长，然后即可计算出菱形的高．
本题考查菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用菱形的性质解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：和同高，且，
，故选项A不符合题意；
B.，
同理，
，
，故选项B不符合题意；
，
，
，
故选项C符合题意，选项D不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的性质和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，，设点到线段所在直线的距离是，
，
，
，
，
故点到的距离是，
故选：．
连接，，设点到线段所在直线的距离是，利用勾股定理求出的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，分别是，的中点，
，，
，分别是，的中点，
，，
，，
四边形是平行四边形；
，分别是，的中点，、分别是、中点，
，，
当四边形是矩形时，，
，
四边形是菱形，故A正确，不符合题意；
当四边形是菱形时，，
，，
，
四边形是菱形，故B正确，不符合题意；
当四边形满足时，不能证明四边形是菱形，故C错误，符合题意；
当四边形满足，时，可证明≌，从而，可得四边形是矩形，故D正确，不符合题意；
故选：．
先证明四边形是平行四边形；再由各选项条件，根据矩形、菱形判断看是否可推得相应结论．
本题考查四边形的中点四边形，解题的关键是掌握矩形、菱形的判定定理．
 

10.【答案】 

【解析】解：




，
是斜边上的高线，
，
只要已知的长即可，
故选：．
根据扇形面积的计算方法得出，再根据射影定理得到即可得出答案．
本题考查扇形面积的计算以及相似三角形的判定和性质，掌握扇形面积的计算方法以及射影定理是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为．
先利用二次根式的性质化简，然后进行加法运算即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．
 

12.【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形 

【解析】解：“平行四边形对角线互相平分”的条件是：四边形是平行四边形，结论是：四边形的对角线互相平分．
所以逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
把一个命题的题设和结论互换就可得到它的逆命题．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
 

13.【答案】 

【解析】解：是的高，
，
，，
，
，，
，，
．
故答案为：．
先根据等腰可知，由勾股定理计算和的长，最后由直角三角形斜边中线的性质可得的长．
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是本题的关键．
 

14.【答案】  

【解析】解：过点作于点，作于点，

四边形是正方形，
平分，，
，
垂直平分，
，
≌，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
故答案为：；
设，则，，
四边形是矩形，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
过点作于点，作于点，先证明≌，再证明是等腰直角三角形便可求得结果；
设，根据列出的方程求得的值，进而根据勾股定理求得、，便可求得．
本题主要考查了正方形的性质与判定，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，关键是构造全等三角形．
 

15.【答案】解：原式

． 

【解析】先化简，然后合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的加减法，注意正数的绝对值等于它本身．
 

16.【答案】解：中，，，，
；
．
故AB的长为，三角形的面积为． 

【解析】先根据勾股定理求出，再利用三角形的面积公式列式求出三角形的面积．
本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了三角形的面积．
 

17.【答案】证明：如图，连接，

，
正方形的面积为，
，，，
，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
四边形的面积为：，
正方形的面积与四边形的面积相等，
，
，
，
． 

【解析】连接，由图可得正方形的面积为，由图可得四边形的面积为三角形与三角形面积之和，再利用正方形的面积与四边形的面积相等即可证明．
本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理的证明方法，一般利用拼图的方法，再利用面积相等证明．
 

18.【答案】解：，
，
，、高，
，，
，
，
是直角三角形，
． 

【解析】根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练正确勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
，
四边形是矩形，
，
在中，，，
根据勾股定理得：，
，
． 

【解析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可完成证明；
结合证明四边形是菱形，可得，然后根据勾股定理即可解决问题．
此题考查矩形的性质，平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的判定和性质定理解答．
 

20.【答案】解：由题意得，，，
，
在中，，
即消防车在处离楼房的距离为；
由题意得，，，
，
在中，，
．
即消防车两次救援移动的距约为． 

【解析】根据题意先求解的长，再利用勾股定理可求解；
根据题意先求解的长，再利用勾股定理可求解的长，由计算可求解．
本题主要考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：第个等式为：，
故答案为：；
第个等式为：，
证明：左边

右边，
．
观察等式的规律即可得出答案；
写出等式，将二次根式的左边化简，根据即可得出答案．
本题考查了探索规律，二次根式的性质，根据化简是解题的关键．
 

22.【答案】解：，，，
，，
根据折叠的性质知，，
，
是等边三角形，
；
根据折叠的性质知，，
设，则，
由勾股定理得，，
解得舍去负数，
即的长为；
，
，
，
由折叠的性质知，，
，
，
，，
，
即四边形是菱形，
设菱形的边长为，
则，，，
由勾股定理得，，
解得舍去负数，
即菱形的边长为． 

【解析】根据折叠的性质得出是等边三角形，得出点是斜边的中点，即可得出的长度；
根据折叠的性质得出点是的中点，再利用勾股定理求出即可；
根据，得出，根据角相等得出四边形的四条边相等即可得出四边形是菱形，利用勾股定理求出菱形的边长即可．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握一个角是的直角三角形的性质，菱形的性质，勾股定理等知识是解题的关键．
 

23.【答案】证明：由正方形得：，，
又，
≌，
，
，
是的中点三线合一，
如图，连接，

由得，
≌，
，
，
，即，
是的中点，
，
同理，在中，，
，，，
≌，
，且，
；
如图，取的中点，连接，

为的中位线，
，，
，在中，，
为等腰三角形，
，
，
，
，
，
，即，
，
． 

【解析】先证明≌，再利用等腰三角形的性质得出结论；
先利用≌，得出，再证明≌，得出结论；
取的中点，连接，先证明，再证明，最后利用，得出结论．
本题是四边形综合题，涉及到正方形的性质、三角形全等、等腰直角三角形的性质、直角三角形中线定理等，综合性强，难度适中．