2022-2023学年河南省信阳九中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省信阳九中九年级（上）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列各数中，的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金亿元，将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知，，，，若为整数且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点是中点，连接，若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图是点运动时随变化的关系图象，则的长为(    )
    

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在四边形中，，，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点若点是的中点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如果，那么的值为(    )

A. 或 B. 或 C.  D.

10. 如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接下列结论：；；平分；其中正确结论的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______ ．
12. 有甲、乙两组数据，如下表所示：

甲、乙两组数据的方差分别为，，则______填“”，“”或“”．

13. 方程的解是______．
14. 如图，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是          ．

15. 如图，在中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，当时，的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    计算；
    化简：．
17. 本小题分
    已知关于的一元二次方程．
    求证：该方程总有两个实数根；
    若，且该方程的两个实数根的差为，求的值．
18. 本小题分
    在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移个单位长度得到．
    求这个一次函数的解析式；
    当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
19. 本小题分
    年月日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取名学生进行测试，并对成绩百分制进行整理，信息如下：
    成绩频数分布表：

成绩在这一组的是单位：分：

根据以上信息，回答下列问题：
在这次测试中，成绩的中位数是______分，成绩不低于分的人数占测试人数的百分比为______．
这次测试成绩的平均数是分，甲的测试成绩是分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．
请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价．

20. 本小题分
    如图，在中，，，为的中点，点在上，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，．
    比较与的大小；用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
    过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明．

21. 本小题分
    近日，教育部印发义务教育课程方案和课程标准年版，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少捆．
    求菜苗基地每捆种菜苗的价格．
    菜苗基地每捆种菜苗的价格是元．学校决定在菜苗基地购买，两种菜苗共捆，且种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对，两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
22. 本小题分
    综合与实践
    综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
    操作判断
    操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
    操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
    根据以上操作，当点在上时，写出图中一个的角：______．
    迁移探究
    小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
    将正方形纸片按照中的方式操作，并延长交于点，连接．
    如图，当点在上时，______，______；
    改变点在上的位置点不与点，重合，如图，判断与的数量关系，并说明理由．
    拓展应用
    在的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．
     

23. 本小题分
    如图，二次函数的图象经过点和点，点的坐标为．
    求二次函数的解析式；
    若轴上有一点，点是抛物线上一动点，过点作轴于点．
    求证：点在线段的垂直平分线上；
    若点，求的周长的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是．
故选：．
直接利用绝对值的性质得出答案．
此题主要考查了绝对值的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示应为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
先写出所在的范围，再写的范围，即可得到的值．
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、
，
方程有两个相等实数根；
B、

两个不相等实数根；
C、

，
方程无实根；
D、
，
则方程无实根；
故选：．
根据一元二次方程根的判别式判断即可．
本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
点是的中点，，
，
，
，
，
．
故选：．
由菱形的性质得出，，，证出是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形的性质求出的长，则可得出答案．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：边长为的正六边形的中心与原点重合，
，，
轴，
，
，
，，
，
将绕点顺时针旋转，每次旋转，可知点与重合，

由可知，每次为一个循环，
，
点与点重合，
点与点关于原点对称，
，
第次旋转结束时，点的坐标为，
故选：．
由正六边形的性质可得，再根据由可知，每次为一个循环，由，可知点与点重合，求出点的坐标可得答案．
本题主要考查了正六边形的性质，旋转的性质，含角的直角三角形的性质等知识，根据旋转的性质确定每次为一个循环是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由函数图象知：当，即在点时，．
在中，
三角形任意两边之差小于第三边，
，
当且仅当与重合时有：．
的最大值为，
．
在中，由勾股定理得：，
设的长度为，
则，
，
即：，
，
由于，
，
，
．
．
故选：．
当，即在点时，；在中，根据三角形任意两边之差小于第三边得：，当且仅当与重合时有：，得的最大值为；在中，由勾股定理求出的长，再根据求出的长．
本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出的长是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，则，
，
，
在与中，，
≌，
，
，．
在中，，
，
，
．
故选：．
连接，根据基本作图，可得垂直平分，由垂直平分线的性质得出再根据证明≌，那么，等量代换得到，利用线段的和差关系求出然后在直角中利用勾股定理求出的长．
本题考查了直角梯形，作图基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出与是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
或，
，．
，
，
，
故选：．
先利用零指数幂的意义得到，然后把方程化为一般式后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，零指数幂的意义，关键是掌握零指数幂：．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，作于，于．

，
，
在和中，

≌，
，，故正确
，
，故正确，
≌，，，
，
，
则可以证明≌，
，
平分，
，故正确，
若成立，则，推出，显然与条件矛盾，故错误，
故选：．
如图，作于，于证明≌，利用全等三角形的性质一一判断即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式，得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据平均数的计算公式求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可得出答案．
本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

13.【答案】， 

【解析】解：，
，
，
或，
或．
故答案为：，．
移项得：，分解因式得到，转化成方程或，求出方程的解即可．
本题主要考查对解一元二次方程因式分解法，解一元一次方程，因式分解法等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出与的长度，本题属于中等题型．
根据图象可知点在上运动时，此时不断增大，而从向运动时，先变小后变大，从而可求出与的长度．
【解答】
解：根据图象可知点在上运动时，此时不断增大，
由图象可知：点从向运动时，的最大值为，
即，
由于是曲线部分的最低点，
此时最小，
即，，
由勾股定理可知：，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
，
，
的面积为：，
故答案为：．  

15.【答案】或 

【解析】解：如图：

，，
，
点为的中点，
，，
，
点、、在同一条直线上，
由旋转得：
，
分两种情况：
当点在上，
在中，，
，
当点在的延长线上，
在中，，
，
综上所述：当时，的长为或，
故答案为：或．
分两种情况：当点在上，当点在的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形，分两种情况进行讨论是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先算负整数指数幂、零指数幂、立方根，去绝对值，再算加减即可；
先通分算括号内的，把除化为乘，再分解因式约分即可．
本题考查实数运算、分式运算，解题的关键是掌握实数运算、分式运算的相关法则．
 

17.【答案】证明：，，，
．
无论取何值时，，即，
原方程总有两个实数根；

解：，即，
，．
，且该方程的两个实数根的差为，
，
． 

【解析】根据方程的系数，结合根的判别式可得出，利用偶次方的非负性可得出，即，再利用“当时，方程有两个实数根”即可证出结论；
利用因式分解法求出，由题意得出的方程，解方程则可得出答案．
本题考查了根的判别式、以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有实数根”；利用因式分解法求出方程的解．
 

18.【答案】解：函数的图象向下平移个单位长度得到，
一次函数的图象由函数的图象向下平移个单位长度得到，
这个一次函数的表达式为．
把代入，求得，
函数与一次函数的交点为，
把点代入，求得，
当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，
． 

【解析】根据平移的规律即可求得．
根据点结合图象即可求得．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：这次测试成绩的中位数是第、个数据的平均数，而第、个数据分别为分，
所以这组数据的中位数是分，
成绩不低于分的人数占测试人数的百分比为，
故答案为：，；
不正确，
因为甲的成绩分低于中位数分，
所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩；
测试成绩不低于分的人数占测试人数的，说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好答案不唯一，合理均可．
根据中位数的定义求解即可，用不低于分的人数除以被测试人数即可；
根据中位数的意义求解即可；
答案不唯一，合理均可．
本题考查了中位数，频数分布表等知识，掌握中位数的定义及其意义是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
为的中点，
，
；
如图，作交于，交于
由≌得：，
，
，
在和中，
，
≌，
，
由知：，
，
，
，
．
 

【解析】由可得，然后证≌即可；
作交于，可证≌得，再证，再借助，由平行线分线段成比例即可证出．
本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的对称性等知识，作构造出全等三角形是解题的关键．
 

21.【答案】解：设菜苗基地每捆种菜苗的价格是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：菜苗基地每捆种菜苗的价格是元；
设购买种菜苗捆，则购买种菜苗捆，
种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数，
，
解得，
设本次购买花费元，
，
，
随的增大而减小，
时，取最小值，最小值为元，
答：本次购买最少花费元． 

【解析】设菜苗基地每捆种菜苗的价格是元，根据用元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少捆，列方程可得菜苗基地每捆种菜苗的价格是元；
设购买种菜苗捆，则购买种菜苗捆，根据种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数，得，设本次购买花费元，有，由一次函数性质可得本次购买最少花费元．
本题考查一元一次方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
 

22.【答案】或或或任写一个即可     

【解析】解：对折矩形纸片，
，，
沿折叠，使点落在矩形内部点处，
，，
，
，
，
，
故答案为：或或或任写一个即可；
由可知，
四边形是正方形，
，，
由折叠可得：，，
，，
又，
≌，
，
故答案为：，；
，理由如下：
四边形是正方形，
，，
由折叠可得：，，
，，
又，
≌，
；
由折叠的性质可得，，
≌，
，
当点在线段上时，，
，，
，
，
，
当点在线段上时，，
，，
，
，
，
综上所述：的长为或．
由折叠的性质可得，，，，由锐角三角函数可求，即可求解；
由“”可证≌，可得；
由“”可证≌，可得；
分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

23.【答案】解：二次函数的图象经过点和点，
，
解得：，
该二次函数的解析式为；
证明：如图，连接，
设，则，
，
，
，
点在线段的垂直平分线上；
解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，交抛物线于点，
由得：，
，
当、、三点在同一条直线上时，最小，即点与重合时，的周长最小，
，，
，，
的周长的最小值为． 

【解析】运用待定系数法即可求得答案；
如图，连接，设，则，，利用两点间距离公式可得，可得，再由线段垂直平分线的判定即可证得结论；
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，交抛物线于点，则的周长，当、、三点在同一条直线上时，最小，即点与重合时，的周长最小，再运用两点间距离公式即可求得答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，线段垂直平分线的判定，两点间距离公式，两点之间线段最短，点到直线的距离垂线段最短等，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．