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2021-2022学年山西省吕梁市交城县七年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年山西省吕梁市交城县七年级（上）期末数学试卷 解析版，共20页。
2021-2022学年山西省吕梁市交城县七年级（上）期末数学试卷
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）今年6月17日，我国的神舟十二号载人飞船搭载着聂海胜、刘伯明、汤洪波三名宇航员成功飞天，开启历时三个月的太空任务，载人飞船每天绕地球飞行了约15.4圈，历时三个月，共飞行约58935325km，则这个飞行距离用科学记数法表示为（ ）
A．58.9×106km B．0.589×108km
C．5.89×107km D．5.89×108km
2．（3分）如图，将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校定是直的，那么乙尺不是直的，判断依据是（ ）
A．两点之间直线最短
B．经过一点有且只有一条直线
C．经过两点有且只有一条直线
D．线段可以向两个方向延长
3．（3分）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么下列式子成立的是（ ）
A．a+b＞0 B．ab＜0 C．a＞b D．ab＞0
4．（3分）已知一个多项式与3x2+4x﹣1的和等于3x2+9x，则这个多项式为（ ）
A．5x+1 B．5x﹣1 C．﹣5x+1 D．﹣5x﹣1
5．（3分）把方程﹣1＝的分母化为整数可得方程（ ）
A．﹣10＝ B．﹣1＝
C．﹣10＝ D．﹣1＝
6．（3分）数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角．如图，用尺规过∠AOB的边OB上一点C（图①）作∠DCB＝∠AOB（图②）．我们可以通过以下步骤作图：
①作射线CD；
②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OAOB于点N，M；
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．
下列排序正确的是（ ）
A．①②③④ B．④③①② C．③②④① D．②④③①
7．（3分）如图，CB＝4cm，DB＝7cm，点D为AC的中点，则AB的长为（ ）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
8．（3分）《算学启蒙》中有一道题，原文是：良马日行二百四十里，驽马日行一百二十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？译文为：跑的快的马每天走240里，跑的慢的马每天走120里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，可列方程（ ）
A．240（x+12）＝120x B．240（x﹣12）＝120x
C．240x＝120（x+12） D．240x＝120（x﹣12）
9．（3分）如图：O为直线AB上的一点，OC为一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，图中互余的角共有（ ）
A．1对 B．2对 C．4对 D．6对
10．（3分）如图，长方形ABCD沿直线EF、EG折叠后，点A和点D分别落在直线l上的点A′和点D′处，若∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．60° C．50° D．55°
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）对有理数a，b定义运算▽如下：a▽b＝，则（5▽4）▽2的值为 ．
12．（3分）如图所示，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，写出一对相等的角 （直角除外）．
13．（3分）当k＝ 时，多项式x2+（3k﹣2）xy﹣3y2﹣9xy+1不含xy项．
14．（3分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为 ．
15．（3分）把一副三角尺按如图所示拼在一起，其中B，C，D三点在同一直线上，CM平分∠ACB，CN平分∠DCE，则∠MCN ．
三．解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）计算：
（1）（﹣+）×（﹣12）；
（2）﹣12×（﹣5）+（﹣2）3÷4．
17．（8分）解方程：
（1）2（3x+4）﹣5x＝3；
（2）﹣＝1．
18．（8分）已知关于a，b的单项式am+nb2与单项式﹣a6bm+1是同类项．
（1）求m，n的值；
（2）求整式3（m2﹣2mn+n2）﹣[4m2﹣2（m2+mn﹣n2）]的值．
19．（8分）下面是晓彬同学进行整式的加减的过程，请认真阅读并完成相应任务．
（2a2b﹣5ab）﹣2（ab﹣a2b）
＝2a2b﹣5ab﹣2ab﹣2a2b…第一步
＝2a2b﹣2a2b﹣5ab﹣2ab…第二步
＝﹣7ab…第三步
（1）任务一：①以上步骤第一步是进行 ，依据是 ；
②以上步骤第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
③请你进行正确化简．并求当a＝2，b＝﹣3时，式子的值．
（2）任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就整式的加减还需要注意的事项给其他同学提出一条建议．
20．（10分）如图，已知B、C在线段AD上．
（1）图中共有 条线段；
（2）若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；
②若AD＝20，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度．
21．（10分）如图1，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点A落在点A'处，BC为折痕．
（1）如图1，若∠1＝25°，求∠A'BD的度数；
（2）如果又将活页的另一角斜折过去，使BD边与BA'重合，折痕为BE，如图2所示，求∠CBE的度数．
22．（10分）综合与实践
问题情境：
太原环城旅游公路暨公路自行车赛道环西山而建，全长136千米，将百余处景点串连成一条线，同时，也是山西首条自行车专用赛道．周日，某自行车骑行团在该赛道组织骑行活动，甲、乙、丙三人参加了这次活动．甲从赛道一端（记为A）出发向另一端（记为B）骑行，甲出发40分钟时乙从赛道B端出发，二人相向而行．已知甲的平均速度为50千米/时，乙的平均速度为30千米/时．设甲骑行的时间为x小时，请解决下列问题．
建立模型：
（1）在甲从赛道A端到B端骑行过程中，用含x的代数式表示：甲离开A端的赛程为 千米，乙离开B端的赛程为 千米；
问题解决：
（2）当甲、乙二人相遇时，x的值为 ；
（3）乙出发20分钟时，丙从B端出发向A端骑行，平均速度也为30千米/时．
若甲到达B端后停止骑行，丙到A端后也停止骑行，当甲与丙之间相距的赛程恰好为6千米时，求x的值．
23．（13分）阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图1，∠AOB＝80°，OC平分∠AOB，若∠BOD＝20°，请你补全图形，并求∠COD的度数．
以下是小明的解答过程：
解：如图2，因为OC平分∠AOB，∠AOB＝80°，
所以∠BOC＝ ∠AOB＝ °．
因为∠BOD＝20°，
所以∠COD＝ ＝ °．
小静说：“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是OD在∠AOB外部的情况，事实上，OD还可能在∠AOB的内部”．
完成以下问题：
（1）请你将小明的解答过程补充完整；
（2）根据小静的想法，请你在图3中画出另一种情况对应的图形，并求出此时∠COD的度数．
2021-2022学年山西省吕梁市交城县七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）今年6月17日，我国的神舟十二号载人飞船搭载着聂海胜、刘伯明、汤洪波三名宇航员成功飞天，开启历时三个月的太空任务，载人飞船每天绕地球飞行了约15.4圈，历时三个月，共飞行约58935325km，则这个飞行距离用科学记数法表示为（ ）
A．58.9×106km B．0.589×108km
C．5.89×107km D．5.89×108km
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将58935325km用科学记数法表示为5.89×107km．
故选：C．
2．（3分）如图，将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校定是直的，那么乙尺不是直的，判断依据是（ ）
A．两点之间直线最短
B．经过一点有且只有一条直线
C．经过两点有且只有一条直线
D．线段可以向两个方向延长
【分析】直接利用直线的性质，两点确定一条直线，由此即可得出结论．
【解答】解：∵甲尺是直的，两尺拼在一起两端重合，
∴甲尺经校订是直的，那么乙尺就一定不是直的，
判断依据是：经过两点有且只有一条直线．
故选：C．
3．（3分）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么下列式子成立的是（ ）
A．a+b＞0 B．ab＜0 C．a＞b D．ab＞0
【分析】由图知a＜0＜b，|a|＞|b|，得﹣a＞b，再根据数轴上的点表示的数、有理数的乘法法则、有理数的加法法则解决此题．
【解答】解：由图得：a＜0＜b，|a|＞|b|．
∴﹣a＞b．
A．由﹣a＞b，得a+b＜0，那么A不正确，故A不符合题意．
B．由a＜0＜b，得ab＜0，那么B正确，故B符合题意．
C．由图得：a＜0＜b，那么C不正确，故C不符合题意．
D．由a＜0＜b，得ab＜0，那么D不正确，故D不符合题意．
故选：B．
4．（3分）已知一个多项式与3x2+4x﹣1的和等于3x2+9x，则这个多项式为（ ）
A．5x+1 B．5x﹣1 C．﹣5x+1 D．﹣5x﹣1
【分析】直接根据题意，去括号合并同类项得出答案．
【解答】解：由题意可得：3x2+9x﹣（3x2+4x﹣1）
＝3x2+9x﹣3x2﹣4x+1
＝5x+1．
故选：A．
5．（3分）把方程﹣1＝的分母化为整数可得方程（ ）
A．﹣10＝ B．﹣1＝
C．﹣10＝ D．﹣1＝
【分析】方程各项利用分数的基本性质化简得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程整理得：﹣1＝．
故选：B．
6．（3分）数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角．如图，用尺规过∠AOB的边OB上一点C（图①）作∠DCB＝∠AOB（图②）．我们可以通过以下步骤作图：
①作射线CD；
②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OAOB于点N，M；
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．
下列排序正确的是（ ）
A．①②③④ B．④③①② C．③②④① D．②④③①
【分析】根据作一个角等于已知角的尺规作图可得．
【解答】解：正确的排序是：②以O为圆心，以任意定长为半径作弧，分别交OA、OB于N、M；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
①作射线CD；
故选：D．
7．（3分）如图，CB＝4cm，DB＝7cm，点D为AC的中点，则AB的长为（ ）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
【分析】由图形可知，AB等于各线段的和，即分别求出AD，DC．然后相加即可得出AB的长度．
【解答】解：由题意知，CB＝4cm，DB＝7cm，
所以DC＝3cm，
又点D为AC的中点，
所以AD＝DC＝3cm，
故AB＝AD+DB＝10cm．
故选：D．
8．（3分）《算学启蒙》中有一道题，原文是：良马日行二百四十里，驽马日行一百二十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？译文为：跑的快的马每天走240里，跑的慢的马每天走120里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，可列方程（ ）
A．240（x+12）＝120x B．240（x﹣12）＝120x
C．240x＝120（x+12） D．240x＝120（x﹣12）
【分析】设快马x天可以追上慢马，则慢马跑了（x+12）天，根据路程＝速度×时间结合两匹马跑过的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设快马x天可以追上慢马，则慢马跑了（x+12）天，
依题意，得：240x＝120（x+12）．
故选：C．
9．（3分）如图：O为直线AB上的一点，OC为一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，图中互余的角共有（ ）
A．1对 B．2对 C．4对 D．6对
【分析】根据角平分线的定义，互为余角的意义和平角的意义进行计算即可．
【解答】解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠AOD＝∠COD＝∠AOC，
∠BOE＝∠COE＝∠BOC，
又∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOD+∠COE＝90°，
∠AOD+∠BOE＝90°，
∠COD+∠COE＝90°，
∠COD+∠BOE＝90°，
综上所述，互余的角共有4对，
故选：C．
10．（3分）如图，长方形ABCD沿直线EF、EG折叠后，点A和点D分别落在直线l上的点A′和点D′处，若∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．60° C．50° D．55°
【分析】根据折叠的性质和平角的定义，先求出∠1+∠4的度数，再确定∠2的度数．
【解答】解：由折叠的性质知：∠1＝∠3＝∠AED′，∠2＝∠4＝∠DED′，
∵∠AED′+∠DED′＝180°，
∴∠1+∠4＝90°．
即∠1+∠2＝90°．
当∠1＝30°时，
∠2＝60°．
故选：B．
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）对有理数a，b定义运算▽如下：a▽b＝，则（5▽4）▽2的值为 ．
【分析】根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可．
【解答】解：（5▽4）▽2
＝▽2
＝（﹣5）▽2
＝
＝．
故答案为：．
12．（3分）如图所示，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，写出一对相等的角 ∠AOD＝∠BOC （直角除外）．
【分析】根据“同角的余角相等”得出结论．
【解答】解：∵∠AOD+∠DOB＝90°＝∠COB+∠BOD，
∴∠AOD＝∠BOC，
故答案为：∠AOD＝∠BOC．
13．（3分）当k＝ 时，多项式x2+（3k﹣2）xy﹣3y2﹣9xy+1不含xy项．
【分析】先将多项式合并同类项，不含xy项即系数为0，列出方程求得k的值．
【解答】解：x2+（3k﹣2）xy﹣3y2﹣9xy+1
＝x2+（3k﹣2﹣9）xy﹣3y2+1
∵不含xy的项，
∴3k﹣2﹣9＝0，
解得k＝，
故答案为：．
14．（3分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为 6x+14＝8x ．
【分析】设有牧童x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，结合竹竿的数量不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设有牧童x人，
依题意得：6x+14＝8x．
故答案为：6x+14＝8x．
15．（3分）把一副三角尺按如图所示拼在一起，其中B，C，D三点在同一直线上，CM平分∠ACB，CN平分∠DCE，则∠MCN 127.5° ．
【分析】由角平分线的定义可知∠MCB＝＝22.5°，∠DCN＝DCE＝30°，由平角的定义可知∠MCN＝180°﹣∠MCB﹣∠DCN，可得结果．
【解答】解：∵CM平分∠ACB，CN平分∠DCE，∠ACB＝45°，∠DCE＝60°，
∴∠MCB＝＝22.5°，∠DCN＝DCE＝30°，
∴∠MCN＝180°﹣∠MCB﹣∠DCN＝180°﹣22.5°﹣30°＝127.5°．
故答案为：127.5°
三．解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）计算：
（1）（﹣+）×（﹣12）；
（2）﹣12×（﹣5）+（﹣2）3÷4．
【分析】（1）利用有理数的乘法的分配律对式子进行求解即可；
（2）先算乘方，再算乘法与除法，最后算加减即可．
【解答】解：（1）﹣+×（﹣12）
＝×（﹣12）﹣×（﹣12）+×（﹣12）
＝﹣4+6﹣2
＝0；
（2）﹣12×（﹣5）+（﹣2）3÷4
＝﹣1×（﹣5）+（﹣8）÷4
＝5﹣2
＝3．
17．（8分）解方程：
（1）2（3x+4）﹣5x＝3；
（2）﹣＝1．
【分析】（1）根据解一元一次方程的一般步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程；
（2）根据解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程；
【解答】解：（1）2（3x+4）﹣5x＝3，
去括号，得6x+8﹣5x＝3，
移项，得6x﹣5x＝3﹣8，
合并同类项，得x＝﹣5；
（2）﹣＝1
方程两边都乘6，得
2×（2x+1）﹣（10x+1）＝6，
去括号，得4x+2﹣10x﹣1＝6，
移项，得4x﹣10x＝6+1﹣2，
合并同类项，得﹣6x＝5，
把系数化为1，得x＝﹣．
18．（8分）已知关于a，b的单项式am+nb2与单项式﹣a6bm+1是同类项．
（1）求m，n的值；
（2）求整式3（m2﹣2mn+n2）﹣[4m2﹣2（m2+mn﹣n2）]的值．
【分析】（1）根据同类项的定义即可求出m与n的值．
（2）根据整式的加减运算法则进行化简，然后将m与n的值代入化简后的式子即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：单项式am+nb2与单项式﹣a6bm+1是同类项，
∴m+n＝6，m+1＝2，
∴m＝1，n＝5．
（2）原式＝3m2﹣6mn+3n2﹣（4m2﹣m2﹣2mn+3n2）
＝3m2﹣6mn+3n2﹣（3m2﹣2mn+3n2）
＝3m2﹣6mn+3n2﹣3m2+2mn﹣3n2
＝﹣4mn，
当m＝1，n＝5时，
原式＝﹣4×1×5＝﹣20．
19．（8分）下面是晓彬同学进行整式的加减的过程，请认真阅读并完成相应任务．
（2a2b﹣5ab）﹣2（ab﹣a2b）
＝2a2b﹣5ab﹣2ab﹣2a2b…第一步
＝2a2b﹣2a2b﹣5ab﹣2ab…第二步
＝﹣7ab…第三步
（1）任务一：①以上步骤第一步是进行 去括号 ，依据是 去括号法则 ；
②以上步骤第 一 步开始出现错误，错误的原因是 去括号时符号错误 ；
③请你进行正确化简．并求当a＝2，b＝﹣3时，式子的值．
（2）任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就整式的加减还需要注意的事项给其他同学提出一条建议．
【分析】（1）认真看晓彬同学的解题过程，根据合并同类项的一般步骤和他的计算过程，回答题目问题；
（2）可根据去括号法则的注意事项给出建议．
【解答】解：（1）①第一步是去括号，利用了去括号法则；
故答案为：去括号，去括号法则；
②计算中第一步出现了错误，出现问题的原因是去括号时符号错误；
故答案为：一，去括号时符号错误；
③（2a2b﹣5ab）﹣2（ab﹣a2b）
＝2a2b﹣5ab﹣2ab+2a2b
＝2a2b+2a2b﹣5ab﹣2ab
＝4a2b﹣7ab．
当a＝2，b＝﹣3时，原式＝4×4×（﹣3）﹣7×2×（﹣3）＝﹣6．
（2）建议：去括号时，若括号前面是负号，去掉括号后括号里的项都变号，勿漏；
若括号前面有数字，利用乘法对加法的分配律时，注意分配到每一项；（答案不唯一）．
20．（10分）如图，已知B、C在线段AD上．
（1）图中共有 6 条线段；
（2）若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC ＝ BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；
②若AD＝20，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度．
【分析】（1）依据B、C在线段AD上，即可得到图中共有线段AB，AC，AD，BC，BD，CD．
（2）①依据AB＝CD，即可得到AB+BC＝CD+BC，进而得出AC＝BD．
②依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到MN的长度．
【解答】解：（1）∵B、C在线段AD上，
∴图中共有线段AB，AC，AD，BC，BD，CD．共6条．
故答案为：6；
（2）①若AB＝CD，则AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD．
故答案为：＝；
②∵AD＝20，BC＝12，
∴AB+CD＝AD﹣BC＝8，
∵M是AB的中点，N是CD的中点，
∴，，
∴，
∴MN＝BM+CN+BC＝4+12＝16．
21．（10分）如图1，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点A落在点A'处，BC为折痕．
（1）如图1，若∠1＝25°，求∠A'BD的度数；
（2）如果又将活页的另一角斜折过去，使BD边与BA'重合，折痕为BE，如图2所示，求∠CBE的度数．
【分析】（1）根据折叠性质得到∠1＝∠ABC＝25°．然后利用邻补角的定义计算∠A'BD的度数；
（2）根据折叠的性质得∠2＝∠DBE＝∠A'BD＝60°，然后计算∠1+∠2得到∠CBE的度数．
【解答】解：（1）∵角的顶点A落在点A'处，BC为折痕，
∴∠1＝∠ABC＝25°．
∴∠A'BD＝180°﹣25°﹣25°＝130°；
（2）由折叠性质得∠1＝∠ABC＝∠ABA′，
∠2＝∠DBE＝∠A'BD，
∴∠1+∠2＝∠ABA′+∠A'BD
＝（∠ABA'+∠A'BD）＝×180°＝90°．
即∠CBE＝90°．
22．（10分）综合与实践
问题情境：
太原环城旅游公路暨公路自行车赛道环西山而建，全长136千米，将百余处景点串连成一条线，同时，也是山西首条自行车专用赛道．周日，某自行车骑行团在该赛道组织骑行活动，甲、乙、丙三人参加了这次活动．甲从赛道一端（记为A）出发向另一端（记为B）骑行，甲出发40分钟时乙从赛道B端出发，二人相向而行．已知甲的平均速度为50千米/时，乙的平均速度为30千米/时．设甲骑行的时间为x小时，请解决下列问题．
建立模型：
（1）在甲从赛道A端到B端骑行过程中，用含x的代数式表示：甲离开A端的赛程为 50x 千米，乙离开B端的赛程为 30（x﹣） 千米；
问题解决：
（2）当甲、乙二人相遇时，x的值为 1.95 ；
（3）乙出发20分钟时，丙从B端出发向A端骑行，平均速度也为30千米/时．
若甲到达B端后停止骑行，丙到A端后也停止骑行，当甲与丙之间相距的赛程恰好为6千米时，求x的值．
【分析】（1）根据路程＝时间×速度可得答案；
（2）根据甲的路程+乙的路程＝总路程，列出方程可得x的值；
（3）分相遇前和相遇后分别列出方程即可．
【解答】解：（1）∵甲骑行的时间是x小时，速度是50千米/时，
∴甲离开A端的赛程为50x千米，
∵甲骑行的时间是（x﹣）小时，速度是30千米/时，
∴乙离开B端的赛程为30（x﹣）千米，
故答案为：50x，30（x﹣）；
（2）由题意得，50x+30（x﹣）＝136，
解得x＝1.95，
答：当甲、乙相遇时，x的值是1.95；
故答案为：1.95；
（3）丙离开B端的路程为30（x﹣1）千米，
相遇前，50x+30（x﹣1）＝136﹣6，
解得x＝2，
相遇后，50x+30（x﹣1）＝136+6，
解得x＝2.15，
综上，当甲与丙之间相距的赛程恰好为6千米时，x的值是2或2.15．
23．（13分）阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图1，∠AOB＝80°，OC平分∠AOB，若∠BOD＝20°，请你补全图形，并求∠COD的度数．
以下是小明的解答过程：
解：如图2，因为OC平分∠AOB，∠AOB＝80°，
所以∠BOC＝ ∠AOB＝ 40 °．
因为∠BOD＝20°，
所以∠COD＝ ∠BOC+∠BOD ＝ 60 °．
小静说：“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是OD在∠AOB外部的情况，事实上，OD还可能在∠AOB的内部”．
完成以下问题：
（1）请你将小明的解答过程补充完整；
（2）根据小静的想法，请你在图3中画出另一种情况对应的图形，并求出此时∠COD的度数．
【分析】（1）根据角的平分线定义即可进行填空；
（2）结合（1）即可画出另一种情况对应的图形，进而求出此时∠COD的度数．
【解答】解：（1）因为OC平分∠AOB，∠AOB＝80°，
所以∠BOC＝∠AOB＝40°．
因为∠BOD＝20°，
所以∠COD＝∠BOC+∠BOD＝60°．
故答案为：，40，∠BOC+∠BOD，60；
（2）如图3，
因为OC平分∠AOB，∠AOB＝80°，
所以∠BOC＝∠AOB＝40°，
因为∠BOD＝20°，
所以∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝40°﹣20°＝20°．
2021-2022学年山西省吕梁市交城县七年级（上）期末数学试卷
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）今年6月17日，我国的神舟十二号载人飞船搭载着聂海胜、刘伯明、汤洪波三名宇航员成功飞天，开启历时三个月的太空任务，载人飞船每天绕地球飞行了约15.4圈，历时三个月，共飞行约58935325km，则这个飞行距离用科学记数法表示为（ ）
A．58.9×106km B．0.589×108km
C．5.89×107km D．5.89×108km
2．（3分）如图，将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校定是直的，那么乙尺不是直的，判断依据是（ ）
A．两点之间直线最短
B．经过一点有且只有一条直线
C．经过两点有且只有一条直线
D．线段可以向两个方向延长
3．（3分）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么下列式子成立的是（ ）
A．a+b＞0 B．ab＜0 C．a＞b D．ab＞0
4．（3分）已知一个多项式与3x2+4x﹣1的和等于3x2+9x，则这个多项式为（ ）
A．5x+1 B．5x﹣1 C．﹣5x+1 D．﹣5x﹣1
5．（3分）把方程﹣1＝的分母化为整数可得方程（ ）
A．﹣10＝ B．﹣1＝
C．﹣10＝ D．﹣1＝
6．（3分）数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角．如图，用尺规过∠AOB的边OB上一点C（图①）作∠DCB＝∠AOB（图②）．我们可以通过以下步骤作图：
①作射线CD；
②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OAOB于点N，M；
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．
下列排序正确的是（ ）
A．①②③④ B．④③①② C．③②④① D．②④③①
7．（3分）如图，CB＝4cm，DB＝7cm，点D为AC的中点，则AB的长为（ ）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
8．（3分）《算学启蒙》中有一道题，原文是：良马日行二百四十里，驽马日行一百二十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？译文为：跑的快的马每天走240里，跑的慢的马每天走120里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，可列方程（ ）
A．240（x+12）＝120x B．240（x﹣12）＝120x
C．240x＝120（x+12） D．240x＝120（x﹣12）
9．（3分）如图：O为直线AB上的一点，OC为一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，图中互余的角共有（ ）
A．1对 B．2对 C．4对 D．6对
10．（3分）如图，长方形ABCD沿直线EF、EG折叠后，点A和点D分别落在直线l上的点A′和点D′处，若∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．60° C．50° D．55°
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）对有理数a，b定义运算▽如下：a▽b＝，则（5▽4）▽2的值为 ．
12．（3分）如图所示，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，写出一对相等的角 （直角除外）．
13．（3分）当k＝ 时，多项式x2+（3k﹣2）xy﹣3y2﹣9xy+1不含xy项．
14．（3分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为 ．
15．（3分）把一副三角尺按如图所示拼在一起，其中B，C，D三点在同一直线上，CM平分∠ACB，CN平分∠DCE，则∠MCN ．
三．解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）计算：
（1）（﹣+）×（﹣12）；
（2）﹣12×（﹣5）+（﹣2）3÷4．
17．（8分）解方程：
（1）2（3x+4）﹣5x＝3；
（2）﹣＝1．
18．（8分）已知关于a，b的单项式am+nb2与单项式﹣a6bm+1是同类项．
（1）求m，n的值；
（2）求整式3（m2﹣2mn+n2）﹣[4m2﹣2（m2+mn﹣n2）]的值．
19．（8分）下面是晓彬同学进行整式的加减的过程，请认真阅读并完成相应任务．
（2a2b﹣5ab）﹣2（ab﹣a2b）
＝2a2b﹣5ab﹣2ab﹣2a2b…第一步
＝2a2b﹣2a2b﹣5ab﹣2ab…第二步
＝﹣7ab…第三步
（1）任务一：①以上步骤第一步是进行 ，依据是 ；
②以上步骤第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
③请你进行正确化简．并求当a＝2，b＝﹣3时，式子的值．
（2）任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就整式的加减还需要注意的事项给其他同学提出一条建议．
20．（10分）如图，已知B、C在线段AD上．
（1）图中共有 条线段；
（2）若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；
②若AD＝20，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度．
21．（10分）如图1，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点A落在点A'处，BC为折痕．
（1）如图1，若∠1＝25°，求∠A'BD的度数；
（2）如果又将活页的另一角斜折过去，使BD边与BA'重合，折痕为BE，如图2所示，求∠CBE的度数．
22．（10分）综合与实践
问题情境：
太原环城旅游公路暨公路自行车赛道环西山而建，全长136千米，将百余处景点串连成一条线，同时，也是山西首条自行车专用赛道．周日，某自行车骑行团在该赛道组织骑行活动，甲、乙、丙三人参加了这次活动．甲从赛道一端（记为A）出发向另一端（记为B）骑行，甲出发40分钟时乙从赛道B端出发，二人相向而行．已知甲的平均速度为50千米/时，乙的平均速度为30千米/时．设甲骑行的时间为x小时，请解决下列问题．
建立模型：
（1）在甲从赛道A端到B端骑行过程中，用含x的代数式表示：甲离开A端的赛程为 千米，乙离开B端的赛程为 千米；
问题解决：
（2）当甲、乙二人相遇时，x的值为 ；
（3）乙出发20分钟时，丙从B端出发向A端骑行，平均速度也为30千米/时．
若甲到达B端后停止骑行，丙到A端后也停止骑行，当甲与丙之间相距的赛程恰好为6千米时，求x的值．
23．（13分）阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图1，∠AOB＝80°，OC平分∠AOB，若∠BOD＝20°，请你补全图形，并求∠COD的度数．
以下是小明的解答过程：
解：如图2，因为OC平分∠AOB，∠AOB＝80°，
所以∠BOC＝ ∠AOB＝ °．
因为∠BOD＝20°，
所以∠COD＝ ＝ °．
小静说：“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是OD在∠AOB外部的情况，事实上，OD还可能在∠AOB的内部”．
完成以下问题：
（1）请你将小明的解答过程补充完整；
（2）根据小静的想法，请你在图3中画出另一种情况对应的图形，并求出此时∠COD的度数．
2021-2022学年山西省吕梁市交城县七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）今年6月17日，我国的神舟十二号载人飞船搭载着聂海胜、刘伯明、汤洪波三名宇航员成功飞天，开启历时三个月的太空任务，载人飞船每天绕地球飞行了约15.4圈，历时三个月，共飞行约58935325km，则这个飞行距离用科学记数法表示为（ ）
A．58.9×106km B．0.589×108km
C．5.89×107km D．5.89×108km
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将58935325km用科学记数法表示为5.89×107km．
故选：C．
2．（3分）如图，将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校定是直的，那么乙尺不是直的，判断依据是（ ）
A．两点之间直线最短
B．经过一点有且只有一条直线
C．经过两点有且只有一条直线
D．线段可以向两个方向延长
【分析】直接利用直线的性质，两点确定一条直线，由此即可得出结论．
【解答】解：∵甲尺是直的，两尺拼在一起两端重合，
∴甲尺经校订是直的，那么乙尺就一定不是直的，
判断依据是：经过两点有且只有一条直线．
故选：C．
3．（3分）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么下列式子成立的是（ ）
A．a+b＞0 B．ab＜0 C．a＞b D．ab＞0
【分析】由图知a＜0＜b，|a|＞|b|，得﹣a＞b，再根据数轴上的点表示的数、有理数的乘法法则、有理数的加法法则解决此题．
【解答】解：由图得：a＜0＜b，|a|＞|b|．
∴﹣a＞b．
A．由﹣a＞b，得a+b＜0，那么A不正确，故A不符合题意．
B．由a＜0＜b，得ab＜0，那么B正确，故B符合题意．
C．由图得：a＜0＜b，那么C不正确，故C不符合题意．
D．由a＜0＜b，得ab＜0，那么D不正确，故D不符合题意．
故选：B．
4．（3分）已知一个多项式与3x2+4x﹣1的和等于3x2+9x，则这个多项式为（ ）
A．5x+1 B．5x﹣1 C．﹣5x+1 D．﹣5x﹣1
【分析】直接根据题意，去括号合并同类项得出答案．
【解答】解：由题意可得：3x2+9x﹣（3x2+4x﹣1）
＝3x2+9x﹣3x2﹣4x+1
＝5x+1．
故选：A．
5．（3分）把方程﹣1＝的分母化为整数可得方程（ ）
A．﹣10＝ B．﹣1＝
C．﹣10＝ D．﹣1＝
【分析】方程各项利用分数的基本性质化简得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程整理得：﹣1＝．
故选：B．
6．（3分）数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角．如图，用尺规过∠AOB的边OB上一点C（图①）作∠DCB＝∠AOB（图②）．我们可以通过以下步骤作图：
①作射线CD；
②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OAOB于点N，M；
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．
下列排序正确的是（ ）
A．①②③④ B．④③①② C．③②④① D．②④③①
【分析】根据作一个角等于已知角的尺规作图可得．
【解答】解：正确的排序是：②以O为圆心，以任意定长为半径作弧，分别交OA、OB于N、M；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
①作射线CD；
故选：D．
7．（3分）如图，CB＝4cm，DB＝7cm，点D为AC的中点，则AB的长为（ ）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
【分析】由图形可知，AB等于各线段的和，即分别求出AD，DC．然后相加即可得出AB的长度．
【解答】解：由题意知，CB＝4cm，DB＝7cm，
所以DC＝3cm，
又点D为AC的中点，
所以AD＝DC＝3cm，
故AB＝AD+DB＝10cm．
故选：D．
8．（3分）《算学启蒙》中有一道题，原文是：良马日行二百四十里，驽马日行一百二十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？译文为：跑的快的马每天走240里，跑的慢的马每天走120里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，可列方程（ ）
A．240（x+12）＝120x B．240（x﹣12）＝120x
C．240x＝120（x+12） D．240x＝120（x﹣12）
【分析】设快马x天可以追上慢马，则慢马跑了（x+12）天，根据路程＝速度×时间结合两匹马跑过的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设快马x天可以追上慢马，则慢马跑了（x+12）天，
依题意，得：240x＝120（x+12）．
故选：C．
9．（3分）如图：O为直线AB上的一点，OC为一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，图中互余的角共有（ ）
A．1对 B．2对 C．4对 D．6对
【分析】根据角平分线的定义，互为余角的意义和平角的意义进行计算即可．
【解答】解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠AOD＝∠COD＝∠AOC，
∠BOE＝∠COE＝∠BOC，
又∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOD+∠COE＝90°，
∠AOD+∠BOE＝90°，
∠COD+∠COE＝90°，
∠COD+∠BOE＝90°，
综上所述，互余的角共有4对，
故选：C．
10．（3分）如图，长方形ABCD沿直线EF、EG折叠后，点A和点D分别落在直线l上的点A′和点D′处，若∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．60° C．50° D．55°
【分析】根据折叠的性质和平角的定义，先求出∠1+∠4的度数，再确定∠2的度数．
【解答】解：由折叠的性质知：∠1＝∠3＝∠AED′，∠2＝∠4＝∠DED′，
∵∠AED′+∠DED′＝180°，
∴∠1+∠4＝90°．
即∠1+∠2＝90°．
当∠1＝30°时，
∠2＝60°．
故选：B．
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）对有理数a，b定义运算▽如下：a▽b＝，则（5▽4）▽2的值为 ．
【分析】根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可．
【解答】解：（5▽4）▽2
＝▽2
＝（﹣5）▽2
＝
＝．
故答案为：．
12．（3分）如图所示，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，写出一对相等的角 ∠AOD＝∠BOC （直角除外）．
【分析】根据“同角的余角相等”得出结论．
【解答】解：∵∠AOD+∠DOB＝90°＝∠COB+∠BOD，
∴∠AOD＝∠BOC，
故答案为：∠AOD＝∠BOC．
13．（3分）当k＝ 时，多项式x2+（3k﹣2）xy﹣3y2﹣9xy+1不含xy项．
【分析】先将多项式合并同类项，不含xy项即系数为0，列出方程求得k的值．
【解答】解：x2+（3k﹣2）xy﹣3y2﹣9xy+1
＝x2+（3k﹣2﹣9）xy﹣3y2+1
∵不含xy的项，
∴3k﹣2﹣9＝0，
解得k＝，
故答案为：．
14．（3分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为 6x+14＝8x ．
【分析】设有牧童x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，结合竹竿的数量不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设有牧童x人，
依题意得：6x+14＝8x．
故答案为：6x+14＝8x．
15．（3分）把一副三角尺按如图所示拼在一起，其中B，C，D三点在同一直线上，CM平分∠ACB，CN平分∠DCE，则∠MCN 127.5° ．
【分析】由角平分线的定义可知∠MCB＝＝22.5°，∠DCN＝DCE＝30°，由平角的定义可知∠MCN＝180°﹣∠MCB﹣∠DCN，可得结果．
【解答】解：∵CM平分∠ACB，CN平分∠DCE，∠ACB＝45°，∠DCE＝60°，
∴∠MCB＝＝22.5°，∠DCN＝DCE＝30°，
∴∠MCN＝180°﹣∠MCB﹣∠DCN＝180°﹣22.5°﹣30°＝127.5°．
故答案为：127.5°
三．解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）计算：
（1）（﹣+）×（﹣12）；
（2）﹣12×（﹣5）+（﹣2）3÷4．
【分析】（1）利用有理数的乘法的分配律对式子进行求解即可；
（2）先算乘方，再算乘法与除法，最后算加减即可．
【解答】解：（1）﹣+×（﹣12）
＝×（﹣12）﹣×（﹣12）+×（﹣12）
＝﹣4+6﹣2
＝0；
（2）﹣12×（﹣5）+（﹣2）3÷4
＝﹣1×（﹣5）+（﹣8）÷4
＝5﹣2
＝3．
17．（8分）解方程：
（1）2（3x+4）﹣5x＝3；
（2）﹣＝1．
【分析】（1）根据解一元一次方程的一般步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程；
（2）根据解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程；
【解答】解：（1）2（3x+4）﹣5x＝3，
去括号，得6x+8﹣5x＝3，
移项，得6x﹣5x＝3﹣8，
合并同类项，得x＝﹣5；
（2）﹣＝1
方程两边都乘6，得
2×（2x+1）﹣（10x+1）＝6，
去括号，得4x+2﹣10x﹣1＝6，
移项，得4x﹣10x＝6+1﹣2，
合并同类项，得﹣6x＝5，
把系数化为1，得x＝﹣．
18．（8分）已知关于a，b的单项式am+nb2与单项式﹣a6bm+1是同类项．
（1）求m，n的值；
（2）求整式3（m2﹣2mn+n2）﹣[4m2﹣2（m2+mn﹣n2）]的值．
【分析】（1）根据同类项的定义即可求出m与n的值．
（2）根据整式的加减运算法则进行化简，然后将m与n的值代入化简后的式子即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：单项式am+nb2与单项式﹣a6bm+1是同类项，
∴m+n＝6，m+1＝2，
∴m＝1，n＝5．
（2）原式＝3m2﹣6mn+3n2﹣（4m2﹣m2﹣2mn+3n2）
＝3m2﹣6mn+3n2﹣（3m2﹣2mn+3n2）
＝3m2﹣6mn+3n2﹣3m2+2mn﹣3n2
＝﹣4mn，
当m＝1，n＝5时，
原式＝﹣4×1×5＝﹣20．
19．（8分）下面是晓彬同学进行整式的加减的过程，请认真阅读并完成相应任务．
（2a2b﹣5ab）﹣2（ab﹣a2b）
＝2a2b﹣5ab﹣2ab﹣2a2b…第一步
＝2a2b﹣2a2b﹣5ab﹣2ab…第二步
＝﹣7ab…第三步
（1）任务一：①以上步骤第一步是进行 去括号 ，依据是 去括号法则 ；
②以上步骤第 一 步开始出现错误，错误的原因是 去括号时符号错误 ；
③请你进行正确化简．并求当a＝2，b＝﹣3时，式子的值．
（2）任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就整式的加减还需要注意的事项给其他同学提出一条建议．
【分析】（1）认真看晓彬同学的解题过程，根据合并同类项的一般步骤和他的计算过程，回答题目问题；
（2）可根据去括号法则的注意事项给出建议．
【解答】解：（1）①第一步是去括号，利用了去括号法则；
故答案为：去括号，去括号法则；
②计算中第一步出现了错误，出现问题的原因是去括号时符号错误；
故答案为：一，去括号时符号错误；
③（2a2b﹣5ab）﹣2（ab﹣a2b）
＝2a2b﹣5ab﹣2ab+2a2b
＝2a2b+2a2b﹣5ab﹣2ab
＝4a2b﹣7ab．
当a＝2，b＝﹣3时，原式＝4×4×（﹣3）﹣7×2×（﹣3）＝﹣6．
（2）建议：去括号时，若括号前面是负号，去掉括号后括号里的项都变号，勿漏；
若括号前面有数字，利用乘法对加法的分配律时，注意分配到每一项；（答案不唯一）．
20．（10分）如图，已知B、C在线段AD上．
（1）图中共有 6 条线段；
（2）若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC ＝ BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；
②若AD＝20，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度．
【分析】（1）依据B、C在线段AD上，即可得到图中共有线段AB，AC，AD，BC，BD，CD．
（2）①依据AB＝CD，即可得到AB+BC＝CD+BC，进而得出AC＝BD．
②依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到MN的长度．
【解答】解：（1）∵B、C在线段AD上，
∴图中共有线段AB，AC，AD，BC，BD，CD．共6条．
故答案为：6；
（2）①若AB＝CD，则AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD．
故答案为：＝；
②∵AD＝20，BC＝12，
∴AB+CD＝AD﹣BC＝8，
∵M是AB的中点，N是CD的中点，
∴，，
∴，
∴MN＝BM+CN+BC＝4+12＝16．
21．（10分）如图1，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点A落在点A'处，BC为折痕．
（1）如图1，若∠1＝25°，求∠A'BD的度数；
（2）如果又将活页的另一角斜折过去，使BD边与BA'重合，折痕为BE，如图2所示，求∠CBE的度数．
【分析】（1）根据折叠性质得到∠1＝∠ABC＝25°．然后利用邻补角的定义计算∠A'BD的度数；
（2）根据折叠的性质得∠2＝∠DBE＝∠A'BD＝60°，然后计算∠1+∠2得到∠CBE的度数．
【解答】解：（1）∵角的顶点A落在点A'处，BC为折痕，
∴∠1＝∠ABC＝25°．
∴∠A'BD＝180°﹣25°﹣25°＝130°；
（2）由折叠性质得∠1＝∠ABC＝∠ABA′，
∠2＝∠DBE＝∠A'BD，
∴∠1+∠2＝∠ABA′+∠A'BD
＝（∠ABA'+∠A'BD）＝×180°＝90°．
即∠CBE＝90°．
22．（10分）综合与实践
问题情境：
太原环城旅游公路暨公路自行车赛道环西山而建，全长136千米，将百余处景点串连成一条线，同时，也是山西首条自行车专用赛道．周日，某自行车骑行团在该赛道组织骑行活动，甲、乙、丙三人参加了这次活动．甲从赛道一端（记为A）出发向另一端（记为B）骑行，甲出发40分钟时乙从赛道B端出发，二人相向而行．已知甲的平均速度为50千米/时，乙的平均速度为30千米/时．设甲骑行的时间为x小时，请解决下列问题．
建立模型：
（1）在甲从赛道A端到B端骑行过程中，用含x的代数式表示：甲离开A端的赛程为 50x 千米，乙离开B端的赛程为 30（x﹣） 千米；
问题解决：
（2）当甲、乙二人相遇时，x的值为 1.95 ；
（3）乙出发20分钟时，丙从B端出发向A端骑行，平均速度也为30千米/时．
若甲到达B端后停止骑行，丙到A端后也停止骑行，当甲与丙之间相距的赛程恰好为6千米时，求x的值．
【分析】（1）根据路程＝时间×速度可得答案；
（2）根据甲的路程+乙的路程＝总路程，列出方程可得x的值；
（3）分相遇前和相遇后分别列出方程即可．
【解答】解：（1）∵甲骑行的时间是x小时，速度是50千米/时，
∴甲离开A端的赛程为50x千米，
∵甲骑行的时间是（x﹣）小时，速度是30千米/时，
∴乙离开B端的赛程为30（x﹣）千米，
故答案为：50x，30（x﹣）；
（2）由题意得，50x+30（x﹣）＝136，
解得x＝1.95，
答：当甲、乙相遇时，x的值是1.95；
故答案为：1.95；
（3）丙离开B端的路程为30（x﹣1）千米，
相遇前，50x+30（x﹣1）＝136﹣6，
解得x＝2，
相遇后，50x+30（x﹣1）＝136+6，
解得x＝2.15，
综上，当甲与丙之间相距的赛程恰好为6千米时，x的值是2或2.15．
23．（13分）阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图1，∠AOB＝80°，OC平分∠AOB，若∠BOD＝20°，请你补全图形，并求∠COD的度数．
以下是小明的解答过程：
解：如图2，因为OC平分∠AOB，∠AOB＝80°，
所以∠BOC＝ ∠AOB＝ 40 °．
因为∠BOD＝20°，
所以∠COD＝ ∠BOC+∠BOD ＝ 60 °．
小静说：“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是OD在∠AOB外部的情况，事实上，OD还可能在∠AOB的内部”．
完成以下问题：
（1）请你将小明的解答过程补充完整；
（2）根据小静的想法，请你在图3中画出另一种情况对应的图形，并求出此时∠COD的度数．
【分析】（1）根据角的平分线定义即可进行填空；
（2）结合（1）即可画出另一种情况对应的图形，进而求出此时∠COD的度数．
【解答】解：（1）因为OC平分∠AOB，∠AOB＝80°，
所以∠BOC＝∠AOB＝40°．
因为∠BOD＝20°，
所以∠COD＝∠BOC+∠BOD＝60°．
故答案为：，40，∠BOC+∠BOD，60；
（2）如图3，
因为OC平分∠AOB，∠AOB＝80°，
所以∠BOC＝∠AOB＝40°，
因为∠BOD＝20°，
所以∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝40°﹣20°＝20°．
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