2021-2022学年陕西省黄陵中学高一上学期期末考试数学试卷含解析

黄陵中学2021-2022学年度第一学期高一年级期末考试

数学试题

本试卷共4页，22题。全卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单选题(12*5=60分）

1．若集合，且,则的值为

A．1 B．-1 C．1或-1 D．1或-1或0

2．2020年3月疫情期间，某市质检部门为了检查某批(1 000个)口罩的质量，决定抽查其中的2%．在这个问题中下列说法正确的是（    ）

A．总体是指这1 000个口罩        B．个体是每个口罩

C．样本是按2%的比例抽取的20个口罩        D．样本容量为20

3．设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

4．已知函数（且）的图象恒过定点P，点P在幂函数的图象上，则（    )

A． B．2 C．1 D．

5．一个几何体的三视图如图，则它的表面积为（    ）

A．28 B． C． D．

6．已知函数，则（    ）

A．是奇函数，且在上是增函数

B．是偶函数，且在上是增函数

C．是奇函数，且在上是减函数

D．是偶函数，且在上是减函数

7．圆与圆的位置关系是（    ）

A．内含 B．相交 C．外切 D．外离

8．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，分别为和的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）                

A． B． C． D．

9．已知圆心在轴上，半径为的圆上有一点，则圆在点M处的切线方程是（    ）

A． B．或

C． D．或

10．已知直线，直线，且，则的值为（　　）

A． B． C．-2或-1 D．

11．在全国人民的共同努力下，特别是医护人员的奋力救治下，“新冠肺炎”疫情得到了有效控制.如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲､乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图.则下列关于甲､乙两省新增确诊人数的说法，不正确的是（    ）

A．甲省的平均数比乙省低 B．甲省的方差比乙省大

C．甲省的中位数是27 D．乙省的极差是12

12．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以圆形攒尖为例．如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（4*5=20分）

13．若棱长为的正方体内部有一个球，球与正方体的各个面相切（即正方体的内切球）则该球的表面积为_____________．

14．用系统抽样的方法从全校800人中抽取40人做问卷调查，并将他们随机编号为0，1，2，3，…，799，已知第一组中采用抽签法抽到的号码为15，则第三组抽取到的号码是___________.

15．设在平面上的射影分别为，则线段的长为___________.

16．甲、乙两班在我校举行的“勿忘国耻，振兴中华“合唱比赛中7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，则x＋y的值为_______。

三、解答题（共6题，其中第17题10分，其余每题12分，共70分）

17．（10分）已知的三顶点是，，，直线平行于，交，分别于，，且、分别是、的中点．求：

（1）边上的高所在直线的方程．

（2）直线的方程．

18．（12分）已知圆过两点，，且圆心在直线上．

（1）求圆的方程；

（2）试判断直线：与圆是否相交；如果相交，求直线被圆截得的弦长．

19．（12分）如图所示，已知点P是平行四边形所在平面外一点，M，N，Q分别，，的中点，平面平面．

（1）证明平面平面；

（2）求证：．

20．（12分）入夏以来，A市全民健身活动中心健身人流大幅增加，各类健身运动和体育赛事活动集中举办，场馆服务保障和安全开放压力不断增大．为切实提高体育场馆服务质量，更好的为广大市民服务．A市全民健身活动中心对市民在7月份在该中心开展各自的健身项目所花费的时间进行了调查，通过抽样，获得了7月份1000名市民在A市全民健身活动中心开展各自的健身项目所花费的时间（单位：小时），将数据按照，，，，，分成5组，制成如图所示频率分布直方图．

（1）求频率分布直方图中a的值；

（2）若用分层抽样的方法在区间内共抽取70人，求分别在区间，内抽取的人数；

（3）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计这1000名市民7月份每个人任A市全民健身活动中心开展各自的健身项目所花费的平均时间．

21．（12分）如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，点为的中点．

（1）证明：平面；

（2）求点到平面的距离．

22．（12分）已知直线：与圆：．

（1）求证：直线过定点，并求出此定点坐标；

（2）若直线与圆相切，求直线的方程；

（3）设为坐标原点，若直线与圆交于，两点，且直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．

黄陵中学2021-2022学年度第一学期高一年级期末考试数学试题参考答案

1．D

2．D

3．B

4．C

5．B

6．A

7．D

8．A

9．D

10．C

11．C

12．B

13．

14．

15．

16．5

17．

（1）；

（2）.

解:（1）在中，，，，则直线AB的斜率为，

于是得边上的高所在直线斜率为，其方程为：，即，

所以边上的高所在直线的方程是：.

（2）因直线平行于，则直线的斜率为，又边的中点在直线上，

于是得直线的方程为：，即，

所以直线的方程为.

18．

（1）；

（2）相交，弦长为.

（1）解： 设圆的方程为：，

根据题意得，

故所求圆的方程为：．

（2）解：圆心到直线的距离，

故直线与圆相交，

由弦长公式可得直线被圆截得的弦长为．

19．

（1）证明：因为M，N，Q分别，，的中点，所以，

又平面ABCD,平面ABCD,

所以平面ABCD, 平面ABCD,

因为，平面MNQ,

所以平面平面，

（2）证明：因为，平面，平面，

所以平面，

又平面平面，平面，

所以.

20．（1）；（2）50，20；（3）10.4小时．

（1）因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1，

所以有，解得；

（2）在区间内抽取的人数为，

在区间内抽取的人数为；

（3）因为，

因此这1000名市民7月份每个人在A市全民健身活动中心开展各自的健身项目所花费的平均时间为10.4小时．

21．（1）见解析；（2）﹒

（1）∵，∴，

∵平面，∴，

∴平面．

∵，∴平面，∴，

∵，点为的中点，

易得，

∵，∴．

又，∴平面；

（2）∵平面，∴，

∴，

∵为等腰直角三角形，点为的中点，∴，

又∵平面平面，交线为，

∴平面，易知，

，

设点到平面的距离为，

∵，

∴，∴，

∴点到平面的距离为．

22．（1）证明见解析，定点坐标为

（2）或

（3）为定值，

解：（1）由直线：，

得，

联立，解得，

所以直线恒过定点；

（2）由圆：，得圆心，半径，

又由（1）得直线恒过定点，

当直线斜率不存在时，方程为，直线与圆相切成立，

当直线斜率存在时，设直线的方程为，

圆心到直线的距离

由直线与圆相切可得，即，

解得，直线方程为，即，

综上所述：直线的方程为或；

（3）由（2）可得直线斜率一定存在，设直线的方程为，，，

联立方程，即，

，即，

，，

又，，

，

所以为定值，.