2022-2023学年湖南省长沙外国语学校九年级（上）入学数学试卷-（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙外国语学校九年级（上）入学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 函数中自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 一组数据，，，下列说法正确的是(    )

A. 众数是 B. 中位数是 C. 极差是 D. 平均数是

3. 截至北京时间年月日，全球新冠肺炎疫情形势仍然严峻，国外已有个国家和地区有感染病例，累计确诊病例已经超过例，数据例用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 随着网络的发展，某快递公司的业务增长迅速完成快递件数从六月份的万件增长到八月份的万件假定每月增长率相同设为则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

6. 已知正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象经过(    )

A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限
C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限

7. 下列性质中，矩形具有、正方形也具有、但是菱形却不具有的性质是(    )

A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分
C. 对角线长度相等 D. 一组对角线平分一组对角

8. 关于的方程有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.
C. 且 D. 且

9. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在矩形中，点在上，且平分，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 分解因式：______．
12. 不等式组的解集是______．
13. 已知，则代数式的值为______．
14. 一元二次方程的一个根是，则另一个根是______．
15. 如图，已知点，，直线经过点试探究：直线与线段有交点时的变化情况，猜想的取值范围是______．

16. 抛物线为常数的部分图象如图所示，设，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 计算：
18. 解方程：
    ；
    ．
19. 先化简，再求值，其中．
20. 某校组织了一次“校徽设计“竞赛活动，邀请名老师作为专业评委，名学生代表参与民主测评，且民主测评的结果无弃权票．某作品的评比数据统计如下：

专业评委给分统计表
记“专业评委给分”的平均数为．
求该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数；
对于该作品，问的值是多少？
记“民主测评得分”为，“综合得分”为，若规定：
“赞成”的票数分“不赞成”的票数分；
．
求该作品的“综合得分”的值．

21. 在直角坐标系中，一条直线经过，，三点．
    求的值；
    设这条直线与轴相交于点，求的面积．
22. 如图，在▱中，、分别是、的中点，，连接交于点．
    求证：≌；
    求证：四边形为菱形；
    过点作于点，交于点，若，，求的长．

23. 某商场购进一批西服，进价为每套元，原定每套以元的价格销售，这样每天可销售套．如果每套比原销售价降低元销售，则每天可多销售套．该商场为了确定销售价格，作了如下测算，请你参加测算，并由此归纳得出结论．每套西服的利润每套西服的销售价每套西服的进价．
    如果每套销售价降低元，每天就多销售套，每套销售价降低元，每天就多销售套，按这种方式，若每套降低元为正整数请列出每天所获利润的代数式；
    根据以上的测算，如果你是该商场的经理，你将如何确定商场的销售方案？
24. 正方形中，点为对角线上任意一点不与、重合，连接，过点作，交线段于点．
    如图，求证：；
    如图，，交线段于点，与相交于点，若点是的中点，求证：；
    若，直接写出的值．
     

25. 已知抛物线为常数，交轴于，，交轴于点．
    求该抛物线解析式；
    点为第四象限内抛物线上一点，连接，过作交轴于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；
    在的条件下，将抛物线向右平移经过点，得到新抛物线，点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得．
故自变量的取值范围是．
故选A．
本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．
本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、众数为，故本选项错误；
B、中位数是，故本选项正确；
C、极差为，故本选项错误；
D、平均数为，故本选项错误；
故选B．
根据极差、众数、中位数及平均数的定义，结合各选项进行判断即可．
本题考查了极差、中位数、平均数、众数的知识，掌握基本定义即可解答本题，难度一般．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数．
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：
，
抛物线顶点坐标为，
故选：．
分析：
由抛物线的解析式可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为直线，顶点坐标为．
 

5.【答案】 

【解析】解：设每月增长率为，
依题意得：，
故选：．
设每月增长率为，根据该快递公司六月份及八月份完成快递件数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：正比例函数的函数值随的增大而增大，
，
，
一次函数的图象经过一、二、三象限．
故选：．
先根据正比例函数的函数值随的增大而增大判断出的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数中，当，时函数的图象在一、二、三象限．
 

7.【答案】 

【解析】解：菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线互相垂直；
矩形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线相等；
正方形具有菱形和矩形的性质，
菱形不具有的性质为：对角线相等，
故选：．
利用正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质依次判断可求解．
本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，注意熟记定理是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：当时，，
解得；
当时，此方程是一元二次方程，
关于的方程有实数根，
，解得；
由得，的取值范围是．
故选：．
由于的取值范围不能确定，故应分和两种情况进行解答：当时得；当时根据且，求得的取值范围．
本题考查了根的判别式，能够分和两种情况进行讨论是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图可得：与直线在同一平面直角坐标系中的交点是，且时，直线的图象在直线的图象下方，故不等式的解集为：．
故选：．
与直线：在同一平面直角坐标系中的交点是，根据图象得到时不等式成立．
本题考查了一次函数与不等式组的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点交点、原点等，做到数形结合．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
故选：．
由矩形的性质可得，，由直角三角形的性质和角平分线的性质可得，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：
本题首先提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】无解 

【解析】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的无解，
故答案为：无解．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，

，
故答案为：．
先根据完全平方公式变形，再代入，即可求出答案．
本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式是解此题的关键，注意：．
 

14.【答案】 

【解析】解：设方程的另一根为，则，
解得，．
故答案是：．
根据根与系数的关系来解题．
本题考查了根与系数的关系．熟记公式是解题的关键，此题属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：当直线经过点，时，
，
；
当直线经过点，，时，
，
．
直线与线段有交点时，猜想的取值范围是：．
故答案为：．
利用临界法求得直线和的解析式即可得出结论．
本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法求出临界值是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴在轴左侧，
，
，
抛物线经过，
，
抛物线经过，
，
，，
，
，
当时，，
，
，
，
故答案为：．
由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置及抛物线经过可得，，的等量关系，然后将代入解析式求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根；
，
，
，
，
，
或，
，． 

【解析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，解一元二次方程配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

，
当时，
原式

． 

【解析】【试题解析】

先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

20.【答案】解：该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数：张，
答：该作品在民主测评中得到“不赞成”的票是张；
分；
答：的值是分；
分；


分．
答：该作品的“综合得分”的值为分． 

【解析】“不赞成”的票数总票数赞成的票；
平均数总分数总人数；
根据“赞成”的票数分“不赞成”的票数分；求出该作品的“综合得分”的值．
本题考查了加权平均数、算术平均数，掌握这两种平均数的应用，其中读懂题意是解题关键．
 

21.【答案】解：设直线的解析式为，把，代入，
可得：，
解得：，
所以直线解析式为：，
把代入中，
得：；
由得点的坐标为，
令，则，
所以直线与轴的交点坐标为，
所以的面积． 

【解析】此题考查一次函数问题，关键是根据待定系数法解解析式．
利用待定系数法解答解析式即可；
得出直线与轴相交于点的坐标，再利用三角形面积公式解答即可．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
、分别是，的中点，
，
在和中，，
≌；
证明：是的中点，，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
解：是的中点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
． 

【解析】由四边形是平行四边形，可得，，，利用证得≌；
利用直角三角形形的性质结合菱形的判定方法证明即可．
易求得，然后由含的直角三角形的性质求解即可求得答案．
此题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及解直角三角形等知识等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：由题意得：每天所获利润的代数式为，
即；
由题意可知，为正整数，
当时，利润为元，
当时，利润为元，
当时，利润为元，
当时，利润为元，
当时，利润为元，
综上所述，每套降低元销售时获利最多，作为商场的经理应以每套元的价格销售． 

【解析】由每套西服的利润销售数量，即可得出结论；
分别求出，，，，时的利润，即可得出结论．
此题考查了列代数式及一元二次方程的应用，正确表示出每件商品的利润和销量是解题关键．
 

24.【答案】证明：如图，过点作于点，交于点，则，
四边形是正方形，
，
，
；
，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
；
，
，
，
≌，
．
如图，连接、，
，
，
点是的中点，
，
，，
，，
，
，
；
，，
，
，
，，
≌，
，
．
如图，过点作于点，交于点，连接，设正方形的边长为，
由、得，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】过点作于点，交于点，证明≌，即可得出结论；
连结、，则、都是直角三角形斜边上的中线，可证明，从而证明是等腰直角三角形，进而得出结论；
设正方形的边长为，可将、的长都用含的代数式表示，求出的值．
此题重点考查正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造全等三角形和矩形，此题难度较大，属于考试压轴题．
 

25.【答案】解：将，代入抛物线，
，解得．
抛物线的解析式为：．
如图，连接，则的面积面积，过点作轴交于点，

令，则，
；
，直线的解析式为：，
设点的横坐标为，则，，
，
，
，
当时，的最大值为；此时．
综上，面积的最大值为，此时．
将抛物线向右平移经过点，
点向右平移个单位，
平移后的抛物线为：．
点在平移后抛物线的对称轴上，
设点，该对称轴与轴交于点，
当点为直角顶点时，过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线交于点，

，，，，
，
，
∽，
：：，解得，
；
由矩形的性质可知，，，
，，
，，
；
当点为直角顶点时，过点作轴的平行线交于点，

同理可得∽，
：：，解得，
，
由矩形的性质可知，，，
，，
，，
；
当点为直角顶点，如图，

同理可得∽，
：：，
：：，
解得或，
当时，
由矩形的性质可知，，，
，，
；
同理可得，当时，；
综上可得，符合题意的点的坐标为：或或或 

【解析】将，代入抛物线，解方程组即可；
如图，连接，则的面积面积，过点作轴交于点，设点的横坐标为，则可得点和点的坐标，进而表达的面积，利用二次函数的性质可求出最值；
先求出平移后的二次函数的抛物线，设点的坐标，若以，，，为顶点的四边形为矩形，则一定是直角三角形，根据题意进行分类讨论：当点是直角顶点；当点是直角顶点；当点是直角顶点，分别求出点的坐标，再利用矩形的性质可求出点的坐标．
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，矩形的判定与性质，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题．