北师大版 (2019)第二章 平面向量及其应用1 从位移、速度、力到向量1.1 位移、速度、力与向量的概念一课一练

【优质】1.1 位移、速度、力与向量的概念-1课时练习

一．填空题

1．
设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则________.

2．给出下列命题：

①若 ，则；

②若单位向量的起点相同，则终点相同；

③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．

其中正确命题的序号是________．

3．
已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m=________.

4．下列命题中正确的有________.(填序号)

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若，则；

③若，则四点构成平行四边形；

④在？ABCD中，一定有；

⑤若，，则；

⑥若，，则；

5．
在下列结论中，正确的是______．(填序号)

(1)若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；

(2)模相等的两个平行向量是相等的向量；

(3)若a和b都是单位向量，则a＝b；

(4)两个相等向量的模相等．

6．
若向量与任意向量都平行，则=_________；若||=1,则向量是_________.

7．
已知向量的夹角为，若，则 ___________。

8．
13．把平面上一切单位向量的终点放在同一点,那么这些向量的起点所构成的图形是____，把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是___.

9．
在平面内, ，若动点满足，则的最小值是__________．

10．
设O是正方形ABCD的中心，则①；②；③与共线；④.其中，所有表示正确的序号为________．

11．
已知向量满足，，且，则实数__________．

12．
给出下列命题：

①的充要条件是且；

②若向量与同向，且，则；

③由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；

④若向量与向量平行，则向量与的方向相同或相反；

⑤起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

⑥任一向量与它的相反向量不相等．

其中真命题的序号是________．

13．
给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量，其中能使a∥b成立的是________．

14．
已知e1，e2是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量b满足|b|＝2，b·e1＝1，b·e2＝1，则对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|的最小值为________.

15．在等腰梯形中，，则下列结论中正确的是_______（写出所有正确结论的序号）

①；②；③；④

参考答案与试题解析

1．【答案】2

【解析】由可知，，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，

因此，.

2．【答案】③

【解析】①考虑的情况；②根据单位向量的定义判断.③根据相等向量的定义判断.④共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，所在直线可能平行也可能重合.

详解：①错误．若，则①不成立；

②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；

③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；

④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量与必须在同一直线上．

故答案为：③

【点睛】

本题主要考查平面向量的概念及其关系，要注意零向量的方向任意，与任何向量是共线向量；判断向量是否共线，要根据向量的方向来进行判断，属于基础题.

3．【答案】0

【解析】因为A，B，C不共线，

所以与不共线，

又与， 都共线，

所以．

答案：

点睛：

在向量中， 是一个特殊的向量，它的长度为0，方向任意．故可规定与任意向量是共线的。在本题中，由于与不共线，故满足与， 共线的向量为．

4．【答案】④⑤

【解析】根据向量的相等，向量共线的概念，可得答案.

详解：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；

,由于与方向不确定，所以与不一定相等，故②不正确；

，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，所以③不正确；

在？ABCD中，,所以一定有，所以④正确；⑤显然正确；

零向量与任一向量平行，故，时，若，则与不一定平行，故⑥不正确．

故答案为：④⑤.

【点睛】

本题考查向量相等，向量共线的概念，关键在于从向量的方向和向量的大小两个方面考虑，对于向量共线，注意零向量与任何向量共线，属于基础题.

5．【答案】(4)

【解析】若两个向量相等，则它们的起点和终点不一定相同；

模相等的两个平行向量是可以相等，也可以相反；

若a和b都是单位向量，则a，b模相等

两个相等向量的模必相等，所以选（4）

6．【答案】    单位向量

【解析】由于只有零向量与任意向量平行，故；

由于，即向量的长度为1，所以向量是单位向量．

答案： ，单位向量

7．【答案】3

【解析】由题意可得： ，

整理可得： ，

据此可得： .

8．【答案】    单位圆 .    直线

【解析】由于把平面上一切单位向量的终点放在同一点，则所有向量的起点到该点的距离都为1，因此所有起点构成的图形是以终点为圆心的单位圆．

若把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，由于向量的长度不同，则这些向量的终点构成的图形是过起点的直线．

答案：单位圆；直线

9．【答案】2

【解析】由得三角形ABC为等边三角形，且边长为 ，以AC所在直线为x轴，AC中点为坐标原点建系，则 ，

因此 ，所以

10．【答案】①②③

【解析】设是正方形的中心，则①，，因为与大小相等，方向相同，正确；

②，正确；

③与共线，正确；

④.错误， 与大小相等，方向不同.

即答案为①②③

11．【答案】

【解析】很明显，则：，

据此有：，解得：.

12．【答案】⑤

【解析】

【分析】

根据向量相等与共线以及零向量相关概念进行判断选择.

【详解】

①当与是相反向量时，满足且，但≠，故①假；

②向量不能比较大小，故②假；

③与任意向量平行，故③假；

④当与中有零向量时，由于零向量的方向是任意的，故④假；

⑤由相等向量定义知，⑤真；

⑥的相反向量仍是，故⑥假．

【点睛】

本题考查向量相等与共线以及零向量相关概念，考查基本分析判断能力.

13．【答案】①③④

【解析】，能够使得 成立；

||，方向不一定相同或相反，不能使成立；

的方向相反，存在实数，使得，能够使得 成立；

|或|，存在实数0，能够使得 成立；
⑤都是单位向量，方向不一定相同或相反，不能使成立；

其中能使成立的是①③④．
即答案为：①③④．

【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力．

14．【答案】

【解析】由题，

所以当且仅当 时

即答案为.

15．【答案】③

【解析】利用等腰梯形的性质结合相等向量的定义判断即可

【详解】

如图，∵四边形为等腰梯形，∴与的大小相等，但方向不同，故.

故填③

【点睛】

本题考查向量的基本性质，相等向量性质，是基础题