2023年浙江省杭州市拱墅区公益中学中考数学三模试卷（含解析）

2023年浙江省杭州市拱墅区公益中学中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如果水库的水位高于正常水位时，记作，那么低于正常水位时，应记作(    )

A.  B.  C.  D.

2.  的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  新冠病毒的直径约为米，用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  若、分别是的高线和中线，是的角平分线，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若关于的方程没有实数根，则的值可能为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  设，，均为实数，则下列说法正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

8.  已知一次函数的图象经过点，且随着的增大而增大，则点的坐标可以是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，为半径画弧交于点，连接，设，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 着，则

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  因式分解：          ．

12.  一个不透明的袋子中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同现随机从袋中摸出一个球，若颜色是白色的概率为，则袋中白球的个数是______ ．

13.  已知一次函数与是常数，的图象的交点坐标是，则方程组的解是        ．

14.  如图，直线，的边在直线上，，将绕点顺时针旋转至，边交直线于点，则______

15.  某网络学习平台年的新注册用户数为万，年的新注册用户数为万，设新注册用户数的年平均下降率为，则 ______ 用百分数表示．

16.  已知三角形为直角三角形，，为圆的直径，为圆切线，为切点，，则和面积之比为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
小明同学解方程的步骤及具体过程如下：
解：第一步：方程两边同时乘，得，
第二步：解得，
第三步：检验，当时，分母，
第四步：所以原分式方程的解为．
小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．

18.  本小题分
为了喜迎亚运，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制出如图的统计图和图，请根据有关信息，解答下列问题：

本次接受随机抽样调查的学生人数为______ ，图中的值是______ ；
求本次调查获取到样本数据的众数和中位数；
根据样本数据，若学校计划购买双运动鞋，建议购买号运动鞋多少双？

19.  本小题分
如图，在中，点是上的点，过点作交于点，，过作交于点．
若，求线段的长；
若的面积为，求平行四边形的面积．

20.  本小题分
如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点和点，与反比例函数的图象交于点和点，其中点的坐标为，点的坐标为．
分别求出一次函数与反比例函数的表达式．
求当时的取值范围，直接写出结果．
若点在上，将点向右平移个单位落在上，求的值．

21.  本小题分
如图，内接于，且，是的直径，，交于点，为的延长线上一点，且．
求证：∽；
求证：是的切线；
若为的中点，求的值．

22.  本小题分
已知抛物线是实数，与轴交于，两点．
若，且，两点的坐标分别为，，求函数的表达式及其图象的顶点坐标；
函数的图象与轴只有一个交点，经过点，，求的值；
若抛物线过点，，，，求证．

23.  本小题分
如图，在矩形中，平分交射线于点，过点作交射线于点，连结交于点，连结交射线于点．
当时，
求证：；
猜想的度数，并说明理由．
若时，求的值用含的代数式表示．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：如果水库的水位高于正常水位时，记作，那么低于正常水位时，应记作．
故选：．
在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
此题主要考查正负数的意义，关键是掌握正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据特殊角三角函数值，可得答案．
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故A错误，不符合题意；
B.，故B错误，不符合题意；
C.，故C正确，符合题意；
D.，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据幂的乘方，合并同类项，同底数幂相除，完全平方公式，逐一判断，即可解答．
本题考查了幂的乘方，合并同类项，同底数幂相除，完全平方公式，掌握相关的运算法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：线段，分别是的边上的高线和中线，是的角平分线，
根据垂线段最短可知：，，
故选：．
根据垂线段最短解答即可．
本题考查了三角形的角平分线、高线和中线，根据垂线段最短判断高线小于等于中线和角平分线是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
所以可能取．
故选：．
先根据根的判别式的意义得到，再解不等式得到的取值范围，然后对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：、若，则其两边同时加上或减去，不等式仍成立，所以不一定成立，不符合题意；
B、若，则其两边同时乘以，该等式仍成立，即，符合题意；
C、若，则其两边同时加上或减去，不等式仍成立，所以不一定成立，不符合题意；
D、当时，不等式不一定成立，不符合题意．
故选：．
根据不等式的性质和等式的性质进行分析判断．
本题主要考查了不等式的性质和等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以或除以含有字母的数时，一定要对字母是否大于进行分类讨论．
 

8.【答案】 

【解析】解：随着的增大而增大，
．
A.当点的坐标为时，，
解得：，
点的坐标不可以是，选项A不符合题意；
B.当点的坐标为时，，
解得：，
点的坐标不可以是，选项B不符合题意；
C.当点的坐标为时，，
解得：，
点的坐标不可以是，选项C不符合题意；
D.当点的坐标为时，，
解得：，
点的坐标可以是，选项D符合题意．
故选：．
由随着的增大而增大，利用一次函数的性质可得出，将各选项中的点的坐标代入一次函数解析式中求出值，取值为正的选项即可得出结论．
本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，代入各选项中点的坐标，求出值是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得：，，
，，
，
在中，

，
，
，
在中，

．
故选：．
先根据等腰三角形的性质，用的代数式表示在三角形中，用和的代数式表示，最后在等腰三角形中根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于，即可表示出的度数．
本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点．解决本题的关键是熟练掌握和运用等腰三角形的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图所示，若，则，

故A选项错误；
如图所示，若，则或，

故B选项错误；
如图所示，若，则，

故C选项正确，选项错误；
故选：．
根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解．
本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
直接利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
【解答】
解：．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：设袋子中白球的个数为，
则，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
则袋中白球的个数是个．
故答案为：．
设袋子中白球的个数为，根据白色的概率为，列出关于的方程，解之可得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】 

【解析】解：一次函数与是常数，的图象的交点坐标是，
方程组的解是．
故答案为：．
根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．
本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：将绕点顺时针旋转至，
，，
，
直线，
，
故答案为：．
根据旋转的性质和平行线的性质即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
的值为．
故答案为：．
利用年的新注册用户数年的新注册用户数新注册用户数的年平均增长率，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及百分数的互化，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

16.【答案】： 

【解析】解：如图，连接，
是的切线，为半径，
，
即，
，
又，即，
，
是的直径，
，即，
又，而，
，
在和中，
，
≌，
又，
，
，
即和面积之比为：．
故答案为：：．
根据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，可以先证明和，再由，进而得出，即和面积之比为：．
本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，理解切线的性质，圆周角定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提．
 

17.【答案】解：小明的解答有错误，正确的解答过程如下：
，
方程两边同时乘，得．
解得：．
检验：当时，，
是原方程的根． 

【解析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，分式方程的解，一定要注意解分式方程必须检验．
 

18.【答案】   

【解析】解：本次接受随机抽样调查的学生人数为：人，
图中的值为：．
故答案为：，；
在这组样本数据中，出现了次，出现次数最多，
这组样本数据的众数为；
将这组样本数据从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都为，
中位数为；
双．
答：建议购买号运动鞋双．
根据条形统计图和扇形统计图求出总人数，由扇形统计图以及单位，求出的值；
找出出现次数最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排列，求出中位数即可；
用计划购买的总鞋数乘号运动鞋所占的百分比即可．
本题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
 

19.【答案】解：，
∽．
．
，
．
．
．
，
，∽．
．
．
．
，
∽．
．
，
． 

【解析】利用平行线先判定∽，再利用相似三角形的性质得结论；
先利用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质求出的面积，再利用相似三角形的性质得结论．
本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定方法及“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的表达式为．
一次函数的图象经过点，，
，
解得，
一次函数的表达式为．
由题意得，
解得，，
又，
，
由图象可知，当时，即一次函数的值大于或等于反比例函数的值时，
自变量的取值范围为或；
点在上，
，
点向右平移个单位为落在上，
，
联立，
解得：或，
综上，的值为或． 

【解析】利用待定系数法即可求得；
解析式联立成方程组，解方程组求得的坐标，然后根据图象即可求得；
把点代入得，求得点向右平移个单位为代入得，联立即可求得的值为或．
本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，利用数形结合是解决本题的关键．
 

21.【答案】证明：，
，
，
又，
∽；
证明：是的直径，
，
又，
是的垂直平分线，
，

又，
，
在中，，
；
，
即，
即，
又点在上，
是的切线；
解：设，则，
∽，
，
，
，
是直径，
，
在中，． 

【解析】根据圆周角定理得出，即可得证∽；
根据角的关系得出，再根据角的代换得出，即，即可得证结论；
设，则，由相似三角形的性质得出，证出，由锐角三角函数的定义可得出答案．
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：，两点的坐标分别为，，
、的值为、，
，
，
由，
把代入关系式，
，
顶点坐标为
，纵坐标相同，
对称轴，
函数的图象与轴只有一个交点，
．
证明：由抛物线关系式得，对称轴，
，
抛物线开口向下，
当，两点位于对称轴左侧时，
随的值的增大而增大，
，不符题意；
当，两点位于对称轴右侧时，
随的值的增大而减小，
，
不受、影响；
当，两点位于对称轴两侧时，
由题意得，抛物线上的点离轴越近，纵坐标越大，
，
点离轴更近，
即，
． 

【解析】由“交点式”关系式性质得，、的值为、，再代入，即可求出关系式，再将对称轴代入即可求出顶点；
判断出两点在同一条水平线上，故可求对称轴为，由函数的图象与轴只有一个交点得，与值相等，即是对称轴的值；
有题分析出两点在对称轴的两侧，且点离轴更近，列出方程即可；
本题考查了二次函数的图形及性质的应用，“交点式”关系式的对称轴的计算及其应用是解题关键．
 

23.【答案】四边形是矩形，

，，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
；
解：猜想，理由如下：
如图，连接，

，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
由知：，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
；
解：，
设，则，，
如图，过点作于，作于，则，

是等腰直角三角形，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，，，
，
，
． 

【解析】根据矩形的性质先证明是等腰直角三角形，可得，再由可得结论；
如图，连接，证明≌，再证明是等腰直角三角形可得结论；
设，则，，如图，过点作于，作于，则，表示和的长，利用三角函数的定义代入计算即可．
本题主要考查四边形的综合题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角函数的定义，矩形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质等知识是解题的关键．