2021-2022学年新疆塔城地区沙湾市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年新疆塔城地区沙湾市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 要使二次根式有意义，字母必须满足的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 关于等边三角形，下列说法不正确的是(    )

A. 等边三角形是轴对称图形 B. 所有的等边三角形的内角都相等
C. 等边三角形是正多边形 D. 等边三角形是中心对称图形

3. 下列性质中，矩形、菱形、正方形都具有的是(    )

A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 四个角都是直角

4. 关于函数，下列结论正确的是(    )

A. 图象必经过点 B. 图象经过第一、二、三象限
C. 当时， D. 随的增大而增大

5. 已知数据：，，，，，，，，则这组数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D. 和

6. 如果四边形是平行四边形，，且的长是四边形周长的，那么的长是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 在平面直角坐标系中，将直线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的新直线为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，，是边上的中线，是的中位线，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，一个木制的活动衣帽架由个全等的菱形构成．已知菱形的边长为，当挂钩、间的距离是时，则挂钩、间的距离是．(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，有一个水池，水面是一边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为尺．(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分

11. 如图，平行四边形的对角线与相交于点，，若，，则长为______．

12. 某住宅小区有一块草坪如图所示，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是______米．

13. 随机从甲、乙两块试验田中各抽取株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：，，，，则小麦长势比较整齐的试验田是______ 填“甲”或“乙”．
14. 如图，，，且，，则点在数轴上表示的实数是______．
     
15. 如图，正方形中，点、分别在边、上，且下列结论：≌；；；；，其中正确的是______只填写序号．

三、解答题（本大题共7小题，共55分

16. 计算：
    ；
    ．
17. 如图，梯子靠在墙上，梯子的底端到墙根的距离为米，梯子的顶端到地面的距离为米．现将梯子的底端向外移动到，使梯子的底端到墙根的距离等于米，同时梯子的顶端下降至，那么的长是多少？

18. 疫情期间，各地学校采取“离校不停课”，某县教科局开展“离校不停课，教师伴成长”征文活动、两校分别推荐名教师参加了活动，其成绩满分分如图所示，根据图中数据解决下列问题：
    校计算出了校选手的平均成绩为分，方差分．
    请你完成：
    补全条形统计图；
    校选手成绩的众数是______ 分，平均成绩 ______ 分；
    根据中计算结果，分析哪个学校的成绩较好？
     

19. 已知如图，在四边形中，过作交于点，过作交于，且求证：四边形是平行四边形．

20. 甲、乙两个商场出售相同的某种商品，每件售价均为元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠；乙商场的优惠条件是：每件优惠设所买商品为件时，甲商场收费为元，乙商场收费为元．
    分别求出，与之间的关系式；
    当甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为多少件？
    当所买商品为件时，应选择哪个商场更优惠？请说明理由．
21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的另一条直线交轴正半轴于点，且．
    请求出点、、的坐标；
    求直线的解析式；
    若点在直线上，且满足，求点的坐标．

22. 以四边形的边、为边分别向外侧作等边三角形和，连接、，交点为．
    
    当四边形为正方形时如图，和的数量关系是______；
    当四边形为矩形时如图，和具有怎样的数量关系？请加以证明；
    四边形由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图中求出的度数．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：二次根式有意义，
，解得．
故选：．
先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于．
 

2.【答案】 

【解析】解：等边三角形是轴对称图形，A正确；
所有的等边三角形的内角都相等，B正确；
等边三角形是正多边形，C正确；
等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，D错误；
故选：．
据轴对称图形、中心对称图形的定义，等边三角形的性质，正多边形的概念对选项进行逐一判断即可．
本题考查了轴对称图形，中心对称图形，等腰三角形的相关知识解题关键在于能够熟悉该知识并进行合理运用．
 

3.【答案】 

【解析】解：菱形对角线互相平分且垂直但不相等，故A不符合题意，
B.矩形对角线互相平分且相等但不互相垂直，故B不符合题意，
C.矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，故C符合题意，
D.菱形的四个角都不是直角，故D不符合题意，
故选：．
根据矩形、菱形、正方形的性质一一判断即可．
本题考查矩形、菱形、正方形的相关性质，结合矩形、菱形、正方形的相关性质进行分析．
 

4.【答案】 

【解析】解：、当时，，故图象不经过点，故此选项错误；
B、，经过第一、二、四象限，故此选项错误；
C、由与轴交点为，当时，，故此选项正确；
D、随的增大而减小，故此选项错误；
故选：．
根据凡是函数图象经过的点比能使解析式左右相等，故A错误；根据、的值进行分析可得B错误；根据解析式求出与轴交点，由图象易得结论；根据一次函数的性质可得D错误．
此题主要考查了一次函数的性质，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握一次函数的性质：，随的增大而增大，函数从左到右上升；，随的增大而减小，函数从左到右下降．由于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．
 

5.【答案】 

【解析】解：从小到大排列此数据为：、、、、、、、，第位和第位分别是和，平均数是，则这组数据的中位数是．
故选：．
要求中位数，是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数或最中间的两个数即可，本题是最中间的两个数的平均数．
此题考查了中位数；注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，且的长是四边形周长的，
四边形周长为：，
，
．
故选C．
由，且的长是四边形周长的，即可求得四边形周长，又由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．熟记平行四边形的各种性质定理是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：将直线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，平移后所得新直线的表达式为，即，
故选：．
根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．
本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：是的中位线，若，
，
在中，，是边上的中线，
，
故选：．
根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，一个木制的活动衣帽架为菱形．

活动衣帽架由个全等的菱形构成，
当挂钩、间的距离是时，，
四边形为菱形，
，，，
，
，
，
，
，
故选：．
根据菱形的性质利用勾股定理求得的长即可得出答案．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，
芦苇的长度，
答：芦苇长尺．
故选：．
找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答．
本题考查勾股定理的应用．
 

11.【答案】 

【解析】解：▱的对角线与相交于点，
，，
，，，
，
，
故答案为：．
利用平行四边形的性质和勾股定理易求的长，进而可求出的长．
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
，，
米，米，米，
米，米，
为直角三角形，
草坪的面积等于米．
故答案为．
连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断三角形是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和．
此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形．
 

13.【答案】甲 

【解析】解：由方差的意义，观察数据可知甲块试验田的方差小，故甲试验田小麦长势比较整齐．
故填甲．
根据方差的意义判断即可．方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
本题考查方差的定义与意义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理和数轴与实数，能联系数轴和实数的关系是解此题的关键，属于基础题．
根据勾股定理求出，即可得出答案．
【解答】
解：由勾股定理得：，
所以点在数轴上表示的实数是，
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用．关键是利用全等三角形的性质，把条件集中到直角三角形中，运用勾股定理求解．
由已知得，，利用“”可证≌，利用全等的性质判断正确，在上取一点，连接，使，由正方形，等边三角形的性质可知，从而得，设，则，，分别表示，，的长，判断的正确性．
【解答】
解：，，
≌，为等边三角形，
，
又，
，
，
，
正确，
在上取一点，连接，使，
则，
，
设，则，，
，，
，而，
错误，
，
，
正确．
故答案为：．  

16.【答案】解：

；


． 

【解析】根据二次根式的除法的法则进行运算即可；
先化简，再进行加减运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

17.【答案】解：由题意可知：，，
在中，由勾股定理得，
，
米，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
答：的长是． 

【解析】利用勾股定理求出，的长，进而解决问题．
本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：校号的成绩为：，
如图所示．

校选手的分数为：，，，，，所以其众数为，
．
故答案为：，；

．
由于两校的平均数相等，班的方差较小，所以班成绩比较稳定．
从众数方面看：校选手的众数为，校选手的众数为，
因为，所以校选手高分多．
根据校选手的平均数和已知四个人的成绩，先计算出号选手的成绩，再补全条形图；
先根据条形图，写出校选手的成绩，再计算平均数和众数即可；
可从平均数众数或平均数方差等方面比较得结论．
本题考查了条形图、众数、平均数、方差等相关知识点，题目难度不大，读懂图根据题图得到有用信息是解决本题的关键．
 

19.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】只要证明即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
 

20.【答案】解：当时，；
当时，．
；
，
；

当甲、乙两个商场的收费相同时，，
解得，
答：甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为件；

时，，
，
，
所买商品为件时，应选择乙商场更优惠． 

【解析】根据两家商场的优惠方案分别列式整理即可；
根据收费相同，列出方程求解即可；
根据函数解析式分别求出时的函数值，即可得解．
本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家商场的优惠方案是解题的关键．
 

21.【答案】解：令，，
点，
令，，解得，
点，
，
点；
设直线 的解析式为，
点点在直线上，
，解得，
直线 的解析式为；
，
过点作于点，
，
，
当在上时，，
，
解得，

当在延长线上时，，
，
解得，
，
综上，的坐标为或 

【解析】根据坐标轴上点的坐标特征利用直线求出、点的坐标，再利用即可求得点的坐标；
待定系数法即可解决问题；
过点作于点，设，由，得出或，据此得到关于的方程，解方程求得的值，即可求得点的坐标．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

22.【答案】解：
．

证：为等边三角形
，
为等边三角形，
，
，
即
≌
；
解：

同易证：≌，
，
设为，则也为
于是有为，为，

． 

【解析】，
理由如下：

四边形为正方形，
，
和均为等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
见答案．

，利用正方形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的证明方法可证明≌，由全等三角形的性质即可得到；
当四边形为矩形时，和仍旧相等，证明的思路同；
四边形由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，不发生变化，是一定值，为．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质以及矩形的性质，题目的综合性很强，难度也不小，解题的关键是对特殊几何图形的性质要准确掌握．