高中数学北师大版 (2019)必修 第二册3.2 复数乘除运算的几何意义教学ppt课件

复数乘除运算的几何意义

【教学目标】

了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.

【教学重难点】

复数三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义.

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？

2．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？

二、基础知识

复数三角形式的乘、除运算：

若复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，则

（1）z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)

＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．

（2）＝

＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．

即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．

两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．

三、合作探究

1．复数三角形式的乘、除运算

【例1】计算：

（1）8×4；

（2）(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]；

（3）4÷.

【解】（1）8×4

＝32

＝32

＝32

＝32

＝16＋16i.

（2）(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]

＝[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)]

＝(cos 75°＋isin 75°)

＝

＝＋i

＝＋i.

（3）4÷

＝4(cos 0＋isin 0)÷

＝4

＝2－2i.

【规律方法】

（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．

（2）除法法则：模相除，辐角相减．

（3）复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角的n倍．  

2．复数三角形式乘、除运算的几何意义

【例2】在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数．

【解】因为3－i＝2

＝2

所以2×

＝2

＝2

＝2

＝3＋i，

2×

＝2

＝2

＝－2i.

故把复数3－i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋i，按顺时针旋转得到的复数为－2i.

【规律方法】

两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2．

四、课堂检测

1．计算：

（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)；

（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷.

解：（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)

＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°)

＝cos 90°＋isin 90°

＝i.

（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷

＝2÷

＝

＝

＝－＋i.